9.1.3 三角形的三边关系同步练习

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9.1.3 三角形的三边关系同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．如果三角形的三边固定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定了,三角 形的这个性质叫做三角形的稳定性 ．
２．三角形的任意两边之和 大于 第三边;三角形的任意两边之差小于第三边．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共6小题）
1．一个三角形三边长分别为1、3、x，且x为整数，则此三角形的周长是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．若a、b、c是△ABC的三边的长，化简|a+b-c|+|a-b-c|=（　　）
A.2b B．2a C. 2a+2b D. 2b+2c
3．用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．边长都是整数的不等边三角形的最大边为8，则满足条件的三角形的个数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（　　）
A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
二．填空题（共6小题）
7．已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，而第三边x的长是一个偶数，则这个三角形第三边x的长是　 　cm，周长是　 　cm．
8．三角形的三边分别是2、5和a，若a是正整数，则a的值为　 　．
9．已知三角形的两边的长分别为3和8，则此三角形第三边的长度x的取值范围是　 　．
10．木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为　 　的木条．
11．有两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，则此三角形周长为　 　cm．
12．一个三角形的两边长分别是4和9，另一边长a为偶数，且2＜a＜8，则这个三角形的周长为　 　．
　
三．解答题（共7小题）
13．如图，四个工厂A、B、C、D，试找一个供应站M，使它到四个工厂的距离之和为最小．
14．从1、2、3、4…、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？
15．有四个村庄（点）A、B、C、D，要建一所学校P，使PA+PB+PC+PD最小．画图说明P在哪里．
16．（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．
17．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
①求△ABC的周长；
②判定△ABC的形状．
18．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
19．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共6小题）
1．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定x的范围，再确定周长范围即可．
解：根据三角形的三边关系可得：3﹣1＜x＜3+1，
即2＜x＜4，
三角形的周长范围为：1+2+3＜周长＜4+3+1，
即6＜周长＜8．
故选：C．
　
2．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，
∴|a+b-c|+|a-b-c|=a+b-c+（b+c-a）=2b．
故选：A．
　
3．
【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12﹣x﹣y）根，根据三角形的三边关系定理得到：得到：x＜6，y＜6，x+y＞6又因为x，y是整数，因而同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5．则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2．因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3．
故选：C．
　
4．
【分析】其余两边都小于8，不相等，之和应大于8，按规律找到适合的三边即可．
解：设另两边是x，y．则x＜8，y＜8，x≠y且x+y＞8，并且x，y都是整数．
不妨设x＜y，满足以上几个条件的x，y的值有：2，7；3，6；3，7；4，5；4，6；4，7；5，6；5，7；6，7共有9种情况，因而满足条件的三角形的个数为9个．
故选：C．
　
5．
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
解：首先进行组合，则有3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，根据三角形的三边关系，则其中的3，5，10和3，7，10不能组成三角形．
故选：B．
　
6．
【分析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．
解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D到C，
5+4+6+5.5=20.5km．
故选：B．
　
二．填空题（共6小题）
7．
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再由x是偶数求出x的值，进而可得出结论．
解：∵三角形的两边长分别是2cm和4cm，
∴4﹣2＜x＜4+2，即2cm＜x＜6cm．
∵x是偶数，
∴x=4cm，
∴周长=2+4+4=10cm．
故答案为：4，10．
　
8．
【分析】先根据三角形的三边关系求出a的取值范围，再求出符合条件的a的值即可．
解：∵三角形三边长分别是2、5和a，
∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，
∵a为正整数，
∴a可以为4，5，6．
故答案为：4，5，6．
　
9．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边x的取值范围．
解：根据三角形的三边关系可得8﹣3＜x＜8+3，
解得5＜x＜11，
故答案为：5＜x＜11．
　
10．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
解：80+150=230cm，150﹣80=70cm，因而木条长在70cm到230cm之间．
故可选200cm的木条．
故答案为：200cm．
　
11．
【分析】首先根据三角形是两边相等的三角形，已知其中两边长为3cm，6cm，得出有可能的情况，再从三角形三边关系入手，任意两边之和大于第三边，可以得出答案．
解：∵三角形其中两边长为3cm，6cm，
∴三角形三边长为可能是：3cm，3cm，6cm，或3cm，6cm，6cm．
∵3+3=6，两边之和等于第三边，无法构成三角形，
∴三角形三边长为3cm，3cm，6cm不可能，
只有三角形三边长为3cm，6cm，6cm，符合要求，
∴此三角形周长为：6+6+3=15cm，
故答案为：15．
　
12．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．求得相应范围后，根据另一边长是偶数舍去不合题意的值即可．
解：∵9﹣4=5，9+4=13，
∴5＜a＜13．
又∵2＜a＜8，
∴5＜a＜8．
∵a为偶数，
∴a=6．
∴周长为13+6=19．
故答案是：19．
　
三．解答题（共7小题）
13．
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使供应站M，使它到四个工厂的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
解：如图所示，
连接AC，BD，它们的交点是M，点M就是修建供应站的位置，这一点到A，B，C，D四点的距离之和最小．
理由：任取一点M′，用三角形两边之和大于第三边易证．
　
14．
【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004中选k﹣1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k=4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
解：为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i个数，
所以n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，
解得k≥17．
故k的最小值为17．
　
15．
【分析】根据两点间线段最短定理可知：当A、B、C、D组成凸多边形时，点P在其对角线的交点处，当A、B、C、D组成凹四边形时，点P在凹进去的点处．
解：
　
16．
【分析】（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．
（2）因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．
解：（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有，
由方程可得≤x＜．
因x为正整数，故x=15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组；
（2）这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．
　
17．
【分析】①首先根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜AB＜5+2，再根据AC为奇数确定AC的值，进而可得周长；
②根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
解：①由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12；
②∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
　
18．
【分析】在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，根据在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，得出∠AMB＞∠AMC．而∠AMB+∠AMC=180°，则∠AMC＜90°．由于P为锐角△AMC内一点，过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
　
19．
【分析】在△ABC中，根据第三边的范围应大于已知两边的差，小于两边的和，得2＜AC＜6．在△ACD中，根据三角形的三边关系进行求解．
解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
　
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