4月27日 直线与圆锥曲线的位置关系
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★★☆☆
典例在线
如图,F1,F2分别为椭圆C: 的左、右焦点,A,B为两个顶点.已知顶点B(0,)到F1,F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:椭圆C上任意一点M(x0,y0)到右焦点F2的距离的最小值为1;
(3)作AB的平行线交椭圆C于P,Q两点,求弦长|PQ|的最大值,并求|PQ|取最大值时的面积.
【参考答案】见试题解析
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由kAB=,
可设直线PQ:y=x+m,代入+=1,得3x2+2mx+2m2-6=0,
由根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.则|PQ|=.
当且仅当m=0时,|PQ|max=,此时点F1(-1,0)到直线PQ:x-2y=0的距离h=,
故|PQ|·h=.
【解题必备】定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.
学霸推荐
1.在平面直角坐标系中,已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4,设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,,与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,线段,的中点分别为,,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
2.已知圆关于椭圆C:的一个焦点对称,且经过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点,已知O为坐标原点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,若点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积恒为定值.
1.【解析】(1)设圆心,依题意有,即得,
∴曲线的方程为.
当或时,直线的方程为;
当且时,直线的斜率为,
∴直线的方程为,即,
∴直线过定点,其坐标为.
综上所述,直线过定点,其坐标为.
2.【解析】(1)圆关于圆心对称,与坐标轴的交点为,
所以椭圆C的一个焦点为,一个顶点为,所以,,
故椭圆C的方程为.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=kx+m,
联立,得,
由,得,①
设,,则,
所以OAB的面积,
所以平行四边形OAPB的面积.
当直线l斜率不存在时,由对称性可知:点P一定在x轴上,且点P的坐标为,当点P的坐标为(2,0)时,直线l的方程为x=±1,A,B坐标分别为,此时平行四边形OAPB的面积,同理可得当点P的坐标为 时,平行四边形OAPB的面积.
综上可得平行四边形OAPB的面积恒为定值.