2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题02 函数问题（含解析）

一、命题陷阱
1.定义域陷阱
2.抽象函数的隐含条件陷阱
3.定义域和值域为全体实数陷阱
4.还原后新参数范围陷阱
5.参数范围漏解陷阱
6.函数求和中的倒序求和陷阱
7.分段函数陷阱
8.函数的解析式求法
9.恒成立问题求参数范围问题
二．例题分析及防范措施
1.定义域陷阱
例1．已知，且，函数的定义域为， 的定义域为，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
故选B
【防陷阱措施】与函数有关问题要先求定义域
练习1．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
练习2.下面各组函数中为相同函数的是___________.（填上正确的序号）
①， ②，
③，
④，
【答案】③
【解析】对于①，函数的定义域为，故两函数的定义域不同，不是相同函数。
对于②，由于两函数的定义域不同，故不是相同函数。
对于③，两函数的定义域、解析式都相同，故是相同函数。
对于④，， = ，故两函数的解析式不同，故不是相同函数。
综上②正确。
答案：②
练习3.若函数的定义域是，则函数的定义域是________．
【答案】
【解析】∵函数y=f（x）的定义域是[0，3]，
∴由0≤2x≤3，得， 则由，解得
∴函数g（x）=的定义域是（0， ]．
故答案为： ．
练习4.已知，则函数的定义域为________.
【答案】(－4，－1)∪(1,4)
2.抽象函数的隐含条件陷阱
例2.函数对一切实数均有成立，且.
（1）求的值；
（2）在上存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）令，则 ∵ ∴；
（2）令，易得： .
在上存在，使得成立，等价于方程在有解.
即.
设函数.
【防陷阱措施】分析抽象函数隐含的性质及变量范围
练习1.定义在上的函数满足 ， ， 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】 因为， ，
所以令，得，所以，
再令，得，所以，故选A.
3.定义域和值域为全体实数陷阱
例3.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【防陷阱措施】分析定义域和值域的区别，找到运用的最值
练习1.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数，若的值域为，只需取满，当时， ，值域为R 符合题意；当时，只需 ，解得，综上可知.
练习2.若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为在 上是递减函数， 有最小值,所以的取值范围是，因为在上递减，所以,即在上的取值范围是，因为函数的值域为，所以， ，实数的取值范围是，故答案为.
练习3.若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
练习4.若函数f(x)＝的定义域为R，则m的取值范围为________．
【答案】
练习5.命题实数满足,命题函数的定义域为，若命题为假， 为真，求实数的取值范围.
【答案】或或.
【解析】试题分析：分别求出当命题为真命题时的取值范围，由为假， 为真可得则“真假”或“假真”，分两种情况分别求解即可。
试题解析：
当命题为真时，即，
解得或；
当命题为真时，可得对任意恒成立，
若，则满足题意
若，则有，解得,
所以，
∵为假， 为真，
∴“真假”或“假真”，
① 当真假时，则，解得 或
② 当假真时，则，解得
综上或或。
∴实数的取值范围是。
4.还原后新参数范围陷阱
例4.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【防陷阱措施】凡是换元，都必须考虑新参数的范围
练习1.已知x≠0，函数f(x)满足，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，故答案为.
练习2. 设，那么的解析式_________，定义域为_________.
【答案】
5.参数范围漏解陷阱
例5．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【防陷阱措施】分类讨论要做到不重不漏
练习1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ∴当 时， 由解得 ∴要使函数在 的值域是 则 ，故选C．
练习2.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A. (0,4] B.
C. D.
【答案】C
【解析】当x＝0，x＝3时，y＝－4，当x＝时，y＝－.∴m∈，选C.
练习3．对实数，定义运算“”： ．设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得 ，函数的图象如下图所示：
函数的图象与轴恰有两个公共点，即函数与的图象有2个交点，由图象可得或，故选A.
练习4.已知函数若存在， 且，使得成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
练习5.已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知 ，由于，由，由，又，所以，从而， ，故选D。
练习6.已知是上的奇函数，当时， .若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
当，令，即，解得，或（舍去）。
结合图象可得，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是.
答案： ]
6.函数求和中的倒序求和陷阱
例6. 已知函数 ，则__________.
【答案】
【防陷阱措施】求较多函数值之和时要注意利用函数图象的对称性，找到定值，然后求解
练习1.已知函数
（1）求的值，并计算；
求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析; （1）利用函数表达式，能求出的值,进而得到．
（2）由（1）可得，则可证明
则可求出的值.
试题解析;（1）




练习2. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f， f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＋f＋f＋…＋f.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .
【解析】试题分析：（1）利用 .，代入计算，求与， 与的值；（2） 利用，即可证明；（3）利用，可得结论．
试题解析：
(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝，f＝，f(3)＝，f＝.
(2)由(1)发现f(x)＋f＝1.
练习3. 已知，且对于任意的实数有，又，则_________。
【答案】2018
【解析】对于任意的实数有，又，令 又，
故答案为2018.
7.分段函数陷阱
例1. 已知函数则不等式的解集是_______.
【答案】
【防陷阱措施】分段函数查，根据分段函数，对进行分情况讨论，最后是解具体不等式求解.
练习1.已知函数则__________.
【答案】
【解析】由题意可得： .
练习2. 已知函数，则__________．
【答案】2
【解析】根据分段函数的表达式得到，要将-9化到的范围内才能求值；

故答案为：2.
8.函数的解析式求法
例1. 已知二次函数满足，且.
（1）求函数的解析式；
（2）令，
① 若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；
②求函数在区间的最小值.
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】由已知令；
（1）
又
（2）①=其对称轴为
， ，
②当
当
当
综上，
【防陷阱措施】（1）设二次函数一般式，代入条件，根据恒等式成立条件，利用待定系数法确定参数，即得解析式（2）①即对称轴必在定义区间内（不含端点），解不等式可得实数的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三者情况讨论最小值取法
练习1.（1）已知，求在上的值域.
（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)由函数的解析式可得函数单调递增，据此计算端点处的函数值可得函数在上的值域是；
(2)利用待定系数法设函数的解析式为，由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得函数的解析式是.
试题解析：
9.恒成立问题求参数范围问题
例9. 已知是定义在上的奇函数，且当时， .
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），图象见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性求解析式， 时， 0， ，最后分段写出即可。（2）根据函数的单调性得到： 等价于，转化为恒成立求参的问题，变量分离求函数最值即可。
（1）当时， ， ，又是奇函数， ，
故；当时， ，满足的解析式；故的图象为
【防陷阱措施】把恒成立问题转化为最值问题
练习1. 已知函数，（其中为常数且）的图象经过点
（1）求的解析式
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意得，即可求解的解析式；
（2）设，根据在上为减函数，得到，再由在上恒成立，得，即可求解实数的取值范围.
试题解析：