2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(二)特殊三角形（答案版)
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(二)特殊三角形（答案版) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 357.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-23 16:38:12 | ||
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文档简介
2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(二)特殊三角形
知识结构图
重难点突破
重难点1 等腰(边)三角形的性质及判定
【例1】 (杭州萧山期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值．
【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC－AB或AB＋BD转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等．
解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，
证明：∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAC.
∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.
∵∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°.
∴AB＝AD，DA＝DC.
∴△ABD和△ADC是等腰三角形．
(2)在AC上截取AE＝AB，连结DE，
又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED＝∠B，BD＝DE.
∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC，
∴BD＝EC.
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C.
∴∠B∶∠C＝2∶1.
1．(上城区期中)如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于点F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，则∠DFC的度数为(C)
A．104° B．118° C．128° D．136°
2．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：AD＝DC；
(2)如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连结EF.判断△DEF的形状并证明你的结论．
解：(1)证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.
∴∠CDB＝∠CBD.
∴BC＝DC.
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC.
(2)△DEF为等边三角形．
证明：∵BC＝DC(已证)，CF⊥BD，
∴点F是BD的中点．
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF.
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BDE＝60°.
∴△DEF为等边三角形．
重难点2 直角三角形的性质及判定
【例2】 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.
(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；
(2)写出你所用到的这对互逆命题．
【思路点拨】 由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证．
解：(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＝90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF.
∵∠AEF＝∠AFE，
∠BED＝∠AEF，
∴∠BED＝∠AFE.
∴∠CBF＋∠BED＝90°.
∴∠BDE＝90°.
∴AD⊥BC.
(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．(庆元月考)已知，如图，B，C，D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由．
解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，
∴AC＝CE.
∵AB⊥BD，ED⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE.
∴∠ACB＝∠CED.
∵∠CED＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠ACE＝90°.
∴△ACE是等腰直角三角形．
重难点3 勾股定理及其逆定理
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的平分线DE交AB于点E.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若AE＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形？请求出所有BP的值．
【思路点拨】 (1)要证DE∥BC，可转化为证∠AED＝∠ABC＝90°，即证DE⊥AB，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP为等腰三角形，存在三种情况：DE＝EP，DP＝EP，DE＝DP，结合勾股定理可求得BP的值．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝AC.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴DE⊥AB.
又∵∠ABC＝90°，∴DE∥BC.
(2)∵AE＝3，AD＝5，DE⊥AB，
∴DE2＝AD2－AE2＝52－32＝42.
∴DE＝4.
∵DE⊥AB，AD＝BD，
∴BE＝AE＝3.
①DE＝EP时，BP2＝EP2－BE2＝42－32＝7，
∴BP＝.
②DP＝EP时，BP＝DE＝×4＝2；
③DE＝DP时，过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BE＝3，
由勾股定理，得FP2＝DP2－DF2＝42－32＝7，
∴FP＝.
点P在F下边时，BP＝4－，
点P在F上边时，BP＝4＋，
综上所述，BP的值为，2，4－或4＋.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，
∴BC＝4 cm.
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4.
②当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
∴52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
解得t＝.
综上，当△ABP为直角三角形时，t＝4或.
(2)①当BP＝BA＝5 cm时，t＝5.
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，∴t＝8.
③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝(4－t)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
∴t2＝32＋(4－t)2，解得t＝.
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或8或.
复习自测
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(杭州上城期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是(C)
2．下列各命题的逆命题成立的是(C)
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB＝(A)
A．50° B．45° C．40° D．25°
4．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(B)
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
5．(温州永嘉期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)
A．60° B．120°
C．60°或150° D．60°或120°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是(B)
A．4 B．3 C．5 D．4.5
7．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连结BD，下列结论错误的是(D)
A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC
C．图中有三个等腰三角形 D．S△BCD＝S△BOD
8．(杭州萧山期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是(A)
A．4.8 B．4.8或3.8
C．3.8 D．5
9．(庆元月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是(B)
A．AC＝AD＋BD B．AC＝AB＋BD
C．AC＝AD＋CD D．AC＝AB＋CD
10．(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°．
12．(温州永嘉期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10．
14．(杭州萧山期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32．
15．(衢州江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是．
16．(杭州期中)已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④BA＋BC＝2BF.其中正确的结论有①②④(填序号)．
三、解答题(共46分)
17．(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形．(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)
解：如图：
18．(10分)(杭州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，
∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
∴△AMD≌△AND(SAS)．
∴DM＝DN.
19．(12分)(杭州萧山期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a，底边上的高的长为线段b，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)
(2)在(1)中，若a＝6，b＝4，求等腰三角形的腰长．
解：(1)如图，等腰三角形ABC即为所求作三角形，其中AB＝a，OC＝b.
(2)由题意知AC＝BC，AO＝BO，CO⊥AB，且CO＝4，AB＝6，
∴AO＝3.
∴AC＝＝5，
即等腰三角形的腰长为5.
20．(14分)如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．
解：(1)过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA.
在△MAC和△OBA中，
∴△MAC≌△OBA(AAS)．
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4.
∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6.
∴点C的坐标为(－6，－2)．
(2)过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ.
∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.
∵∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP.
在△AOP和△PQD中，
∴△AOP≌△PQD(AAS)．∴PQ＝OA＝2，
即OP－DE＝2.
知识结构图
重难点突破
重难点1 等腰(边)三角形的性质及判定
【例1】 (杭州萧山期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
(1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；
(2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值．
【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC－AB或AB＋BD转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等．
解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，
证明：∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAC.
∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°.
∵∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°.
∴AB＝AD，DA＝DC.
∴△ABD和△ADC是等腰三角形．
(2)在AC上截取AE＝AB，连结DE，
又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED＝∠B，BD＝DE.
∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC，
∴BD＝EC.
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C.
∴∠B∶∠C＝2∶1.
1．(上城区期中)如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于点F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，则∠DFC的度数为(C)
A．104° B．118° C．128° D．136°
2．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC.
(1)求证：AD＝DC；
(2)如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连结EF.判断△DEF的形状并证明你的结论．
解：(1)证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.
∴∠CDB＝∠CBD.
∴BC＝DC.
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC.
(2)△DEF为等边三角形．
证明：∵BC＝DC(已证)，CF⊥BD，
∴点F是BD的中点．
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF.
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BDE＝60°.
∴△DEF为等边三角形．
重难点2 直角三角形的性质及判定
【例2】 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.
(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；
(2)写出你所用到的这对互逆命题．
【思路点拨】 由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证．
解：(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＝90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF.
∵∠AEF＝∠AFE，
∠BED＝∠AEF，
∴∠BED＝∠AFE.
∴∠CBF＋∠BED＝90°.
∴∠BDE＝90°.
∴AD⊥BC.
(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．(庆元月考)已知，如图，B，C，D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由．
解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，
∴AC＝CE.
∵AB⊥BD，ED⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE.
∴∠ACB＝∠CED.
∵∠CED＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠ACE＝90°.
∴△ACE是等腰直角三角形．
重难点3 勾股定理及其逆定理
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的平分线DE交AB于点E.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若AE＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形？请求出所有BP的值．
【思路点拨】 (1)要证DE∥BC，可转化为证∠AED＝∠ABC＝90°，即证DE⊥AB，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP为等腰三角形，存在三种情况：DE＝EP，DP＝EP，DE＝DP，结合勾股定理可求得BP的值．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝AC.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴DE⊥AB.
又∵∠ABC＝90°，∴DE∥BC.
(2)∵AE＝3，AD＝5，DE⊥AB，
∴DE2＝AD2－AE2＝52－32＝42.
∴DE＝4.
∵DE⊥AB，AD＝BD，
∴BE＝AE＝3.
①DE＝EP时，BP2＝EP2－BE2＝42－32＝7，
∴BP＝.
②DP＝EP时，BP＝DE＝×4＝2；
③DE＝DP时，过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BE＝3，
由勾股定理，得FP2＝DP2－DF2＝42－32＝7，
∴FP＝.
点P在F下边时，BP＝4－，
点P在F上边时，BP＝4＋，
综上所述，BP的值为，2，4－或4＋.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，
∴BC＝4 cm.
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4.
②当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
∴52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
解得t＝.
综上，当△ABP为直角三角形时，t＝4或.
(2)①当BP＝BA＝5 cm时，t＝5.
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，∴t＝8.
③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝(4－t)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
∴t2＝32＋(4－t)2，解得t＝.
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或8或.
复习自测
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(杭州上城期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是(C)
2．下列各命题的逆命题成立的是(C)
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB＝(A)
A．50° B．45° C．40° D．25°
4．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(B)
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
5．(温州永嘉期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(D)
A．60° B．120°
C．60°或150° D．60°或120°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是(B)
A．4 B．3 C．5 D．4.5
7．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连结BD，下列结论错误的是(D)
A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC
C．图中有三个等腰三角形 D．S△BCD＝S△BOD
8．(杭州萧山期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是(A)
A．4.8 B．4.8或3.8
C．3.8 D．5
9．(庆元月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是(B)
A．AC＝AD＋BD B．AC＝AB＋BD
C．AC＝AD＋CD D．AC＝AB＋CD
10．(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°．
12．(温州永嘉期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10．
14．(杭州萧山期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32．
15．(衢州江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是．
16．(杭州期中)已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE＋∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④BA＋BC＝2BF.其中正确的结论有①②④(填序号)．
三、解答题(共46分)
17．(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形．(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)
解：如图：
18．(10分)(杭州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，AB＝AC，
∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
∴△AMD≌△AND(SAS)．
∴DM＝DN.
19．(12分)(杭州萧山期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a，底边上的高的长为线段b，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)
(2)在(1)中，若a＝6，b＝4，求等腰三角形的腰长．
解：(1)如图，等腰三角形ABC即为所求作三角形，其中AB＝a，OC＝b.
(2)由题意知AC＝BC，AO＝BO，CO⊥AB，且CO＝4，AB＝6，
∴AO＝3.
∴AC＝＝5，
即等腰三角形的腰长为5.
20．(14分)如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．
解：(1)过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA.
在△MAC和△OBA中，
∴△MAC≌△OBA(AAS)．
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4.
∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6.
∴点C的坐标为(－6，－2)．
(2)过D作DQ⊥OP于Q点，则DE＝OQ.
∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.
∵∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP.
在△AOP和△PQD中，
∴△AOP≌△PQD(AAS)．∴PQ＝OA＝2，
即OP－DE＝2.
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