2018年高考数学三轮冲刺之专题突破详解：专题38 选择题的解法（含解析）

一、题型特点
近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．
二、解题思路
做选填题的步骤为：
1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．
2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．
3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．
三、解题方法与技巧
(一)直接演绎法
所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．
例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.
由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋y<0, 即x－3＋y<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y.
∴2＋2y－3＋y<0，
∴－【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．
(二) 特例(值)法
所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案．
例2(2014课标全国Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律．
(三) 极限化法
在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果．这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法．
例3(2015·模考)P为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为(　　)
A．a B．b
C. D．a＋b－
【解析】如图，
【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案．
(四)数形结合法
所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．
例4 (2015课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
g(1)＝e>0，
直线y＝ax－a恒过(1，0)，斜率为a，
故－a>g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1.故选D.
【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．
(五) 构造法
所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法．
例5(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，
xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】选A.
数形结合可得，不等式f(x)>0?xg(x)>0
?
或，?0【反思】构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
四．题型演练
1．若从数字， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，则与轴有公共点的二次函数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】实验发生包含的事件是从， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有个
当时，此时满足条件的取值有， ， ， ，有种情况
共有种情况满足题意
概率为
故选
【方法总结】：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式。本题是一个古典概型，实验发生包含的事件是从， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有个，满足条件的事件是与轴有公共点的二次函数需满足，按照时， 时，两种情况进行讨论，得到结果。
2．半径为的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．如图，圆周上按顺时针方向标有， ， ， ， 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上
由起跳， 是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上
是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上
由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上
，周期为。
，经次跳后它将停在的点对应的数为
故选
4．已知等比数列为递增数列，且， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设数列的公比为，首项为
，
，
5．已知全集，设函数的定义域为集合，函数的值域为集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意， ，
即
由，得到
即
则
故选
6．若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
则
故选
7．已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【方法总结】：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
8．在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知有， ，由于，
又，则，
当且仅当时等号成立.故选B.
9．设集合， ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】， ,答案为D.
10．已知点是曲线的焦点，点为曲线上的动点， 为曲线的准线与其对称轴的交点，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知， ， ，则
，当且仅当时等号成立，又，故选.
另：作出图象后易知，则，故选C.
11．设函数的最大值为M,最小值为N，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
12．已知直线的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知有，
故，故选B.
【方法总结】:三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”.
13．执行如图的程序框图，则输出的值为
A. 1 B.
C. D. 0
【答案】D
【解析】由图知本程序的功能是执行
此处注意程序结束时，由余弦函数和诱导公式易得：
，周期为，
.
14．若函数的定义域为R，其导函数为．若恒成立， ，则解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知有，令，则，函数在R单调递减， ，由有，则，故选D.
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：
可计算，故该几何体的最大边长为.
【方法总结】:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
16．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】画出正三角形，以其每个顶点为圆心作半径为2的圆弧与正三角形相交，蚂蚁爬行的区域不能在3扇形内，故.故选A.
17．已知，则的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
18．已知数列为等差数列，且，则的值为
A. B. 45 C. D.
【答案】B
【解析】由已知及等差数列性质有，故选B.
19．甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选C.
20．若双曲线的两个焦点为,,若双曲线上存在一点,满足,则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【方法总结】：本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的时候一定要注意点在双曲线顶点位置时的情况，以免遗漏答案；先根据双曲线定义|，求得，同时利用双曲线上的点到焦点的最短距离为，进而求得和的不等式关系，且双曲线离心率大于1，可得最后答案.
21．已知椭圆的两个焦点分别为,, 是椭圆上一点,且,则的面积等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于， ，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选B.
22．已知函数是定义在上的增函数， ， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解法1：令，则：原不等式等价于求解不等式，
，
解法2：构造函数，满足函数是定义在上的增函数， ， ，则不等式即： ，
，即不等式的解集为.
本题选择A选项.
【方法总结】：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
23．在正方体中， 是棱的中点，用过点， ， 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点，则，即平面即平面截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图如选项A所示.
本题选择A选项.
24．已知函数是奇函数，则的值等于（ ）
A. B. 3 C. 或3 D. 或3
【答案】C
【解析】函数为奇函数，则： ，即： 恒成立，
整理可得： ，即恒成立， ，
本题选择C选项.
【方法总结】：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
25．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由诱导公式可得： ， ，即： ，
由三角函数的定义可得： ，
则.
本题选择B选项.
26．已知点在内部， 平分， ，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（ ）
A. 的三边长一定成等差数列
B. 的三边长一定成等比数列
C. ， ， 的面积一定成等差数列
D. ， ， 的面积一定成等比数列
【答案】B
由①+②整理得，
∴，
将代入上式可得．
又由三角形面积公式得，
∴，
∴，
∴，
∴．
由③得，
∴，
整理得．故选B．
【方法总结】：
本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．
27．已知函数， ， ，且在上单调.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称
【答案】C
【解析】由题意得函数的最小正周期为，
∵在上单调，
∴，解得．
∵， ，
∴，解得，
∴．
对于选项A，显然不正确．
综上选C．
【方法总结】：解决函数综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
28．已知双曲线的左，右焦点分别为， ， ， 是双曲线上的两点，且， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设， 是双曲线左支上的两点，
令，由双曲线的定义可得．
在中，由余弦定理得，
整理得，解得或（舍去）．
∴，
∴为直角三角形，且．
在中， ，
即，
∴，
∴．即该双曲线的离心率为．选B．
【方法总结】：
(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
29．在正方体中， ， ， 分别为棱， ， 的中点，用过点， ， 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点连，则为过点， ， 的平面与正方体的面的交线．
延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点， ， 的平面与正方体的面的交线．
同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点， ， 的平面与正方体的面的交线．
所以过点， ， 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．
故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．
30．小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，
由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．