2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题03 函数的性质（含解析）

一．陷阱描述
1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。
（1）利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。
（2）单调区间的开闭。求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。
（3）单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。
分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。
隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。
等价转化陷阱，分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。
迷惑性陷阱，函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。
2.定义域限制陷阱
3.利用性质解决抽象函数问题
4.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用
5.函数性质与导数综合
6.数形结合求参数
7.恒成立求参数
8 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）
9 分段函数的连接点（等价转化）
10主变元问题（迷惑性）
二．陷阱例题分析及训练
1 特殊函数值（概念类）
【例1】已知奇函数对任意，总有，且当时，，.
求证：是上的减函数；
【陷阱提示】直接由，判断在上为单调递减函数.
【防错良方】本题容易由两个特殊函数值直接得到函数的单调性，不符合函数单调性定义，
证明或判断函数的单调性必须从单调性定义出发.
2.定义域限制陷阱
例2. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时, 在上是增函数，且恒大于零，即
当时, 在上是减函数，且恒大于零，即 ，因此选A.
防陷阱措施：函数在区间上单调隐含着这个区间是函数的定义域的子集条件.
练习1.已知函数 的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
练习2. 已知函数（且）在上单调递增，且 ，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知函数f（x）=loga（2x+b-1）（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，而函数t=2x+b-1是R上的增函数，故有a＞1．再根据t＞0恒成立可得b≥1．又2a+b≤4，∴1≤b＜2，∴2a≤3，∴1＜a≤， 则的取值范围为
故选D
练习3. 已知函数在区间上为减函数，则实数的取值集合是__________．
【答案】{1}
【解析】由题意得 实数的取值集合是{1}
练习4.设函数，则的单调递增区间为__________．
【答案】
练习4.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】：要使函数有意义，则，即．设，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减．∵函数，在定义域上为单调递增函数，∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，当时，函数单调递增，即函数的递增区间为．当时，函数单调递减，即函数的递减区间为，所以选A.
【陷阱提示】求单调区间必须在定义域范围求.
【防错良方】本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数，因此，根据对数函数的定义，首先求函数的定义域，即令，解得.然后求得内部函数的对称轴为，该函数左减右增，根据复合函数单调性同增异减，得到函数的减区间，注意及其容易忽视函数的定义域而选C.
练习5.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【解析】：根据函数的定义域和单调性，有，解得.
【答案】B
【陷阱提示】抽象函数问题必须首先考虑它的定义域..
【防错良方】本题是一个抽象函数，利用函数单调性求的取值范围的题目，必须先考虑
，在满足定义域的前提下再进行求解.本题及其容易忽视定义域，直接利用单调性得到选项C这是严重的错误.
3.利用性质解决抽象函数问题
例3.若定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时， ，则 （ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，但在上不是单调函数 D. 无法确定的单调性和奇偶性
【答案】B
设，
则，
由于，
所以，故，
所以函数在上是减函数。选B。
防陷阱措施：对于抽象函数问题解题方法是利用函数的单调性、奇偶性等解题
练习1.已知函数在区间上为增函数，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是上的偶函数
∴函数关于轴对称，又函数在区间上为增函数，
∴，
∴，或
即，或3
∴实数的取值范围是
故选：D。
练习2. 已知是区间[-3,3]上的单调函数，且对满足，若，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
练习3. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用
例4. 已知函数的定义域为的奇函数，当时， ，且， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵的定义域为的奇函数，∴，即，
把x换成x-2，可得： ，又，
∴，故函数周期为T=4
，又
∴，当时， ，
∴
【防陷阱措施】抽象函数的周期性：（1）若，则函数周期为T；
（2）若，则函数周期为
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
练习1. 已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
练习2. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，∴函数是周期为2的周期函数；∵为偶函数， 在上是减函数，∴在上单调递增，并且， ， ，∵，∴，故选A.
练习3.已知是定义在上的偶函数，并且，当时， ，
则的值为______.
【答案】3
【解析】由，得，所以是周期为4的周期函数..
又是定义在上的偶函数，所以.
所以.
5.函数性质与导数综合
例5. 定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
防陷阱措施：构造函数并使用函数的极值、单调性解题
练习1.已知定义在非零实数集上的函数满足： ，且， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则，所以函数是定义域上的减函数，
∵
∴，即，故选A.
练习2. 已知是定义在R上的偶函数，其导函数，若，且
， ，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】根据题意，设 ，其导数
又由，则，函数在上为减函数，又由 是定义在R上的偶函数，且，则有，
6.数形结合求参数
例6. 当时，不等式（其中且）恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出函数y=x2与y=loga（x+1）的图象如图，
要使当x∈（0，1）时，不等式x2＜loga（x+1）恒成立，
则a＞1且loga（1+1）=loga2≥1，解得1＜a≤2．
∴a的取值范围为（1，2]．
故选：D．
防陷阱措施：准确画出函数图象，利用图象和性质解题，尤其是分段函数问题一定要数形结合
练习1.函数的对称中心为__________．
【答案】
【解析】，
设对称中心为，则有，
则，
，
则
，
所以，
即，
解得，所以对称中心为。
7.恒成立求参数
例7. 已知对任意的恒成立，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
防陷阱措施：恒成立即存在性问题一定要从函数的最值考虑
练习1.已知幂函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵幂函数的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．∴若f（a+1）＜f（10-2a），则解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．故选C：．
练习2.已知函数，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】(1,3)
【解析】由题意得为单调递增函数,且为奇函数,所以
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
陷阱8 单调性求参数，区间的开闭（概念类）
【例8】若函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
【陷阱提示】对称轴所在范围含端点.
练习1若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得为单调递增函数,所以
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
练习2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，
故答案为： 。
练习3．函数在区间内单调递减，则的取值范围是__________．
【答案】
由韦达定理，知x1+x2= x1x2=-1，解得 则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在递减，即g′（x）在上小于等于0，∴x1≥即：解得， ∴a的取值范围是．
故答案为
练习4. 已知是上的增函数，那么的取值范围是___________
【答案】
【解析】因为是上的增函数，所以
故答案为
【防错良方】在取值范围问题上，必须考查是否含有端点，方法是让变量取端点，然后考查是否符合题意，这个题目很容易选D.
陷阱9 分段函数的连接点（等价转化）
【例9】函数（且）是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】：由于函数为是增函数，所以，解得.【答案】D
【陷阱提示】必须考虑连接点处的函数值.
【防错良方】本题考查分段函数图象与性质.由于分段函数在上单调递增，所以首先在每一段上是增函数，一次函数斜率要大于零，对数函数底数要大于，即；还需要满足的是在区间的分段点的函数值，左边函数值要不大于右边函数值，即，由此解得的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增，是不能说在上递增的.
陷阱10主变元问题（迷惑性）
【例10】已知对任意的不等式恒成立，求的取值范围______.
【解析】：令
因为关于的函数是一次函数，又因为由于，
所以函数在区间上是增函数，
要使恒成立，
只需，所以，解不等式得.
因此的取值范围是.
【陷阱提示】把不等式看成是关于的不等式..
【防错良方】本题含有两个变量，因为对任意的不等式恒成立，所以主变元是，而不是，本题及其容易习惯把当主变元，看成是关于的二次不等式，从而我解题带来麻烦.
三．高考真题演练
1.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
2.【2016年高考北京理数】已知，，且，则（ ）
A. B. C.D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，不一定大于1，故不一定成立，故选C.
考点： 函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
考点： 函数图象的性质
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
4. 【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= （ ）
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
5.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
6.【2015湖南理2】设函数，则是（ ）
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
【答案】A.
【解析】
试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，又∵，∴
为奇函数，显然，在上单调递增，故选A.
【考点定位】函数的性质.
【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的
判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函
数单调性的判断，即可求解.
7.【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
写成分段函数的形式：，
函数 在区间 三段区间内均单调递增，
且： ，
据此x的取值范围是： .
【考点】 分段函数；分类讨论的思想
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
8.【2017山东，理15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性.
【名师点睛】
1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
9.【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【考点】基本不等式、函数最值
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当；②；③，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．
10.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .
【答案】-2
【解析】
试题分析：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以.
考点：函数的奇偶性和周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可．
11.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=
【答案】1
【考点定位】函数的奇偶性
【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
12. 【2015高考北京，理14】设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)或.
【解析】①时，，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；
（2）①若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，
，则，函数与轴有一个交点，所以；
②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.
考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解
【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合．
13.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a足
，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
考点：利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
14.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为.
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内