2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(一)三角形的初步知识（答案版）

2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(一)三角形的初步知识
知识结构图
重难点突破
重难点1　三角形的三边关系
【例1】　　(萧山期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是(B)
A．12 B．15 C．12或15 D．15或18
　
判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段．在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：
(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形．
1．(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是(B)
A．2 cm B．4 cm C．12 cm D．13 cm
重难点2　三角形形内角和定理及其推论
【例2】　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(A)
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
　
在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义、平行线的性质等知识的运用．
2．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为(C)
A．28° B．38° C．48° D．88°
重难点3　三角形的三条重要线段
【例3】　如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝．
【思路点拨】　根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，从而S△BFC＝S△ABC.
3．在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝7__cm．
4．(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；
(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数．(用含α和β的代数式表示)
解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，
所以∠ACB＝68°.
因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.
所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.
因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，
所以∠CDF＝∠CED＝74°.
(2)由(1)可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝.
所以∠CDF＝.
重难点4　线段垂直平分线与角平分线的性质
【例4】　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
∵ED⊥AB，BE平分
∠ABC，
∴CE＝DE，
∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.
∵AC＝AE＋CE，∴BE＋DE＝AC.
　
在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长．
5．如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线MP交BC于点P，AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，连结AP，AQ，若△APQ的周长为20 cm，则BC为20cm.
6．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD＝5，则△ABC的面积为50．
重难点5　全等三角形的性质与判定
【例5】　已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.
(1)求证：BD＝CE；
(2)求证：∠M＝∠N.
【思路点拨】　(1)要证BD＝CE，可通过转化证△ABD≌△ACE，根据“SAS”得证；(2)要证∠M＝∠N，可通过转化证△ACM≌△ABN，由(1)可知∠C＝∠B.因为∠2＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再结合AB＝AC，即可根据“ASA”得证．
证明：(1)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴BD＝CE.
(2)∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM.
由(1)，得△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C.
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN(ASA)．
∴∠M＝∠N.
7．(成都中考)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C＝24°，则∠B＝120°．
8．(杭州大江东区期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
复习自测　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(C)
A．1，2，4 B．4，5，9
C．4，6，8 D．5，5，11
2．(绍兴嵊州期中)下列语句不是命题的是(B)
A．两直线平行，同位角相等
B．作直线AB垂直于直线CD
C．若|a|＝|b|，则a2＝b2
D．同角的补角相等
3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是(D)
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC D．AD＝DE
4．(杭州大江东区期中)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(C)
A．BC＝EC，∠B＝∠E
B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝EC，∠A＝∠D
D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
5．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(A)
A．边角边 B．角边角
C．边边边 D．角角边
　　
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，△BEC的周长是14 cm，BC＝5 cm，则AB的长是(B)
A．14 cm B．9 cm C．19 cm D．12 cm
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是(A)
A．3 B．4 C．6 D．5
8．如图所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数为(B)
A．120° B．135° C．125° D．130°
9．(绍兴嵊州期末)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(杭州大江东区期中)如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A，D，C三点，且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是(B)
A．70 B．74 C．144 D．148
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，则外角∠ACD＝121°.
　　
12．如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为3．
13．如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，AB＝8__cm．
14．(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为40°，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个．
15．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°或36°．
16．如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出3个正确的命题．
三、解答题(共46分)
17．(10分)如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°.
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.
18．(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长．
解：设AB＝BC＝2x，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD＝x.
若△ABD的周长是3＋AD，则2x＋x＝3，
解得x＝1.
∴AC＝4－1＝3.
若△ABD的周长是4＋AD，则2x＋x＝4，
解得x＝.
∴AC＝3－＝.
综上，AC边的长为3或.
19．(12分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
解：(1)证明：在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°.
∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC.
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°.
∴∠BDC＝75°.
20．(12分)(杭州青春中学期末)如图1，AB＝4 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3 cm.点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
(2)如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)．
∴∠ACP＝∠BPQ.
∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°.
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
(2)①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
解得
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
解得
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．