第9章 多边形单元检测A卷（含解析）

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第9章 多边形单元检测A卷
　班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共10小题）
1．如图中三角形的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　　）
A．△ABC中，AD是边BC上的高 B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高 D．△GBC中，CF是边BG上的高
3．如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（　　）
A．16 B．24 C．36 D．54
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　）
A．A、C两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间
5．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．3cm、4cm、8cm B．5cm、5cm、11cm C．12cm、5cm、6cm D．8cm、6cm、4cm
6．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
7．n边形所有对角线的条数有（　　）
A．条 B．条 C．条 D．条
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（　　）
A．80° B．100° C．108° D．110°
9．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（　　）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
二．填空题（共6小题）
11．若H是△ABC三条高AD、BE、CF的交点，则△HBC中BC边上的高是　 　，△BHA中BH边上的高是　 　．
12．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABC=　 　．
13．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出　 　个三角形．
14．如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O，如果BD=6，那么OD=　 　．
15．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是　 　．
16．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正六边形，记作（6，6，6）；又如，（3，3，6，6）表示2个正三角形和2个正六边形的组合．请你再写出除了以上所举的三例以处的三种方案：　 　．
　
三．解答题（共8小题）
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠BCD=35°，
求：（1）∠EBC的度数；（2）∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵CD⊥AB（已知）
∴∠CDB=　 　
∵∠EBC=∠CDB+∠BCD　 　
∴∠EBC=　 　+35°=　 　．（等量代换）
（2）∵∠EBC=∠A+ACB　 　
∴∠A=∠EBC﹣∠ACB．（等式的性质）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠A=　 　﹣90°=　 　．（等量代换）
18．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
19．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
20．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，求OC的长．
21．（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是　 　，△EBD的面积是　 　．
（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？
22．如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，
（1）求△ABD的面积．
（2）求AC的长．
（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．
23．正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为acm、宽为bcm的矩形板材（如图1），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图2）．
（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），并写出新正方形的面积；
（2）现用如图1所示的四块矩形板材铺成一个大矩形（如图3）或大正方形（如图4），中间分别空出一个小矩形和一个小正方形．
①试比较中间的小矩形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？
②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？
24．如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】根据三角形的定义得：图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED共8个．
解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED，
∴共8个．
故选：C．
　
2．
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
　
3．
【分析】由于S△ADC=S△AGC﹣S△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解．
解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG
=×AG×BC﹣×AG×BF
=×8×（6+9）﹣×8×9
=60﹣36
=24．
故选：B．
　
4．
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
　
5．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，得
A、4+3＜8，不能组成三角形；
B、5+5＜11，不能组成三角形；
C、6+5＜12，不能够组成三角形；
D、4+6＞8，能组成三角形．
故选：D．
　
6．
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．
解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．
故选：B．
　
7．
【分析】根据多边形的边数与对角线的条数之间的关系式进行判断．
解：n边形共有条对角线．
故选：C．
　
8．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选：B．
　
9．
【分析】根据三角形的内角和求出∠2=45°，再根据对顶角相等求出∠3=∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
解：∵∠2=90°﹣45°=45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3=∠2=45°，
∴∠1=∠3+30°=45°+30°=75°．
故选：D．
　
10．
【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
解：设三角形ABC的面积是2
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1
∵BG：GF=CG：GD=2
∴三角形CGF的面积是
∴四边形ADGF的面积是2﹣1﹣=
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积=1：=3：2．
故选：D．
　
二．填空题（共6小题）
11．
【分析】根据三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
解：△HBC中BC边上的高是HD，△BHA中BH边上的高是AE．
　
12．
【分析】根据三角形的内角和定理，可求出∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．
解：∵依题可知∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．
　
13．
【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
　
14．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴OB=2OD，
∵BD=6，
∴OD=×6=2．
故答案为：2．
　
15．
【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．
解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是nx（n+2）=n2+2n
故答案为：n2+2n．
　
16．
【分析】一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为360°的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°，找到这样的正多边形或组合即可．
解：正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，4个能组成镶嵌，记做（4，4，4，4）；
正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么一个正三角形，2个正方形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，4，4，6）；
4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，3，3，3，6），
∴三种方案为：（4，4，4，4）、（3，4，4，6）、（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．
　
三．解答题（共8小题）
17．
【分析】（1）根据垂直的定义以及三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和得出∠EBC=∠CDB+∠BCD 从而得出答案，
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和得出∠A=∠EBC﹣∠ACB，从而得出答案．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和），
∴∠EBC=90°+35°=125°，
（2）∵∠EBC=∠A+ACB（三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和），
∴∠A=∠EBC﹣∠ACB．（等式的性质）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠A=125°﹣90°=35°．（等式的性质）　
18．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
　
19．
【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．
　
20．
【分析】解法一：由题意，知O点为△ABC的重心，根据重心的性质可得出OC=2OD；
解法二：由题意，知DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成比例即可得出OC=2OD．
解：解法一：∵点D、E分别为AB、AC的中点，线段BE、CD相交于点O，
∴O点为△ABC的重心，
∴OC=2OD=4；
解法二：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴OD：OC=DE：BC=1：2，
∴OC=2OD=4．
故OC的长为4．
　
21．
【分析】（1）由点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积；
（2）由三角形中线等分三角形的面积即可结果；
解：（1）∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABD=S△ABC==8，
S△EBD=S△ABD==4，
故答案为：8，4；
（2）∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ABC=8，
∵E是AD的中点，
∴S△BED=S△ABD=4，
同理得，S△CDE=4；
∴S△BCE=8，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=4．
　
22．
【分析】（1）直接利用三角形的面积计算方法计算得出答案即可；
（2）利用三角形的面积计算公式建立方程求得答案即可；
（3）利用三角形的面积计算公式以及两个三角形底和高的关系得出答案即可．
解：（1）∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12，
∴△ABC的面积=BC AF=×12×6=36；
（2）∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积=AC BG=36，
∴AC=；
（3）△ABD和△ACD的面积相等．
∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD，
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD．
23．
【分析】（1）根据正方形的性质和正方形的边长解答；
（2）①列出图形的面积表达式，再进行比较；②根据图形的特点，以求得a、b的长．
解：（1）将四个图2所示的正方形拼成一个新正方形即可；其面积为4c2；
（2）①图3中的小长方形的面积为a（a﹣2b）=a2﹣2ab；图4中的小长方形的面积为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∵a2﹣2ab+b2＞a2﹣2ab；
∴图4中小正方形的面积＞图3中的小长方形的面积．
②图4中大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，故b=20÷2=10cm；
由图4中大正方形的边长比中间小正方形的面积大3200cm2得，4ab=3200，
又∵b=10cm，
∴a=3200÷（4×10）=80cm．
则图4中中间小正方形的边长为80﹣10=70cm．
如右图至少要切割4块如图2的地砖．
　
24.
【分析】（1）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，从而得出结论；
（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）=180°+2（∠GBC﹣∠HCE）=180°+2∠F，从而得出结论；
（3）α，β满足α+β=180°时，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线平行，可知不存在∠F．
解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F，
2∠F=α+β﹣180°，
∴∠F=（α+β）﹣90°；
（2）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）=180°+2（∠GBC﹣∠HCE）=180°+2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°+2∠F，
∠F=90°﹣（α+β）；
（3）α+β=180°时，不存在∠F．
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