2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题05 幂函数、指数函数、对数函数的性质（含解析）

一．命题陷阱描述
指数函数与对数函数是高中数学两个重要的基本函数，初学者往往不能深刻理解指数函数及对数函数的有关概念、图象、性质及应用.关于指数函数与对数函数的试题在命制时，主要有概念类、分类讨论、转化不等价、隐含条件、迷惑性等几类陷阱.其中：
1.概念类陷阱，包括指数的运算性质找不到化简方向、指数函数的底数讨论，指数函数对数函数的定义中对底数的限制及对数对真数的限制；
（1）指数幂的运算.注意几个运算公式的使用.
（2）指数函数底数讨论. 当时函数是减函数，当时函数是增函数.
（3）指数函数定义.函数必须严格具备形式的函数是指数函数.
（4）对数的底数和真数,它们都必须大于0，底数还要不等于1.
2.隐含条件陷阱，对含有的式子，隐含着.
3. 迷惑性陷阱，含有逻辑联结词.把任意和存在转化为求函数的最值问题或方程的有解问题.
4.分类讨论陷阱，含参数对数函数的定义域值域为全体实数问题.在处理式要对参数进行讨论要做到不重不漏.
5. 等价转化陷阱，指数函数与对数函数互为反函数问题，转化为数形结合问题.
6.定义域为R与值域为R及特定定义域陷阱
7.幂指对函数中的倒序求和
二．陷阱类型
1.幂指对运算（运算马虎陷阱）
例1.
【答案】（1）-6；（2）.
【解析】(1）原式 ;
（2）原式 .
【防陷阱措施】主要问题是记清公式，不要随意创造公式
练习1．设， ，下列命题汇总正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
练习2．若， 且，则的值（ ）
A. B. C. D. 不是常数
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴ ，故选C.
练习3．求值：（1）；（2）
【答案】（1）（2）1
【解析】（1）原式，
（2）原式
练习4．化简下列代数式并求值：
⑴； ⑵.
【答案】（1）（2）
练习5．计算：（1）；
（2）
【答案】(1)100；(2)-1.
【解析】(1) 原式＝
(2)
.
练习6．计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
。
（2）
练习7．化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）;（2）-1.
【解析】（1）原式；
（2）原式
.
练习8．计算：（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）原式=
（2）由已知可得：
原式=
2.利用性质比较大小（性质混淆陷阱）
例2．设， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【 防陷阱措施】本题主要考查指数函数的性质、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
练习1．已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
又∵指数函数是增函数
∴
∵
∴
故选A
练习2．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1， ＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．
练习3．已知， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
则： .
本题选择D选项.
练习4．若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
故选D.
练习5．已知， ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 因为，所以，
根据幂函数的性质，可得，
根据指数函数的性质，可得，
所以，故选D.
练习6．已知，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
练习7．已知，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
又∵， ，
∴， ，
∴
故选B
练习8．下列式子中，成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
故选D．
练习9．三个数， ， 之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】：∵0＜a=0.22＜1，b=＜0，c=20.2＞1，∴b＜a＜c．故选B．
练习10．若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴。故选C。
练习11已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
所以，故选A。
练习12．已知则（ ）
A. B C. D
【答案】A
【解析】，
又
∴
故选：A
练习13．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
练习14．已知， ， ，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为， ， ，所以 ，故选A.
3.三个函数的概念及定义域陷阱
例3．己知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴函数为减函数，
要使函数在上是减函数，需满足
，解得。
∴实数的取值范围是。选B。
【防陷阱措施】复合函数的单调性满足“同增异减”的性质，解答本题时要注意题目的隐含条件，即且，并由此得到函数为减函数，进一步可得。同时还应注意定义域的限制，对数的真数要满足大于零的条件，这一点在解题中很容易忽视。
练习1.幂函数在为增函数，则的值为（ ）
A. 1或3 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
练习2．若函数为幂函数，且当时， 是增函数，则函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数为幂函数，
∴，即
解得.
当时， ，在是减函数，不合题意。
当时， ，在是增函数，符合题意。
所以。选D。
练习3．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且， ，则的值（ ）
A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
【答案】A
【解析】∵函数f（x）=（m2-m-1）x4m+3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足， ∵a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0．∴f（a）+f（b）=a11+b11＞0．故选A．
练习4．是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A. 2 B. -1 C. 4 D. 2或-1
【答案】A
练习5．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
且
即且
，
又
则实数的取值范围是
故选
练习6．已知函数 的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
练习7．函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，由，得，函数在上递减， 在递增， 单调减区间是，故选B.
4.与不等式的综合
例4.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】 因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，
所以恒成立，且，
即，解得，
所以，所以，故选C.
【防陷阱措施】：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，其中解答中涉及到函数的恒成立问题的计算，函数解析式的应用等知识点的综合考查，解答中熟记实数指数幂和对数的运算时是解答的关键，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.
练习1.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
故选D
练习2.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】函数的图象恒过定点A(-3,-1),则,即..练习3已知是任意实数，则关于的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】∵
∴
解得： ，所以不等式的解集为.
练习4．设函数，则满足的x的取值范围是________.
【答案】
，解得
当 时， ，解得 综上， 的取值范围是
故答案为
5.幂指对的性质的应用
例5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【防陷阱措施】复合函数的单调性规则：若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数单调性相反，则它们的复合函数为减函数，即“同增异减”.
练习1.已知定义在上的奇函数满足，又，且当时， 恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
定义在奇函数满足： ，当时， 恒成立，在时函数是减函数，因为是奇函数，所以也是奇函数， 时，函数也是减函数，画出函数 与的草图，如图，由图可知 与的图象有三个交点，所以函数的零点的个数为 ，故选B.
练习2.已知函数 满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围为
A. (0,1) B. C. D.
【答案】D
【解析】由条件知，分段函数 在R上单调递减，则
所以有 ，所以有，故选D
练习3．已知函数，若，且，则（ ）
A. B. C. D. 随值变化
【答案】A
【解析】不妨设 ，则令 ，则 或 ；故 故
故选A．
练习4.设曲线 (∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为 (　　).
A. B. －1 C. D. 1
【答案】B
练习5．设，若， ，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，则,所以0>ln >ln >ln ,所以
,又，lnb<0,所以即
故选A
练习6.已知函数的图象关于轴对称.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求实数的值；
（Ⅲ）若函数在其定义域内有两个不同的零点,试求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）由计算得出，所以函数的定义域为.
（Ⅱ）根据题意，可以知道为偶函数，所以，
即 ，
即，
即在上恒成立，所以.
点睛：本题以对数型函数为例，考查了函数的单调性和定义域，函数的奇偶性和函数零点定理，属于中档题；要使对数函数有意义需满足真数部分大于0，函数为偶函数可得在恒成立，当开口向上的二次函数在某个区间内有两个零点时，只需满足端点处函数值大于0，对称轴在区间之内即可.
练习7．已知函数 的图象过点。
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若函数， ，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1），值域为（2）（3）
（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根
即函数与函数有交点，
令，则函数的图象与直线有交点
又…5分
任取，则，所以，所以
所以
所以在R上是减函数。
（或由复合函数判断为单调递减）
因为，所以
所以实数的取值范围是
（3）由题意知，
令，则
当时， ，所以
当时， ，所以（舍去）
综上，存在使得函数的最大值为0
练习8.已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】 画出函数的图象（如图所示），
∵，且，
∴，且,
∴,
∵,
∴，
∴。
故所求范围为。
答案：
点睛：本题借助于函数的图象进行解题，体现了数形结合在数学中的应用，解题时要注意画图时要准确，另外利用图形时要注意观察图象的特征，由此得到函数的性质，如在本题中由图象的对称性得到的， 等，都成了解题的关键。
6.定义域为R与值域为R及特定定义域陷阱
例6.已知
⑴若，求函数的定义域；
⑵当时，函数有意义，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)当
则要 解得
即
所以 的定义域为
所以
【防陷阱措施】：恒成立的问题常用方法：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（最值需同时取到） .
练习1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令，则
的值域必须包含区间
当时，则
当时，符合题意；
当时，不符合题意；
当时，，解得
，即实数的取值范围是
故答案选
练习1．已知，设成立； 成立. 如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
【答案】
练习2若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】若函数在上单调递减
则在上单调递增，且恒为正，
由的图象开口向下，且以直线为对称轴
则解得
故答案为
练习3.练习若函数的定义域是R, 则的取值范围是.
【答案】
7.幂指对函数中的倒序求和
例7. 若，则=（ ）
A. 1000 B. 600 C. 550 D. 500
【答案】D
【解析】

所以
.故选D.
【防陷阱措施】注意这种题型利用对称性，找到常数，倒序求和
练习1. 设函数.
（1）解方程：；
（2）令，求的值.
（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2（2）1008（3）
【解析】（1）.
（2）.
因为
所以
（3）因为是实数集上的奇函数，所以.
，在实数集上单调递增.
由得，，
又因为是实数集上的奇函数，所以，,
又因为在实数集上单调递增，所以,
即对任意的都成立，
即对任意的都成立，.
练习．设函数且，若，则的值等于_______________.
【答案】
三．高考真题演练
1.【2017北京，理5】已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.
2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053?
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】
试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
3.【2016课标3理数】已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，，所以，故选A．
4. 【2015高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
5. 【2015高考新课标2，理5】设函数,( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
6.【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，所以
所以，故选C.
7.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，
从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
8. 【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】，.
【解析】，当时，，当且仅当时，等
号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为.
9. 【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 .
【答案】
【解析】，
因此
10. 【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是 .
【答案】
【解析】
试题分析：要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，
11. 【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【解析】
试题分析：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，
①当时，，因此的最大值是；
②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：，．
12.【2015高考福建，理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当，故，要使得函数的值域为，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．
13. 【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【答案】
【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
14. 【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.
证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..