2018年高考数学（文）三轮复习每日一题2018年4月27日+直线与圆锥曲线的位置关系

4月27日 直线与圆锥曲线的位置关系
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
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如图,F1,F2分别为椭圆C: 的左、右焦点,A,B为两个顶点.已知顶点B(0,)到F1,F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:椭圆C上任意一点M(x0,y0)到右焦点F2的距离的最小值为1;
(3)作AB的平行线交椭圆C于P,Q两点,求弦长|PQ|的最大值,并求|PQ|取最大值时的面积.
【参考答案】见试题解析

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由kAB=,
可设直线PQ:y=x+m,代入+=1,得3x2+2mx+2m2-6=0,
由根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.则|PQ|=.
当且仅当m=0时,|PQ|max=,此时点F1(-1,0)到直线PQ:x-2y=0的距离h=,
故|PQ|·h=.
【解题必备】定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
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1．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
2．已知圆关于椭圆C：的一个焦点对称,且经过椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与椭圆C相交于A、B两点,已知O为坐标原点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,若点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积恒为定值.
1．【解析】（1）设圆心，依题意有，即得，
∴曲线的方程为．
当或时，直线的方程为；
当且时，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴直线过定点，其坐标为．
综上所述，直线过定点，其坐标为．
2．【解析】（1）圆关于圆心对称,与坐标轴的交点为,
所以椭圆C的一个焦点为,一个顶点为,所以,,
故椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为：y=kx+m,
联立,得,
由,得,①
设,,则,
所以OAB的面积,
所以平行四边形OAPB的面积.
当直线l斜率不存在时,由对称性可知：点P一定在x轴上,且点P的坐标为,当点P的坐标为（2,0）时,直线l的方程为x=±1,A,B坐标分别为,此时平行四边形OAPB的面积,同理可得当点P的坐标为 时,平行四边形OAPB的面积.
综上可得平行四边形OAPB的面积恒为定值.