9.2 多边形的内角和与外角和同步练习

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9.2 多边形的内角和与外角和同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,各边都相等,各内角也都相等的多边形称为 正多边形 ． 21cnjy.com
２．n边形的内角和等于 (n－２)·１８０° ,外角和等于 ３６０° ．
３．一个多边形如果边数为n,那么从每一个顶点出发有（n－３）条对角线, n边形共有 条对角线． 2-1-c-n-j-y
４． 正n边形的每个内角为 ,每个外角为
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共11小题）
1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）21教育名师原创作品
A．16 B．17 C．18 D．19
2．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）
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A．335° B．255° C．155° D．150°
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）www.21-cn-jy.com
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A．90°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )α B． ( http: / / www.21cnjy.com )α C．90°+ ( http: / / www.21cnjy.com )α D．360°﹣α
6．一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．正十二边形的每一个内角的度数为（　　）
A．120° B．135° C．150° D．108°
8．下列说法中，①三角形的内角中最多有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．一个多边形的外角和等于它的内角和的 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么它的边数是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．若四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：4，且∠D=108°，则∠A+∠C的度数等于（　　）
A．108° B．180° C．144° D．216°　
二．填空题（共6小题）
11．五边形的内角和为　 　．
12．一个n边形的内角和是720°，则n=　 　．
13．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于　 　度．21教育网
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14．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA=　 　度．
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15．如图，四边形ABCD中，∠A=100 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠C=70°．将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=　 　度．21·cn·jy·com
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16．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是　 　．www-2-1-cnjy-com
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三．解答题（共6小题）
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数） 3 4 5 …
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值） 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n=7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．21*cnjy*com
19．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：AF∥CD．
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20．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
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21．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：
（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：　 　．
（2）从十五边形的一个顶点可以引出　 　条对角线，十五边形共有　 　条对角线：
（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数． ( http: / / www.21cnjy.com )
22．定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（1）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性质应用：
①如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度数．
②如图4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度数．
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参考答案与试题解析
　
一．选择题（共11小题）
1．
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，
则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
故选：A．
　
2．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．
解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2=5，即n=7．
故选：C．
　
3．
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
　
4．
【分析】先由三角形内角和定理得出∠B+∠C ( http: / / www.21cnjy.com )=180°﹣∠A=105°，再根据四边形内角和定理即可求出∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故选：B．
　
5．
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠ABC+∠BCD）= ( http: / / www.21cnjy.com )（360°﹣α）=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )α）= ( http: / / www.21cnjy.com )α．
故选：B．
　
6．
【分析】多边形的外角和是360°，又有多边形的每个外角都等于36°，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．
解：这个多边形的边数是： ( http: / / www.21cnjy.com )=10．故答案是D．
　
7．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
解：正十二边形的每个外角的度数是： ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
故选：C．
　　
8．
【分析】根据三角形的内角和定理，三角形的中线的性质，对角线的定义及公式来判断所给命题是否正确即可．
解：①假设一个三角形有两个钝角，那么这两个钝角的和大于180°，与三角形的内角和为180°相矛盾．故三角形的内角中最多有一个钝角，正确；【出处：21教育名师】
②三角形的中线把三角形分成的两个三角形的底边相等，高相同，所以面积相等，正确；
③因为连接多边形不相邻的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，因此，n边形的内角和是（n﹣2） 180°，正确；
④n边形共有 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线，所以六边形的对角线有6×3÷2=9条，错误．
故选：B．
　
9．
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和等于它的内角和的 ( http: / / www.21cnjy.com )，列方程求解即可．
解：∵多边形的外角和是360度，
又∵多边形的外角和等于它的内角和的 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（n﹣2）×180°=6×360°，
解得：n=14
故选：D．
　
10．
【分析】依据∠A：∠B：∠C=1：2： ( http: / / www.21cnjy.com )4，可以设∠A是x度，则∠B是2x度，∠C是4x度，在四边形中依据内角和定理，即可得到关于x的方程，解方程就可求解．
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4，
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°
在四边形ABCD中，根据内角和定理得到：x+2x+4x+108=360
解得：x=36
∴∠A=36°，∠C=144°，
∴∠A+∠C=36+144=180°．
故选：B．
　
二．填空题（共6小题）
11．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
　
12．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，依此列方程可求解．
解：依题意有：
（n﹣2） 180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
　
13．
【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．2·1·c·n·j·y
解：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
　
14．
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．21*cnjy*com
解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
　
15．
【分析】根据两直线平行，同位角相等 ( http: / / www.21cnjy.com )求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【版权所有：21教育】
解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BMF= ( http: / / www.21cnjy.com )×100°=50°，
∠BNM= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BNF= ( http: / / www.21cnjy.com )×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
　
16．
【分析】设要完全拼成一个圆环需要的 ( http: / / www.21cnjy.com )正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到（n﹣2） 180°=（360°﹣2×108°）n，再解方程求出x即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，
所以（n﹣2） 180°=（360°﹣2×108°）n，解得n=10，
所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．
故答案为7．
　
三．解答题（共6小题）
17．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
n﹣2=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
　
18．
【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，可得k≤ ( http: / / www.21cnjy.com )=8，只有当n=8时，m才有最大值8，即可得当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．21世纪教育网版权所有
解：（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
故答案为：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m=n﹣2；
（3）取n=7时，m=6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤ ( http: / / www.21cnjy.com )=8，只有当n=8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，显然，m的值是7；
（2）当n=3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n=6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时， ( http: / / www.21cnjy.com )凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n=8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
　
19．
【分析】（1）先求六边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCDEF的每个内角的度数，根据平行线的性质可求∠B+∠BCF=180°，再根据四边形的内角和是360°，求∠FCD的度数，从而求解．
（2）先根据四边形内角和求出∠AFC=60°，再根据平行线的判定即可求解．
解：（1）∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠B=∠A=∠BCD=120°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠FCD=60°；
（2）∵∠AFC=360°﹣120°﹣120°﹣60°=60°，
∴∠AFC=∠FCD，
∴AF∥CD．
　
20．
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
解：（1）如图所示：
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（2）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
　
21．
【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；
（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；
（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．
解：如图所示：
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（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S= ( http: / / www.21cnjy.com )n（n﹣3）；
（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线： ( http: / / www.21cnjy.com )×15×（15﹣3）=90（条）；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）设多边形有n条边，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )n（n﹣3）=n，
解得n=5或n=0（应舍去）．
故这个多边形的边数是5．
故答案为：S= ( http: / / www.21cnjy.com )n（n﹣3）；12，90．
　
22．
【分析】（1）延长BC交AD于点M，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）①利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．21·世纪*教育网
②根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：（1）延长BC交AD于点M
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∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（2）①如图3，由凹四边形的性质，得∠CDA=∠E+∠EAD+∠ECD，
∵∠ADC=140°，∠AEC=100°，
∴∠EAD+∠ECD=40°．
∵∠BAD与∠BCD两角的角平分线交于点E，
∴∠BCA+∠BAC=80°，
由凹四边形的性质，得∠CDA=∠B+∠BCA+∠BAC，
∴∠B=140°﹣80°=60°．
②如图4，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=∠BOF=122°，
由凹四边形的性质，得∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∠B+∠D+∠F=∠BOF=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案为：244°．
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