9.3.1 用相同的正多边形同步练习
文档属性
| 名称 | 9.3.1 用相同的正多边形同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 336.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-24 19:06:37 | ||
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文档简介
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9.3.1 用相同的正多边形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
用相同的正多边形拼地板:当围绕一点拼在一起的几个相同的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,就拼成一个平面图形,这是相同的正多边 形能够铺满地面的条件,这样的正多边形只有正三角形、正方形、正六边形三种．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．用两种边长相等的正多边形地砖铺地，已有正方形的地砖，还可选择地砖形状为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．下列说法正确的是（ ）
A．只有正多边形可以进行平面镶嵌
B．最多能用两种正多边形进行平面镶嵌
C．一般的凸四边形也可以进行平面镶嵌
D．只有正五边形不可以进行平面镶嵌
3．某市为了迎接世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能使用的是（ ）
A． B． C． D．
4．将六个边长相同的正三角形密铺成一个正六边形，下列说法正确的是（ ）
A．正六边形可看作是其中一个正三角形绕中心依次旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的
B．正六边形可看作是其中一个正三角形经过平移得到的
C．正六边形可看作是其中一个正三角形通过三次轴对称得到的
D．以上说法都有错误
5．如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌，可能的情形有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．3种
6．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处由几块正六边形组成（ ）
A．2块 B．3块 C．4块 D．6块
二．填空题（共5小题）
7．现有①正方形②正五边形③正六边形④正八边形，其中可以单独密铺的图形是 ．（填序号即可）
8．用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为 个．
9．用同一规格的多边形地砖来铺地板，能密铺的多边形地砖有 种．
10．如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B，BC=CD=DA，图②是用多个同样的四边形密铺而成的，则∠A= °．
11．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
三．解答题（共3小题）
12．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
13．正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
14．（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？
（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．
15. 用同样大小的长方形纸片铺成如图所示的图案,已知每张纸片的宽是１２cm, 求阴影部分的面积之和．
16.如图,周长为６８cm 的长方形ABCD是由七个相同的小长方形组合而成,请问这是平面图形 的密铺吗 并求出长方形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°．则90m+120n=360°，m=4﹣43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，因为90°+2×135°=360°，所以正八边形可以；
D、正方形的每个内角是90°，正十边形的每个内角是144°．则90m+144n=360°，m=4﹣144n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
故选：C．
2．
【分析】根据平面密铺的定义，结合各选项进行判断．
解：A、只有正多边形可以进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
B、最多能用两种正多边形进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
C、一般的凸四边形也可以进行平面镶嵌，说法正确，故本选项正确；
D、只有正五边形不可以进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
故选：C．
3．
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
4．
【分析】正六边形是旋转对称图形，可由一个正三角形旋转得到．
解：连接正六边形的中心和各顶点，可把正六边形分成6个全等的正三角形，那么可由其中一个正三角形绕中心依次旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的．故选A．
5．
【分析】由于正三角形和正十二边形的内角分别为60°，150°，根据平面镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为360°，可以列出二元一次方程，求出其正整数解即可．
解：设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正十二边形的角．
因为正三角形的每个内角60°，正十二边形每个内角150°
所以60m+150n=360，
解得，
因此用正三角形和正十二边形镶嵌，只可能有1种情况．
故选：A．
6．
【分析】根据正六边形的每个内角是120°，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：因为正六边形的每个内角是120°，所以每个顶点处正六边形的个数为360°÷120°=3．故选B．
二．填空题（共5小题）
7．
【分析】分别求出正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形的每个内角是135°，然后根据这些角的度数能否整除360度即可作出判断．
解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
②正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
④正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．
故答案为：①③．
8．
【分析】先求出正三角形每个内角的度数，再求个数即可．
解：正三角形的每个内角是60°，同一顶点周围，正三角形的个数为360°÷60°=6个．
9．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角即可得出答案．
解：能密铺的多边形地砖有正三角形、正方形、正六边形，
故答案为：3．
10．
【分析】先由AB∥CD，∠A=∠B可得四边形ABCD是等腰梯形，设等腰梯形的上底角为α，即∠C=∠D=α，则下底角为180°﹣α，即∠A=∠B=180°﹣α．由于用多个同样的四边形ABCD能够密铺，所以拼在同一顶点处的几个角能构成周角．观察图形，图②中顶点O处3个上底角的和为360°，即3α=360°，求出α的值即可．
解：∵AB∥CD，∠A=∠B，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
设等腰梯形的上底角为α，即∠C=∠D=α，则下底角为180°﹣α，即∠B=180°﹣α．由题意得
3α=360°，解得α=120°，
∴∠A=180°﹣α=60°．
故答案为60．
11．
【分析】根据图形的特点，观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数．
解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
三．解答题（共3小题）
12．
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°﹣求解即可；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，
正四边形每个内角的度数是90°，
正五边形每个内角的度数是108°，
正六边形每个内角的度数是120°，
正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．
故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
13．
【分析】先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°．
解：不能．
∵正八边形每个内角是=135°，不能整除360°，
∴不能密铺．
14．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
（2）几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
（3）可选择正四边形进行画图．
解：（1）设为n边形，由题意得：
（n﹣2）180°=3×360°，
∴n=8；
（2）正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；
（3）所画图形如下：
15.
解：设每张纸片的长为xcm, 根据图形可得５x＝３x＋１２×３， 解得x＝１８， 所以阴影部分的面积之和为３×(１８－１２)２＝１０８cm２．
16.
解：是． 设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm． 根据题意,得
, 解得 ， 所以长方形ABCD 的面积为１４×２０＝２８０cm２．
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9.3.1 用相同的正多边形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
用相同的正多边形拼地板:当围绕一点拼在一起的几个相同的正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,就拼成一个平面图形,这是相同的正多边 形能够铺满地面的条件,这样的正多边形只有正三角形、正方形、正六边形三种．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．用两种边长相等的正多边形地砖铺地，已有正方形的地砖，还可选择地砖形状为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．下列说法正确的是（ ）
A．只有正多边形可以进行平面镶嵌
B．最多能用两种正多边形进行平面镶嵌
C．一般的凸四边形也可以进行平面镶嵌
D．只有正五边形不可以进行平面镶嵌
3．某市为了迎接世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能使用的是（ ）
A． B． C． D．
4．将六个边长相同的正三角形密铺成一个正六边形，下列说法正确的是（ ）
A．正六边形可看作是其中一个正三角形绕中心依次旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的
B．正六边形可看作是其中一个正三角形经过平移得到的
C．正六边形可看作是其中一个正三角形通过三次轴对称得到的
D．以上说法都有错误
5．如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌，可能的情形有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．3种
6．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处由几块正六边形组成（ ）
A．2块 B．3块 C．4块 D．6块
二．填空题（共5小题）
7．现有①正方形②正五边形③正六边形④正八边形，其中可以单独密铺的图形是 ．（填序号即可）
8．用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为 个．
9．用同一规格的多边形地砖来铺地板，能密铺的多边形地砖有 种．
10．如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B，BC=CD=DA，图②是用多个同样的四边形密铺而成的，则∠A= °．
11．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
三．解答题（共3小题）
12．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
13．正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
14．（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？
（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．
15. 用同样大小的长方形纸片铺成如图所示的图案,已知每张纸片的宽是１２cm, 求阴影部分的面积之和．
16.如图,周长为６８cm 的长方形ABCD是由七个相同的小长方形组合而成,请问这是平面图形 的密铺吗 并求出长方形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°．则90m+120n=360°，m=4﹣43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，因为90°+2×135°=360°，所以正八边形可以；
D、正方形的每个内角是90°，正十边形的每个内角是144°．则90m+144n=360°，m=4﹣144n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
故选：C．
2．
【分析】根据平面密铺的定义，结合各选项进行判断．
解：A、只有正多边形可以进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
B、最多能用两种正多边形进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
C、一般的凸四边形也可以进行平面镶嵌，说法正确，故本选项正确；
D、只有正五边形不可以进行平面镶嵌，说法错误，故本选项错误；
故选：C．
3．
【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
4．
【分析】正六边形是旋转对称图形，可由一个正三角形旋转得到．
解：连接正六边形的中心和各顶点，可把正六边形分成6个全等的正三角形，那么可由其中一个正三角形绕中心依次旋转60°，120°，180°，240°，300°得到的．故选A．
5．
【分析】由于正三角形和正十二边形的内角分别为60°，150°，根据平面镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为360°，可以列出二元一次方程，求出其正整数解即可．
解：设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正十二边形的角．
因为正三角形的每个内角60°，正十二边形每个内角150°
所以60m+150n=360，
解得，
因此用正三角形和正十二边形镶嵌，只可能有1种情况．
故选：A．
6．
【分析】根据正六边形的每个内角是120°，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：因为正六边形的每个内角是120°，所以每个顶点处正六边形的个数为360°÷120°=3．故选B．
二．填空题（共5小题）
7．
【分析】分别求出正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形的每个内角是135°，然后根据这些角的度数能否整除360度即可作出判断．
解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
②正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
④正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．
故答案为：①③．
8．
【分析】先求出正三角形每个内角的度数，再求个数即可．
解：正三角形的每个内角是60°，同一顶点周围，正三角形的个数为360°÷60°=6个．
9．
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角即可得出答案．
解：能密铺的多边形地砖有正三角形、正方形、正六边形，
故答案为：3．
10．
【分析】先由AB∥CD，∠A=∠B可得四边形ABCD是等腰梯形，设等腰梯形的上底角为α，即∠C=∠D=α，则下底角为180°﹣α，即∠A=∠B=180°﹣α．由于用多个同样的四边形ABCD能够密铺，所以拼在同一顶点处的几个角能构成周角．观察图形，图②中顶点O处3个上底角的和为360°，即3α=360°，求出α的值即可．
解：∵AB∥CD，∠A=∠B，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
设等腰梯形的上底角为α，即∠C=∠D=α，则下底角为180°﹣α，即∠B=180°﹣α．由题意得
3α=360°，解得α=120°，
∴∠A=180°﹣α=60°．
故答案为60．
11．
【分析】根据图形的特点，观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数．
解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
三．解答题（共3小题）
12．
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°﹣求解即可；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，
正四边形每个内角的度数是90°，
正五边形每个内角的度数是108°，
正六边形每个内角的度数是120°，
正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．
故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
13．
【分析】先算出正八边形每个内角的度数，再看每个内角度数能否整除360°．
解：不能．
∵正八边形每个内角是=135°，不能整除360°，
∴不能密铺．
14．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
（2）几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
（3）可选择正四边形进行画图．
解：（1）设为n边形，由题意得：
（n﹣2）180°=3×360°，
∴n=8；
（2）正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；
（3）所画图形如下：
15.
解：设每张纸片的长为xcm, 根据图形可得５x＝３x＋１２×３， 解得x＝１８， 所以阴影部分的面积之和为３×(１８－１２)２＝１０８cm２．
16.
解：是． 设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm． 根据题意,得
, 解得 ， 所以长方形ABCD 的面积为１４×２０＝２８０cm２．
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