2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题04 函数的零点与方程的根（含解析）

一．命题陷阱：
1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱）
2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱）
3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）
4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱）
5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱）
6. 方程的根的求解问题
7. 分段函数的零点问题
8. 零点问题中新定义问题
9. 零点与导数、数列等的综合
二、陷阱典例及训练
1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）
例1.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
所以，令，则，
又有两个零点，
则有解，则存在解，
又，
【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制
练习1.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方程在内有两个不同实数根， ，解得实数的取值范围是，故选B.
【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
练习2．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时， 有一个解，
则等价为当x≤0时，f（x）==1无解，即若k＞0，满足=1无解，
若k＜0，则函数f（x）=在x≤0时为增函数，则函数的最大值为，
此时只要满足，即，即可，
综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A
【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．
练习3设函数，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
故答案为A。
练习4. 已知，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∴函数f（x）=在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=，作出函数f（x）的草图如图：
设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，
当m=时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0等价为m2﹣tm+t﹣1=0，
要使关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m2﹣tm+t﹣1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，
设g（m）=m2﹣tm+t﹣1，
则
解得1＜t＜1+，
故答案选：C。
练习5. 若函数，函数的零点个数是___________.
【答案】4
2.函数零点个数与参数问题（图象错误陷阱）
例2．若方程有两个不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由方程得： ，因为的最低点为，当过时有一个交点，此时，所以要让方程两个不等实数根，只需，故选C.
【陷阱防范措施】这类问题采用数形结合法
练习1. ．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
练习2. 已知函数有唯一零点，则实数 ( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最高点为
∵
∴此时函数的图象与的图象有两个交点，不成立；
当时，由在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，在上单调递增。
∴函数的图象的最高点为，函数的图象的最低点为
∵此时函数的图象与的图象只有一个交点
∴，即
故选C
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：现将参数分离，转化为函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
练习3. 已知函数．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
练习4. 若关于的方程有实根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】， ， ， ， 实数的取值范围是，故选A.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
练习5. 若关于的方程 有两个不同实根，则实数的取值范围是
A. B. [) C. () D. (]
【答案】B
【解析】
∴直线与曲线y=有两个交点,实数的取值范围是[)
故选：B.
点睛：已知方程解的个数(或函数零点个数)求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
练习6.方程有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得函数与函数有三个交点，
绘制函数图象如图所示，观察可得的取值范围是.
本题选择D选项.
练习7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
练习8. 若函数在实数上有三个不同的零点， 为常数，则实数__________．
【答案】
【解析】方法一：∵
∴函数为偶函数，
方法二：令,
则,
令, ,
由题意知函数和的图象有三个公共点。
①当时，在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图所示，
结合图象可得，若两函数图象有三个公共点，则必有，
即,
解得或（舍去）。
②当时，在同一坐标系内画出函数和的图象，结合图象可得两函数图象不可能有三个公共点。
综上。
答案：
3.函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）
例3．已知函数 ，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
综上，实数的取值范围是，故选D．
【陷阱防范措施】注意函数的最值，是求最大还是最小值
练习1.若函数的图象与轴没有交点，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
练习2. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的偶函数,所以,又，所以函数关于x=2轴对称,即, ,函数的周期为4,且当
时， ，分别画出y=f(x)和g(x)= 的图象,使其恰有三个交点,则需满足,即,解得 ,故选C.
练习3. 已知定义在上的偶函数满足，且当时， ，则函数的零点个数是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
练习4.定义在上的函数，当时， ，则函数（）的所有零点之和等于__________．
【答案】8
【解析】∵
∴函数关于对称
构造函数，当时，
，则与在时的图象如图所示：
∴根据图象可得，当时， 与的图象有4个交点
∴根据对称性， 与的图象在时有8个交点.
故答案为8
4.函数的性质在函数零点中的应用
例4.已知偶函数满足，且当时， ，则关于的方程在上实根的个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【陷阱防范措施】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题
练习1. 已知关于的方程的两个实数解为，则（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【思路总结】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
练习2. 若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】即方程 有解
令 ，则 ，所以 在上有解
因此

5.函数零点与不等式综合（均值不等式的条件陷阱）
例5. 已知 ，函数 的零点分别为 ， （），函数 的零点分别为 ， （），则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵x1＜x2，∴2x1＝1?k，2x2＝1+k，又∵x3＜x4，∴2x3＝1? 又，
故选B
【陷阱防范措施】注意运用均值不等式时，要保证“正、定、等”三条
练习1.设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程（且）有且只有个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
则函数与在区间（-2，6）上有四个不同的交点，如下图所示.
又，则对于函数，根据题意可得，当时的函数值小于1，即，由此计算得出a>8.∴a的范围是（8，+∞）.
本题选择B选项.
【思路规律总结】：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
练习2. 已知函数若关于的方程有且只有个不同的根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
练习3. 设是定义在上的偶函数，且时， ，若在区间内关于的方程有四个零点，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
则函数是以为周期的函数，结合题意画出函数在上的图象与函数
的图象，
结合图象分析可知，要使与的图象有四个不同的交点，则
解得
即的取值范围是
故答案选
练习4. 已知函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由函数，可得，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
又当时， 为单调递增函数，
所以当时，函数为单调递减函数.
因为在上有解，即有解，
又，即在上有解，
练习5. 已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知 ，由于，由，由，又，所以，从而， ，故选D
练习6. 已知函数，函数有四个不同的零点且满足： ，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出函数的图象：
故选：A
6.方程的根的求解问题
例6.如果方程的两根为，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为方程的两根为， ， ， ，故选C.
【陷阱防范措施】注意使用韦达定理和零点存在定理及数形结合
练习1．已知函数，若（互不相等），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
练习2．已知函数，若存在实数，满足，且，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数f（x）的图象如下图所示： 若满足，其中，则0＜＜1，1＜＜3，则log3=-log3，即log3+log3=log3=0，则=1，同时∈（3，6），∈（12，15），∵， 关于x=9对称，∴+=18，则=18-，则
=-3（+）+9=（18-）-45=-2+18-45
=-（-9）2+36，∵∈（3，6），∴-（-9）2+36∈（0，27），即∈（0，27）
故选A
练习3. 已知函数若存在， 且，使得成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
故答案为： 。
练习4已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】 画出函数的图象（如图所示），
∵，且，
∴，且,
∴,
∵,
∴，
∴。
故所求范围为。
答案：
练习5．函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于____________。
【答案】10
【解析】
7.分段函数的零点问题
例7. 已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
当时，由得，所以当时， 有一个零点
当时，由得，
当时，由得，
由时有三个零点，所以选A.
【陷阱防范措施】分段函数问题毫不犹豫画出函数图象，再由图象与性质进行解题
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
练习1直线y＝x与函数f(x)＝的图象恰有三个公共点，实数m的取值范围是(　　)
A. [－1,2) B. [－1,2] C. [2，＋∞) D. (－∞，－1]
【答案】A
【解析】由题意知，方程x2＋4x＋2＝x(x≤m)与x＝2(x＞m)共有三个根．
∵x2＋4x＋2＝x的解为x1＝－2，x2＝－1，画出图像
∴当－1≤m＜2时满足条件．故选A.
练习2已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
【答案】A
练习3. 已知函数，且关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是_______.
【答案】
练习4. 设定义域为的函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】令t=f(x)，则原函数等价为。作出函数f(x)的图象如图，
图象可知当由时，函数有四个交点。
要使关于x的函数有8个不同的零点，
则函数在（0,1）上有两个不同的实根，
令，则由根的分布可得
，整理得，解得。
所以实数的取值范围是。
答案：
练习5. 已知,函数， ，若函数有6个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数，
当时，即时，
则
当时，即时，
则
当即时，
8.零点问题中新定义问题
例8.已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若，当， ， .，∴当，即时， 在上有一个零点.
【陷阱防范措施】首先弄清新定义，然后再根据函数性质解答
练习1定义一种新运算： ，已知函数，若方程恰好有两个根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
函数 ，作出函数的图象如上图，方程恰好有两个根等价于函数与的图象有两个不同的交点，故。
练习2
9.零点与导数、数列等的综合
例9. 25．若方程有四个不同的实数根，且，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意作出函数的图象如下：
故在上是增函数， 在上是减函数
∴
∵，
∴的取值范围是
故选D
【陷阱防范措施】把函数的性质与数列联系在一起，注意使用数列相关知识
练习1已知函数，把方程的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前项和__________．
【答案】
【解析】当时，有，有 ，
当时，有 ，有
当时，有 ，有
当时，有 ，有
依次类推，当时，则 ，
所以 ，故 ，所以通项公式， .