二次函数
学习目标：
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
学习重点
二次函数的概念和解析式
学习难点
实际问题中建立二次函数的模型
一、自主预习
1、列出下列问题中两个变量之间的关系式，并指出所列3个式子有什么共同点？
（1）圆的面积S与圆的半径r的关系；
（2）n个球队参加比赛，每队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？
（3）某公司的生产利润原来是100万元，经过连续两年的增长达到
了y万元，如果每年增长的百分率都是x,写出y与x的关系式。
归纳：一般的，形如 （a 、b、c 是常数， ）的函数，叫做二次函数。其中____是自变量，a是 ，b是 ，c 是 。
二、合作探究 展示交流
下列函数中，哪些是二次函数_____________
(1) (2) (3)
(4) (5)
2、分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
3、（1）函数(a,b,c是常数)是二次函数的条件是( )
A．a≠0且b≠0 B．a≠0且b≠0,c≠0
C．a≠0 D．a,b,c为任意实数
（2）圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加，则y与x之间的函数关系为_____________.
（3）若函数为二次函数，则m的值为？
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x（x＋1） B．y＝1
C．y＝2－2（＋1） D．y＝
2、.已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3.
(1)当_______时，x,y之间是二次函数关系；
(2)当_______时，x,y之间是一次函数关系.
3、若y=(2-m)是二次函数,则m等于多少？
3.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式；
（拔高训练题）
1、已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S()关于x的函数关系式是__________.
2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求：y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围
二次函数的图象和性质
一、自主预习
1、在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数 和图象
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
2、观察二次函数（或）的图象，概括有关概念：
(1)图象都是一条曲线，叫做____________________，因此二次函数的图象叫 二次函数的图象叫
学习目标：1、经历描点法画函数图象的过程
2、学会观察、归纳、概括函数图象及性质
学习重点
型二次函数的图象和性质的归纳
学习难点
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂。
（2）这条抛物线关于 对称， 就是抛物线的对称轴。
（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 .
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
抛物线和抛物线的位置有什么关系？
合作探究
1、类似和，在同一平面直角坐标系中画出、和、的图象
三、展示交流
观察以上图象归纳二次函数的性质：
（1）当a>0时，抛物线的开口向____，对称轴是______，顶点是_______，顶点是抛物线的最___点，a越大，抛物线的开口越____.对称轴右侧即x<0时，y随x的增大而______；对称轴左侧即x>0时，y随x的增大而______.
（2）当a<0时，抛物线的开口向____，对称轴是______，顶点是_______，顶点是抛物线的最___点，a越小，抛物线的开口越____.对称轴右侧即x<0时，y随x的增大而______；对称轴左侧即x>0时，y随x的增大而______.
（3）对于抛物线，越大，抛物线的开口越_______
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、的图象的开口向_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最___点.
2、的图象的开口向_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，顶点是抛物线的最___点.
3、当x<－1时．函数值y随自变量x的增大而________.
4、抛物线的开口最大的是_________最小的是________
(1) (2) (3) (4)
拓展延伸
（基础训练题）1.已知二次函数，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m的取值情况是 ( ) A．m≠0 B．m= C．m= D．m=
（拔高训练题）)2.如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是 .
二次函数的图象和性质
学习目标：1、能利用描点法正确作出函数的图象
2、理解二次函数的性质及它与函数的关系
学习重点
理解二次函数的性质及它与函数的关系
学习难点
理解二次函数与函数的关系
一、自主预习
1、在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象 列表：
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
2、观察图象填空：的图象是__________，开口向__ ，对称轴是________ ，顶点坐标_________；的图象是__________，开口向__ _，对称轴是________，顶点坐标_________；顶点坐标是(0
3、可以发现：
抛物线向___ 平移 单位得到抛物线；抛物线向____ 平移 单位得到抛物线；
二、合作探究 展示交流
观察函数，，的图象
归纳： (a≠0) 的图象可以看成________的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当______时向上平移；当____时,向下平移).
上__ 下___
2、二次函数性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性及最值
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、函数的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标是 ；当x=_____时，y有最____值是_____.
2、函数的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标是 ；当x=_____时，y有最____值是_____.
3、将抛物线向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是 ．
4、是由________的图象沿________平移______个单位得到
的；y有最_____值是_______，当x>0时，y随 x的增大而_______,当x<0时，y随 x的增大而_______.
5、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是___________，新抛物线向上平移3个单位，得到的抛物线是__________.
（拔高训练题）函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图象是图中的（ ）
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
学习目标：1、能利用描点法正确作出函数的图象
2、了解二次函数与函数的关系
3、会从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
学习重点
从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
学习难点
从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
自主预习
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
1、在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象 列表：
2、观察图象填空：的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；的图象是__________，开口向___，对称轴是________，顶点坐标_________；与的图象开口方
向 ，对称轴 和顶点坐标 ，函数的图象的顶点坐标是_______，对称轴是_______ 。
3、发现：抛物线向______平移 单位得到抛物；
抛物线向____平移 得到抛物线；
二、合作探究、展示交流
1、观察图象，结合自主学习可以得到： (a≠0) 的图象可以看成________的图象沿x轴整体平移|h|个单位得到的.(当______时向右平移；当____时,向左平移).
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
a>0
a<0
开口大小
2、二次函数性质：
三、随堂练习
1、点A（-1，-2）在抛物线上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标 。
2、抛物线的图象上有三点A(-1，), B(, )
C (2， ),则、、、的大小关系是（ ）
A.、 ＞＞ B、＞ ＞
C 、 ＞＞、 D、 ＞＞
3、已知二次函数y=3(x-a)2的图像上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是
4、二次函数y=3x2+1和y=3（x-1）2，以下说法： ①它们的图象都是开口向上； ②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）； ③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的． 其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、填表
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
、
2、将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3、抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
4、已知二次函数，可知（ ）
A 其图象开口向上 B 其图象对称轴为直线
C 其最小值为4 D 当x＜4时，y随x的增大而增大
5、把函数的图象作怎样的平移变换，就能得到函数的图象？
选做题
已知y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=2x2平移后的顶点与A点重合， （1）求平移后的抛物线L的表达式； （2）若点B（x1，x2），C（y1，y2）在抛物线l上，且＜x1＜ x2，试比较 y1，y2的大小．
二次函数的图象和性质
一、自主预习 在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
学习目标：1、能利用描点法正确作出函数的图象
2、了解二次函数,和的关系
3、会从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
学习重点
从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
学习难点
从图象的平移变换的角度认识型二次函数的图象特征及性质
2、填空：抛物线的开口向_____；顶点坐标_______；对称轴是______.
3、可以发现：只要把抛物线先向 平移 个单位，再向 平移 个单位，就可得到函数的图象.即可以得到： 的图象可以看成________的图象向____( 或向 )平移；再向_____（或向 ）平移得到的.
二、合作探究：二次函数（二次函数的顶点式）性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性及最值
开口大小
展示交流
抛物线的顶点是（1,3），且经过（3,0）点，求该抛物线的解析式.
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，3） C．（1，3） D．（1，3）
2、二次函数的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得函数表达式为（ ）
A． B．
C. D．
3、的对称轴是直线（ ）
A． B． C. D．
4、二次函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．－3 D．
5、已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0,0），求该函数的解析式.
拔高题
1、抛物线（是常数）的对称轴是________；有最_____值_________
2、请写出一个开口向上，对称轴为且与y轴交于（0,1）的抛物线的解析式___________________
3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二次函数的图象和性质
学习目标：1、用二次函数来掌握二次函数的图象和性质
2、会利用公式求抛物线的顶点坐标和对称轴
学习重点
会利用公式求抛物线的顶点坐标和对称轴
学习难点
二次函数转化为
一、自主预习
1、自学课本37页二次函数的图象和性质的探究方法（完成配方过程）.
二、合作探究
1、利用以上方法讨论二次函数的图象和性质：
（1）通过配方化成形式；
（2）的图象如何平移得到的图象？
（3）抛物线的顶点是__________,对称轴是____________.
2、画的图象可以利用图象的对称性列表：（网格纸上图画）
…
…
…
…
由图象可以看出：
在对称轴的左侧，即x________时，y随x的增大而________；
在对称轴的右侧，即x________时，y随x的增大而________.
三、展示交流
1、二次函数通过配方化为的形式为：_________________________________
2、归纳：二次函数的图象性质：
性质
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
3、抛物线y=－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿
4、化y=为a的形式是__________________，图象的开口向_______，顶点是_________，对称轴是_________.
5、已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是 ．
6、求抛物线y＝x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴、y轴的交点坐标．
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、二次函数y=图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、函数y=＋2x－5的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=2 B．直线a=－2 C．直线y=2 D．直线x=4
3、二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
4、选做题
（1）二次函数的最小值为，那么的值为_______.
(2)如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（ ）
A．0 B．6 C．3 D．9
(3)二次函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C. D．
用待定系数法求二次函数解析式
学习目标：1、会用待定系数法求二次函数的解析式
2、会用一般式、顶点式求二次函数的解析式
学习重点
会用一般式、顶点式求二次函数的解析式
学习难点
选择适当的方法求二次函数的解析式
一、自主预习
1、已知一条抛物线的开口大小与相同，但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物线的关系式是 .
2、已知抛物线的顶点是(-2，3)，且过点(-1，5)，求这个二次函数的解析式。
3、已知二次函数的图象经过点A（-1,12）、B（2，-3）,求这个二次函数的解析式。
二、合作探究 展示交流
1、已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式。
2、 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后的函数解析式是 。
3、已知二次函数，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式。
三、随堂检测 班级_______姓名_________
1、二次函数与轴交于点（0，-10），则可知c=_________
2、抛物线与轴交于点（1,0）、（-3,0），与y轴交于（0，-3），求这个抛物线的解析式。
选做题
1、已知一条抛物线是由平移得到，并且与轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），该抛物线的关系式是 。
已知一个二次函数的图象经过（-1，0），（3，0），（2，3）三点，试求出这个二次函数的解析式． (试用多种方法解答)
22.2二次函数与一元二次方程
一、自主预习
1、自学课本43页问题.
2、当二次函数的值分别为3，-2，-1时，求自变量x的值.
发现：当二次函数的值为m时，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程___________（即方程___________________）.
反过来：解方程________________就可以看作已知二次函数的值为_______，求自变量x的值.
学习目标：1、通过探索，学生能理解二次函数与一元二次方程的联系
学生能够运用二次函数及其图象、性质解一元二次方程
学生提高综合解题能力
学习重点
理解二次函数与一元二次方程的联系
学习难点
数形结合的思想
二、合作探究
1、自学课本44页至45页思考内容.
2、画出函数的图象.
x
…
…
y=x2-2x-3
…
…
列表：
抛物线与x轴有________个公共点，它们的横坐标是_______,_______.
当x取公共点的横坐标时，函数值是______.由此得出方程________________的根是_________.
4、反过来：一元二次方程有______根，可以确定二次函数的图象与x轴有_______个公共点.
5、从二次函数的图象可得到如下结论：
归纳：
（1）如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是,那么当时，函数值是________，因此是方程________________的一个根.
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：_______公共点，_______公共点，________公共点.对应一元二次方程___________的根的三种情况:__________________________
.
①当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1与 x2；即：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2 ,0）
②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；
③当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点.
跟踪练习：判断下列二次函数与x轴的公共点的个数.
（1） （2） （3）
三、展示交流
已知函数,
⑴该函数图象与x轴有几个交点？并求出交点坐标；
(2)试说明一元二次方程的根与二次函数的关系；
（3）x为何值时，函数y的值为25？
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的根是 ；则函数的图象与x轴的交点有___________个，其坐标是 .
3、不画图象，说出函数y=-x2+x+6的图象与x轴的交点坐标.
4、已知抛物线
（1）试说明该抛物线与x轴一定有交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积.
实际问题与二次函数
一、自主预习
1、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是（0≤t≤6）.小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动的最大高度是多少？
2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化。（1）写出s与的函数关系式
（2）求出自变量的取值范围
（3）当是多少时，场地的面积S最大？
科目
数学
班级
学生姓名
课题
22.3实际问题与二次函数（1）
课型
新授
课时
1
主备教师
备课组长
学习目标：1、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
2、体会二次函数的数学模型，感受数学的应用价值
学习重点
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
学习难点
从现实问题中建立二次函数的模型
二、合作探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.
涨价情况：（1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元.
涨价x元时，每星期少卖_______件，实际卖出______________件，销售额为____________________元,买进商品需付_____________元.因此，所得利润为：
____________________________
整理得_______________________自变量的取值范围_____________
所以当x=______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，即定价____元时，利润最大，最大利润是_________________
降价情况：（自己完成）
三、展示交流
1、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
四、随堂检测 班级_______姓名_________
2、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
实际问题与二次函数
学习目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程
2、通过建立直角坐标系求函数解析式
学习重点
建立直角坐标系求函数解析式
学习难点
建立直角坐标系求函数解析式
一、自主学习
1、如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面下降1 m，水面宽度增加多少？
（1）求抛物线形拱桥的解析式。
（2）当水面下降1m时，求出这时的水面宽度？
当水面下降1m时，水面宽度增加多少？
二、合作探究
如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
三、 展示交流
1、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求这条抛物线的解析式；
四、随堂检测 班级_______姓名_________
1、有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中（如图所示）。若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？
2、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．
(1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．
