2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（下）月考数学试卷原卷版+解析版（3月份）（五四学制）
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（下）月考数学试卷原卷版+解析版（3月份）（五四学制） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 986.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-24 16:30:13 | ||
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文档简介
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
一、填空题（每题3分，本题共30分）
1．（3分）在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3?a4=2a7
3．（3分）下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞7 B．m＜7 C．m=7 D．m≠7
5．（3分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
8．（3分）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ）
A．（﹣1）小时 B．（+1）小时 C．2小时 D．小时
9．（3分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
10．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
二、填空题（每题3分，本题共30分）
11．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是 ．
13．（3分）计算﹣的结果是 ．
14．（3分）因式分解：x3﹣x2+= ．
15．（3分）如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为 ．
16．（3分）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 ．
17．（3分）已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣≤x≤，y有最大值为﹣3，则a的值为 ．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为 cm2．
19．（3分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是 ．
20．（3分）△ABC中，BC=10，AB=，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为 ．
三．解答题
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
22．（7分）【问题提出】
我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
【问题探究】
（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．
23．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
24．（8分）如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB= °，理由是： ；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
27．（10分）已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，本题共30分）
1．（3分）在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：逐个代替后这四个数分别为﹣0.3428，﹣0.1328，﹣0.1438，﹣0.1423．
﹣0.1328的绝对值最小，只有C符合．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3?a4=2a7
【解答】解：A、原式=m4，不符合题意；
B、原式=x2+2x+1，不符合题意；
C、原式=27m6，不符合题意；
D、原式=2a7，符合题意，
故选：D．
3．（3分）下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故选：B．
4．（3分）在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞7 B．m＜7 C．m=7 D．m≠7
【解答】解：∵在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，
∴m﹣7＞0，
解得m＞7．
故选：A．
5．（3分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：A．
6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【解答】解：∵不等式组无解．
∴m≤3．故选D．
7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选：C．
8．（3分）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ）
A．（﹣1）小时 B．（+1）小时 C．2小时 D．小时
【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD=MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（﹣1）MD=2： +1．
故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时．
故选：B．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正确；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中点，
即BE=EC，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正确；
（3）∵当k=1时，即=1，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴CF=CD，
∴DF=CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE与△ADF不相似；
故（3）错误．
故选：C．
10．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
【解答】解：A方案的函数解析式为：yA=；
B方案的函数解析式为：yB=；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D错误；
观察函数图象可知A、B、C正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，本题共30分）
11．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为 6.7×1010 ．
【解答】解：67 000 000 000=6.7×1010，
故答案为：6.7×1010．
12．（3分）已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是 2008 ．
【解答】解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+=a，
=2007，
两边同平方，得a﹣2008=20072，
∴a﹣20072=2008．
13．（3分）计算﹣的结果是 2 ．
【解答】解：原式=3﹣=2，
故答案为：2
14．（3分）因式分解：x3﹣x2+= x（x﹣）2 ．
【解答】解：x3﹣x2+
=x（x2﹣x+）（提取公因式）
=x（x﹣）2（完全平方公式）．
15．（3分）如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为 40°、20°、100° ．
【解答】解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OM，
∴∠OMC=∠OCP，
在△OPM中，MP=MO，
∴∠MOP=∠MPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠MPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPM中，∠MOP+∠MPO+∠OMC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OM，
∴∠OMP=（180°﹣∠MOC）×①，
∵OM=PM，
∴∠OPM=（180°﹣∠OMP）×②，
在△OMP中，30°+∠MOC+∠OMP+∠OPM=180°③，
把①②代入③得∠MOC=20°，则∠OMP=80°
∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OM，
∴∠OCP=∠OMC=（180°﹣∠COM）×①，
∵OM=PM，
∴∠P=（180°﹣∠OMP）×②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COM+∠POM=150°③，
∵∠P=∠POM，2∠P=∠OCP=∠OMC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．
16．（3分）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 π﹣ ．
【解答】解：如图，设的中点为P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是：×12=，
扇形OAP的面积是：S扇形=，
AP直线和AP弧面积：S弓形=﹣，
阴影面积：3×2S弓形=π﹣．
故答案为：π﹣．
17．（3分）已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣≤x≤，y有最大值为﹣3，则a的值为 2+或﹣ ．
【解答】解：对称轴：x=﹣=﹣，
分三种情况：
①当﹣≤﹣时，即a≥1，如图1，
当﹣≤x≤，y随x的增大而减小，
∴当x=﹣时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣1+2a﹣a2+2a，
解得：a1=2+，a2=2﹣（舍）；
②当﹣＜﹣＜时，即﹣1＜a＜1，如图2，
当x=﹣时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣a2+2a2﹣a2+2a，
解得：a=﹣（舍），
③当﹣≥时，即a≤﹣1，如图3，
当﹣≤x≤，y随x的增大而增大，
∴当x=时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣1﹣2a﹣a2+2a，
解得：a1=﹣，a2=（舍）；
故答案为：2+或﹣．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为 8 cm2．
【解答】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．
∵AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，
∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．
=AH×x×+AE×y×
=2x×+3y×=5cm2
2x+3y=10
S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×
=2（4﹣x）×+3（6﹣y）×
=（26﹣2x﹣3y）×
=（26﹣10）×
=8cm2．
故答案为8．
19．（3分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是 ．
【解答】解：由树状图
可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
20．（3分）△ABC中，BC=10，AB=，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为 或 ．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∵BC=10，∠ABC=30°，
∴CD=BCsin30°=5，
BD=BCcos30°=5，
∵AB=，
∴AD=BD﹣AB=5﹣4=，
在Rt△ACD中，AC===2．
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，
∴△APE∽△ACD，
∴=，
即=，
解得AP=，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC﹣AP=2﹣=，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP=2+=．
综上所述，CP的长为或．
故答案为：或．
三．解答题
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式=（﹣）×
=×
=．
∵tan60°＞a＞sin30°，即＞a＞．
取a=，
原式==．
22．（7分）【问题提出】
我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
【问题探究】
（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据分析，可得
．
（2）如图2，
，
存在过AB的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
设AM=x，直线MQ既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
则BM=3﹣x，CQ=（3+4+5）÷2﹣x﹣4=2﹣x，BQ=5﹣（2﹣x）=x+3，
∵，
∴S△BMQ=6÷2=3，
∴，
解得x=或﹣（舍弃），
∴存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，此时AM=．
（3）如图3，作CM⊥AD于点M，FN⊥AD于点N，
，
不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．
∵AB=AD=9，BC=5，CD=13，
∴四边形ABCD的周长为：9+9+5+13=36；
设AM=a，则DM=9﹣a，CM=b，
则
解得
∴S四边形ABCD=（9+12）×4÷2+12×（9﹣4）÷2=72
设AE=x，
则BE=9﹣x，DF=36÷2﹣x﹣9=9﹣x，CF=13﹣（9﹣x）=x+4，
∵CM⊥AD，FN⊥AD，
∴FN∥CM，
∴=，
∴=，
解得FN=，ND=，
∴×÷2+×÷2=72÷2=36
整理，可得
52x2﹣390x+819=0，
△=3902﹣4×52×819=﹣18252＜0，
∴x无解，
∴不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．
23．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 2400 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 60 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个，
A品牌所占的圆心角：×360°=60°；
故答案为：2400，60；
（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，
补全统计图如图；
（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500=500个．
24．（8分）如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．
【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，
∵CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=BE=CD，
又∵AB∥CD，
∴BCDE为平行四边形，
∴BC∥DE，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
（2）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAE．
由（1）知EC=EA，
∴∠A=∠ACE．
∴∠ACD=∠ACE．
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成建校工程需x天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x．
依题意得：．（3分）
解得：x=120．
经检验：x=120是原方程的解．
∴1.5x=180，
答：甲需180天，乙需120天．（4分）
（2）甲工程队需总费用为0.8×180+0.01×180=145.8（万元）．（5分）
设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元．
则：120m+120×0.01≤145.8．（7分）
解得：m≤1.205．
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．（8分）
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB= 90 °，理由是： 直径所对的圆周角是直角 ；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．
（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴===
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：（3x+6）2+（4x）2=82，
解得：x=﹣2（舍去）或x=
∴BD=5x=
27．（10分）已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=﹣2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；
（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=﹣2，
∴y=2x﹣2，
则，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，
∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）=0，
解得x=1或x=﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，﹣6），
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣，
∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（﹣2）﹣1|?|﹣﹣（﹣3）|=，
（3）当a=﹣1时，
抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣）2+，
有，
﹣x2﹣x+2=﹣2x，
解得：x1=2，x2=﹣1，
∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y=﹣2x+t，
﹣x2﹣x+2=﹣2x+t，
x2﹣x﹣2+t=0，
△=1﹣4（t﹣2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=﹣2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
一、填空题（每题3分，本题共30分）
1．（3分）在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3?a4=2a7
3．（3分）下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞7 B．m＜7 C．m=7 D．m≠7
5．（3分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
8．（3分）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ）
A．（﹣1）小时 B．（+1）小时 C．2小时 D．小时
9．（3分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
10．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
二、填空题（每题3分，本题共30分）
11．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是 ．
13．（3分）计算﹣的结果是 ．
14．（3分）因式分解：x3﹣x2+= ．
15．（3分）如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为 ．
16．（3分）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 ．
17．（3分）已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣≤x≤，y有最大值为﹣3，则a的值为 ．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为 cm2．
19．（3分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是 ．
20．（3分）△ABC中，BC=10，AB=，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为 ．
三．解答题
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
22．（7分）【问题提出】
我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
【问题探究】
（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．
23．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
24．（8分）如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB= °，理由是： ；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
27．（10分）已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，本题共30分）
1．（3分）在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：逐个代替后这四个数分别为﹣0.3428，﹣0.1328，﹣0.1438，﹣0.1423．
﹣0.1328的绝对值最小，只有C符合．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3?a4=2a7
【解答】解：A、原式=m4，不符合题意；
B、原式=x2+2x+1，不符合题意；
C、原式=27m6，不符合题意；
D、原式=2a7，符合题意，
故选：D．
3．（3分）下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故选：B．
4．（3分）在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＞7 B．m＜7 C．m=7 D．m≠7
【解答】解：∵在反比例函数y=的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，
∴m﹣7＞0，
解得m＞7．
故选：A．
5．（3分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：A．
6．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3
【解答】解：∵不等式组无解．
∴m≤3．故选D．
7．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选：C．
8．（3分）如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ）
A．（﹣1）小时 B．（+1）小时 C．2小时 D．小时
【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD=MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（﹣1）MD=2： +1．
故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时．
故选：B．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF；
故（1）正确；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵E是BC的中点，
即BE=EC，
∴，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=，
∴tan∠BAE=tan∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF，
∴AE平分∠BAF；
故（2）正确；
（3）∵当k=1时，即=1，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴CF=CD，
∴DF=CD，
∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，
∴△ABE与△ADF不相似；
故（3）错误．
故选：C．
10．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
【解答】解：A方案的函数解析式为：yA=；
B方案的函数解析式为：yB=；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D错误；
观察函数图象可知A、B、C正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，本题共30分）
11．（3分）现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000元用科学记数法表示为 6.7×1010 ．
【解答】解：67 000 000 000=6.7×1010，
故答案为：6.7×1010．
12．（3分）已知|a﹣2007|+=a，则a﹣20072的值是 2008 ．
【解答】解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+=a，
=2007，
两边同平方，得a﹣2008=20072，
∴a﹣20072=2008．
13．（3分）计算﹣的结果是 2 ．
【解答】解：原式=3﹣=2，
故答案为：2
14．（3分）因式分解：x3﹣x2+= x（x﹣）2 ．
【解答】解：x3﹣x2+
=x（x2﹣x+）（提取公因式）
=x（x﹣）2（完全平方公式）．
15．（3分）如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为 40°、20°、100° ．
【解答】解：①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OM，
∴∠OMC=∠OCP，
在△OPM中，MP=MO，
∴∠MOP=∠MPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠MPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPM中，∠MOP+∠MPO+∠OMC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OM，
∴∠OMP=（180°﹣∠MOC）×①，
∵OM=PM，
∴∠OPM=（180°﹣∠OMP）×②，
在△OMP中，30°+∠MOC+∠OMP+∠OPM=180°③，
把①②代入③得∠MOC=20°，则∠OMP=80°
∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OM，
∴∠OCP=∠OMC=（180°﹣∠COM）×①，
∵OM=PM，
∴∠P=（180°﹣∠OMP）×②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COM+∠POM=150°③，
∵∠P=∠POM，2∠P=∠OCP=∠OMC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．
16．（3分）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 π﹣ ．
【解答】解：如图，设的中点为P，连接OA，OP，AP，
△OAP的面积是：×12=，
扇形OAP的面积是：S扇形=，
AP直线和AP弧面积：S弓形=﹣，
阴影面积：3×2S弓形=π﹣．
故答案为：π﹣．
17．（3分）已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当﹣≤x≤，y有最大值为﹣3，则a的值为 2+或﹣ ．
【解答】解：对称轴：x=﹣=﹣，
分三种情况：
①当﹣≤﹣时，即a≥1，如图1，
当﹣≤x≤，y随x的增大而减小，
∴当x=﹣时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣1+2a﹣a2+2a，
解得：a1=2+，a2=2﹣（舍）；
②当﹣＜﹣＜时，即﹣1＜a＜1，如图2，
当x=﹣时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣a2+2a2﹣a2+2a，
解得：a=﹣（舍），
③当﹣≥时，即a≤﹣1，如图3，
当﹣≤x≤，y随x的增大而增大，
∴当x=时，y=﹣3，
代入y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3=﹣1﹣2a﹣a2+2a，
解得：a1=﹣，a2=（舍）；
故答案为：2+或﹣．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为 8 cm2．
【解答】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．
∵AH=CF=2cm，AE=CG=3cm，
∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．
=AH×x×+AE×y×
=2x×+3y×=5cm2
2x+3y=10
S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×
=2（4﹣x）×+3（6﹣y）×
=（26﹣2x﹣3y）×
=（26﹣10）×
=8cm2．
故答案为8．
19．（3分）质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5．投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是 ．
【解答】解：由树状图
可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是．
20．（3分）△ABC中，BC=10，AB=，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为 或 ．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∵BC=10，∠ABC=30°，
∴CD=BCsin30°=5，
BD=BCcos30°=5，
∵AB=，
∴AD=BD﹣AB=5﹣4=，
在Rt△ACD中，AC===2．
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，
∴△APE∽△ACD，
∴=，
即=，
解得AP=，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC﹣AP=2﹣=，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP=2+=．
综上所述，CP的长为或．
故答案为：或．
三．解答题
21．（7分）先化简，再求代数式的值．
（﹣）÷，其中tan60°＞a＞sin30°，请你取一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式=（﹣）×
=×
=．
∵tan60°＞a＞sin30°，即＞a＞．
取a=，
原式==．
22．（7分）【问题提出】
我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
【问题探究】
（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据分析，可得
．
（2）如图2，
，
存在过AB的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
设AM=x，直线MQ既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
则BM=3﹣x，CQ=（3+4+5）÷2﹣x﹣4=2﹣x，BQ=5﹣（2﹣x）=x+3，
∵，
∴S△BMQ=6÷2=3，
∴，
解得x=或﹣（舍弃），
∴存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，此时AM=．
（3）如图3，作CM⊥AD于点M，FN⊥AD于点N，
，
不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．
∵AB=AD=9，BC=5，CD=13，
∴四边形ABCD的周长为：9+9+5+13=36；
设AM=a，则DM=9﹣a，CM=b，
则
解得
∴S四边形ABCD=（9+12）×4÷2+12×（9﹣4）÷2=72
设AE=x，
则BE=9﹣x，DF=36÷2﹣x﹣9=9﹣x，CF=13﹣（9﹣x）=x+4，
∵CM⊥AD，FN⊥AD，
∴FN∥CM，
∴=，
∴=，
解得FN=，ND=，
∴×÷2+×÷2=72÷2=36
整理，可得
52x2﹣390x+819=0，
△=3902﹣4×52×819=﹣18252＜0，
∴x无解，
∴不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．
23．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）该超市“元旦”期间共销售 2400 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 60 度；
（2）补全条形统计图；
（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？
【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个，
A品牌所占的圆心角：×360°=60°；
故答案为：2400，60；
（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，
补全统计图如图；
（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500=500个．
24．（8分）如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．
【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，
∵CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=BE=CD，
又∵AB∥CD，
∴BCDE为平行四边形，
∴BC∥DE，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
（2）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAE．
由（1）知EC=EA，
∴∠A=∠ACE．
∴∠ACD=∠ACE．
25．（10分）在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．
（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成建校工程需x天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x．
依题意得：．（3分）
解得：x=120．
经检验：x=120是原方程的解．
∴1.5x=180，
答：甲需180天，乙需120天．（4分）
（2）甲工程队需总费用为0.8×180+0.01×180=145.8（万元）．（5分）
设乙工程队施工时平均每天的费用为m万元．
则：120m+120×0.01≤145.8．（7分）
解得：m≤1.205．
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．（8分）
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）∠ACB= 90 °，理由是： 直径所对的圆周角是直角 ；
（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；
（3）若AB=8，AD=6，求BD．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
（2）△EAD是等腰三角形．
证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，
∴∠CBD=∠ABE
∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°
∴∠AEB+∠EBA=90°，
∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴∠AED=∠EDA，
∴AE=AD
∴△EAD是等腰三角形．
（3）解：∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
∴在直角三角形AEB中，EB=10
∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE
∴△CDB∽△AEB，
∴===
∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在直角三角形ACB中，
AC2+BC2=AB2
即：（3x+6）2+（4x）2=82，
解得：x=﹣2（舍去）或x=
∴BD=5x=
27．（10分）已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=﹣2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；
（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=﹣2，
∴y=2x﹣2，
则，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，
∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）=0，
解得x=1或x=﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，﹣6），
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣，
∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（﹣2）﹣1|?|﹣﹣（﹣3）|=，
（3）当a=﹣1时，
抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣）2+，
有，
﹣x2﹣x+2=﹣2x，
解得：x1=2，x2=﹣1，
∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y=﹣2x+t，
﹣x2﹣x+2=﹣2x+t，
x2﹣x﹣2+t=0，
△=1﹣4（t﹣2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=﹣2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．
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