9.3.2 用多种正多边形同步练习
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9.3.2 用多种正多边形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
用多种正多边形拼地板,需满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角和为 ３６０ 度．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共8小题）
1．用两种边长相等的正多边形地砖铺地，已有正方形的地砖，还可选择地砖形状为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．小漩希望在装修她的新房时铺上有正八边形的地砖，那么密铺她的房间地面还应选择以下哪种形状的地砖（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对
4．如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌，可能的情形有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．3种
5．若绕一点用正三角形与正六边形组合铺地板，则需要正六边形的块数为（ ）
A．1块 B．2块 C．2块或3块 D．1块或2块
6．有下列图形：①直角三角形；②梯形；③任意四边形；④五边形；⑤正七边形；⑥正九边形，其中能够铺满地面的图形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
7．小华家装修房屋，用相同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）
A．正三角形、正六边形 B．正三角形、正五边形、正八边形
C．正六边形、正五边形 D．正八边形、正三角形
8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（ ）
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
二．填空题（共6小题）
9．如图的图案是由正方形、正三角形和 密铺而成的．
10．用正三角形和正方形作覆盖平面，在拼接点处有m个正三角形和n个正方形，则m= ，n= ．
11．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 ．
12．把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需 个正三角形才可以镶嵌．
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
三．解答题（共5小题）
14．用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？
15．如图，请复制并剪出若干个纸样，通过拼图解答以下问题．
（1）这种图形能密铺平面吗？如果你认为能，请用这种图形组成一幅镶嵌图案．
（2）若AB=4cm，AD=BC=1.5cm，由20个这种图形组成的镶嵌图形面积有多大？
16．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．
（1）试分别确定A、B是什么正多边形？
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）；
（3）判断你所画图形的对称性（直接写出结果）．
17．正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为acm、宽为bcm的矩形板材（如图1），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图2）．
（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），并写出新正方形的面积；
（2）现用如图1所示的四块矩形板材铺成一个大矩形（如图3）或大正方形（如图4），中间分别空出一个小矩形和一个小正方形．
①试比较中间的小矩形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？
②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？
18．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°．则90m+120n=360°，m=4﹣43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，因为90°+2×135°=360°，所以正八边形可以；
D、正方形的每个内角是90°，正十边形的每个内角是144°．则90m+144n=360°，m=4﹣144n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
故选：C．
2．
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；
C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：B．
3．
【分析】根据各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断，进而求出即可．
解：正三角形的每个内角等于180°÷3=60°，360°是60°的整数倍，也就是用一些60°角能拼出360°的角．所以正三角形能密铺平面．
正方形的每个内角等于90°，360°是90°的整数倍，也就是用一些90°角能拼出360°的角．所以正方形能密铺平面．
由多边形内角和定理，可以得到六边形内角和等于（6﹣2）×180°=720°，因此，正六边形的每个内角等于720°÷6=120°，360°是120°的整数倍，也就是用一些120°角能拼出360°的角．所以正六边形能密铺平面．
故①②③都能密铺平面．
故选：A．
4．
【分析】由于正三角形和正十二边形的内角分别为60°，150°，根据平面镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为360°，可以列出二元一次方程，求出其正整数解即可．
解：设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正十二边形的角．
因为正三角形的每个内角60°，正十二边形每个内角150°
所以60m+150n=360，
解得，
因此用正三角形和正十二边形镶嵌，只可能有1种情况．
故选：A．
5．
【分析】正三角形的内角和为120°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
解：∵正三角形与正六边形内角和分别为60°，120°，
又∵60°×4+120°=360°，60°×2+120°×2=360°，
∴需要正六边形的块数为1块或2块．
故选：D．
6．
【分析】看不规则图形的内角和是否为360°的约数，正多边形的一个内角度数是否为360°的约数即可．
解：①直角三角形内角和是180°，6个相同的直角三角形能铺满地面；
②梯形的内角和是360°，4个相同的梯形能铺满地面；
③任意四边形的内角和是360°，4个相同的任意四边形能铺满地面；
④正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能铺满地面；
⑤正七边形的一个内角度数为180﹣360÷7=°，不是360°的约数，不能铺满地面；
⑥正九边形的一个内角度数为180﹣360÷9=140°，不是360°的约数，不能铺满地面．
能够铺满地面的图形有3个．故选B．
7．
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：A、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于120°×2+60°×2=360°，故能铺满；
B、正三角形、正五边形、正八边形内角分别为60°、108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正六边形、正五边形内角分别为120°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：A．
8．
【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1﹣1），6+12×（2﹣1），…，6+12×（n﹣1）块．
解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．
第2层包括18个正三角形．
此后，每层都比前一层多12个．
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．
【分析】结合镶嵌的条件围绕一点观察图形即可作出判断．
解：围绕一点观察图形可知如图的图案是由正方形、正三角形和 正六边形密铺而成的．
故答案为：正六边形．
10．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n=360，求出此方程的正整数解即可．
解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n=360，
解得m=6﹣n，
当n=2时，m=3．
故边长相同的正方形和正三角形共同作平面镶嵌，在一个顶点周围，有 3个正三角形和2个正方形．
故答案为：3，2．
11．
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
解：由于正方形和正十二边形内角分别为90°、150°，
∵360﹣（150+90）=120，
又∵正六边形内角为120°，
∴第三个正多边形的边数是6．
12．
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出正三角形的个数即可．
解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
又∵3×60°+2×90°=360°，
∴用2个正方形，则还需3个正三角形才可以镶嵌．
故答案为：3．
13．
【分析】根据图形的特点，观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数．
解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
三．解答题（共5小题）
14．
【分析】先分别求出大正六边形的地面、一块小正六边形的瓷砖、一块正三角形瓷砖的面积，再用（大正六边形的地面面积﹣一块小正六边形的瓷砖面积）÷一块正三角形瓷砖的面积即可．
解：∵边长为1.2m的正六边形的地面的面积为：×1202×6=21600（cm2），
一块边长为20cm正六边形的瓷砖的面积为：×202×6=600（cm2），
一块边长为20cm的正三角形瓷砖的面积为：×202=100（cm2），
∴需要这样的正三角形瓷砖（21600﹣600）÷100=210块．
15．
【分析】（1）根据图形的特点得出镶嵌图案即可；
（2）利用由20个这种图形组成的镶嵌图形是有20个4×1.5的小矩形组成，进而得出答案．
解：（1）这种图形能密铺平面，
如图所示：
（2）∵由20个这种图形组成的镶嵌图形是有20个4×1.5的小矩形组成，AB=4cm，AD=BC=1.5cm，
∴镶嵌后图形面积为：20×4×1.5=120（cm 2）．
答：由20个这种图形组成的镶嵌图形面积为120cm 2．
16．
【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，从而根据密铺的特点可列出方程，解出即可．
（2）根据（1）所求出的正多边形画出一种图形即可．
（3）根据轴对称的特点即可直接作出判断．
解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2×x=360°，
解得：x=60°，
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）所画图形如下：
（3）根据（2）的图形及轴对称的定义可得所产生的密铺图形是轴对称图形．
17．
【分析】（1）根据正方形的性质和正方形的边长解答；
（2）①列出图形的面积表达式，再进行比较；②根据图形的特点，以求得a、b的长．
解：（1）将四个图2所示的正方形拼成一个新正方形即可；其面积为4c2；
（2）①图3中的小长方形的面积为a（a﹣2b）=a2﹣2ab；图4中的小长方形的面积为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∵a2﹣2ab+b2＞a2﹣2ab；
∴图4中小正方形的面积＞图3中的小长方形的面积．
②图4中大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，故b=20÷2=10cm；
由图4中大正方形的边长比中间小正方形的面积大3200cm2得，4ab=3200，
又∵b=10cm，
∴a=3200÷（4×10）=80cm．
则图4中中间小正方形的边长为80﹣10=70cm．
如右图至少要切割4块如图2的地砖．
18．
【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．
解：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，
根据题意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
方程的正整数解为，．
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕2个正三角形和2个正六边形或者围绕着4个正三角形和1个正六边形．
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9.3.2 用多种正多边形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
用多种正多边形拼地板,需满足围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角和为 ３６０ 度．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共8小题）
1．用两种边长相等的正多边形地砖铺地，已有正方形的地砖，还可选择地砖形状为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．小漩希望在装修她的新房时铺上有正八边形的地砖，那么密铺她的房间地面还应选择以下哪种形状的地砖（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．在①正三角形、②正方形、③正六边形中能密铺平面的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．以上都不对
4．如果用正三角形和正十二边形作平面镶嵌，可能的情形有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．3种
5．若绕一点用正三角形与正六边形组合铺地板，则需要正六边形的块数为（ ）
A．1块 B．2块 C．2块或3块 D．1块或2块
6．有下列图形：①直角三角形；②梯形；③任意四边形；④五边形；⑤正七边形；⑥正九边形，其中能够铺满地面的图形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
7．小华家装修房屋，用相同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）
A．正三角形、正六边形 B．正三角形、正五边形、正八边形
C．正六边形、正五边形 D．正八边形、正三角形
8．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数是（ ）
A．102个 B．114个 C．126个 D．138个
二．填空题（共6小题）
9．如图的图案是由正方形、正三角形和 密铺而成的．
10．用正三角形和正方形作覆盖平面，在拼接点处有m个正三角形和n个正方形，则m= ，n= ．
11．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是 ．
12．把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需 个正三角形才可以镶嵌．
13．如图是以正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分，（其中有4×3个“基本单位”），其间存有若干个小正方形空隙，以及图案的4个角处有更小的三角形空隙，若密铺5×4个“基本单位”的图案，并填满空隙，则需要 个小正方形， 小三角形．（不含图案的4个角）
三．解答题（共5小题）
14．用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？
15．如图，请复制并剪出若干个纸样，通过拼图解答以下问题．
（1）这种图形能密铺平面吗？如果你认为能，请用这种图形组成一幅镶嵌图案．
（2）若AB=4cm，AD=BC=1.5cm，由20个这种图形组成的镶嵌图形面积有多大？
16．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．
（1）试分别确定A、B是什么正多边形？
（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）；
（3）判断你所画图形的对称性（直接写出结果）．
17．正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为acm、宽为bcm的矩形板材（如图1），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图2）．
（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），并写出新正方形的面积；
（2）现用如图1所示的四块矩形板材铺成一个大矩形（如图3）或大正方形（如图4），中间分别空出一个小矩形和一个小正方形．
①试比较中间的小矩形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？
②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？
18．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决：
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+y=360，整理得：2x+3y=8，
我们可以找到方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°．则90m+120n=360°，m=4﹣43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，因为90°+2×135°=360°，所以正八边形可以；
D、正方形的每个内角是90°，正十边形的每个内角是144°．则90m+144n=360°，m=4﹣144n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
故选：C．
2．
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；
C、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：B．
3．
【分析】根据各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断，进而求出即可．
解：正三角形的每个内角等于180°÷3=60°，360°是60°的整数倍，也就是用一些60°角能拼出360°的角．所以正三角形能密铺平面．
正方形的每个内角等于90°，360°是90°的整数倍，也就是用一些90°角能拼出360°的角．所以正方形能密铺平面．
由多边形内角和定理，可以得到六边形内角和等于（6﹣2）×180°=720°，因此，正六边形的每个内角等于720°÷6=120°，360°是120°的整数倍，也就是用一些120°角能拼出360°的角．所以正六边形能密铺平面．
故①②③都能密铺平面．
故选：A．
4．
【分析】由于正三角形和正十二边形的内角分别为60°，150°，根据平面镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为360°，可以列出二元一次方程，求出其正整数解即可．
解：设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正十二边形的角．
因为正三角形的每个内角60°，正十二边形每个内角150°
所以60m+150n=360，
解得，
因此用正三角形和正十二边形镶嵌，只可能有1种情况．
故选：A．
5．
【分析】正三角形的内角和为120°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
解：∵正三角形与正六边形内角和分别为60°，120°，
又∵60°×4+120°=360°，60°×2+120°×2=360°，
∴需要正六边形的块数为1块或2块．
故选：D．
6．
【分析】看不规则图形的内角和是否为360°的约数，正多边形的一个内角度数是否为360°的约数即可．
解：①直角三角形内角和是180°，6个相同的直角三角形能铺满地面；
②梯形的内角和是360°，4个相同的梯形能铺满地面；
③任意四边形的内角和是360°，4个相同的任意四边形能铺满地面；
④正五边形的一个内角度数为180﹣360÷5=108°，不是360°的约数，不能铺满地面；
⑤正七边形的一个内角度数为180﹣360÷7=°，不是360°的约数，不能铺满地面；
⑥正九边形的一个内角度数为180﹣360÷9=140°，不是360°的约数，不能铺满地面．
能够铺满地面的图形有3个．故选B．
7．
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：A、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于120°×2+60°×2=360°，故能铺满；
B、正三角形、正五边形、正八边形内角分别为60°、108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正六边形、正五边形内角分别为120°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：A．
8．
【分析】观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1﹣1），6+12×（2﹣1），…，6+12×（n﹣1）块．
解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形．
第2层包括18个正三角形．
此后，每层都比前一层多12个．
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．
【分析】结合镶嵌的条件围绕一点观察图形即可作出判断．
解：围绕一点观察图形可知如图的图案是由正方形、正三角形和 正六边形密铺而成的．
故答案为：正六边形．
10．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n=360，求出此方程的正整数解即可．
解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n=360，
解得m=6﹣n，
当n=2时，m=3．
故边长相同的正方形和正三角形共同作平面镶嵌，在一个顶点周围，有 3个正三角形和2个正方形．
故答案为：3，2．
11．
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
解：由于正方形和正十二边形内角分别为90°、150°，
∵360﹣（150+90）=120，
又∵正六边形内角为120°，
∴第三个正多边形的边数是6．
12．
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出正三角形的个数即可．
解：∵正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
又∵3×60°+2×90°=360°，
∴用2个正方形，则还需3个正三角形才可以镶嵌．
故答案为：3．
13．
【分析】根据图形的特点，观察图形即可得出图中需要的小正方形和小三角形的个数．
解：小正方形4×3=12；小三角形的个数为4×2+3×2=14，
故答案为：12，14．
三．解答题（共5小题）
14．
【分析】先分别求出大正六边形的地面、一块小正六边形的瓷砖、一块正三角形瓷砖的面积，再用（大正六边形的地面面积﹣一块小正六边形的瓷砖面积）÷一块正三角形瓷砖的面积即可．
解：∵边长为1.2m的正六边形的地面的面积为：×1202×6=21600（cm2），
一块边长为20cm正六边形的瓷砖的面积为：×202×6=600（cm2），
一块边长为20cm的正三角形瓷砖的面积为：×202=100（cm2），
∴需要这样的正三角形瓷砖（21600﹣600）÷100=210块．
15．
【分析】（1）根据图形的特点得出镶嵌图案即可；
（2）利用由20个这种图形组成的镶嵌图形是有20个4×1.5的小矩形组成，进而得出答案．
解：（1）这种图形能密铺平面，
如图所示：
（2）∵由20个这种图形组成的镶嵌图形是有20个4×1.5的小矩形组成，AB=4cm，AD=BC=1.5cm，
∴镶嵌后图形面积为：20×4×1.5=120（cm 2）．
答：由20个这种图形组成的镶嵌图形面积为120cm 2．
16．
【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，从而根据密铺的特点可列出方程，解出即可．
（2）根据（1）所求出的正多边形画出一种图形即可．
（3）根据轴对称的特点即可直接作出判断．
解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），
∴3x+2×x=360°，
解得：x=60°，
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）所画图形如下：
（3）根据（2）的图形及轴对称的定义可得所产生的密铺图形是轴对称图形．
17．
【分析】（1）根据正方形的性质和正方形的边长解答；
（2）①列出图形的面积表达式，再进行比较；②根据图形的特点，以求得a、b的长．
解：（1）将四个图2所示的正方形拼成一个新正方形即可；其面积为4c2；
（2）①图3中的小长方形的面积为a（a﹣2b）=a2﹣2ab；图4中的小长方形的面积为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
∵a2﹣2ab+b2＞a2﹣2ab；
∴图4中小正方形的面积＞图3中的小长方形的面积．
②图4中大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，故b=20÷2=10cm；
由图4中大正方形的边长比中间小正方形的面积大3200cm2得，4ab=3200，
又∵b=10cm，
∴a=3200÷（4×10）=80cm．
则图4中中间小正方形的边长为80﹣10=70cm．
如右图至少要切割4块如图2的地砖．
18．
【分析】在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据平面镶嵌的体积可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，求出正整数解即可．
解：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角，
根据题意，可得方程：60a+120b=360．
整理得：a+2b=6，
方程的正整数解为，．
所以可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕2个正三角形和2个正六边形或者围绕着4个正三角形和1个正六边形．
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