2018版高考数学（文）解答题揭秘高端精品专题3.5+压轴大题突破练05（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析大题
直线与抛物线的位置关系；
三角形面积的最值问题
利用坐标求解三角形的面积；
利用导数求分式函数的单调性进而求最值
导数大题
讨论函数单调性（导函数是类二次型）；
通过构造函数证明不等式
证明不等式的常用方法——构造函数：
构造两个函数，证明一个函数恒大于另一个函数即可
1.解析大题
如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线： 上，直线： 与抛物线交于， 两点，且直线， 的斜率之和为-1.
（1）求和的值；
（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线， 与轴围成的三角形面积为，求的最小值.
【答案】（1）， ；（2）.
解法一： ，
由已知得，所以， .
解法二： ，
由已知得.
（2）在直线的方程中，令得， ，
直线的方程为： ，即，
由，得，
解得： ，或，所以，
由，得， ，切线的斜率，
切线的方程为： ，即，
由，得直线、交点，纵坐标，
在直线， 中分别令，得到与轴的交点， ，
所以 ， ， ，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
∴当时， 最小值为.
2.导数大题
已知函数（常数）.
（1）讨论的单调性；
（2）设是的导函数，求证：.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
有因①的取等条件是，②的取等条件是
故，即（），即
法2先证（）（差函数）
进而（）
再证（差函数或商函数）
说明等号不成立
故（）成立.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.