9.1.2 三角形的内角和与外角和同步练习

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9.1.2 三角形的内角和与外角和同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１． 三角形的内角和等于 １８０° ,直角三角形的两个锐角互余 ．
２．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于与它不相邻的内角．
３．与三角形的每个内角相邻的外角分别有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个,这两个外角是对顶角 ．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加得到的和称为 三角形的外角和,三角形的外角和等于 ３６０ 度．www.21-cn-jy.com
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共9小题）
1．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
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A．165° B．160° C．155° D．150°
2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（　　）21世纪教育网版权所有
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A．40° B．45° C．50° D．60°
4．已知△ABC的外角∠ACD=130°，若∠B=70°，则∠A等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
5．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）
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A．24° B．25° C．30° D．36°
6．在△ABC中，∠A= ( http: / / www.21cnjy.com )∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )∠C，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（　　）
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A．30° B．40° C．60° D．70°
8．如图所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，那么∠BDC等于（　　）2·1·c·n·j·y
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A．78° B．90° C．88° D．92°　
二．填空题（共7小题）
9．如图，∠1=　 　．
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10．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　．
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11．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=　 　度．
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12．如图，直线L1∥L2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=40°，∠1=45°，则∠2的度数为　 　．21*cnjy*com
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13．如图，在△ABC中，过点B作EB⊥AB，交AC于点E，BE平分∠CBD，90°+∠C=∠BDC，则∠A的度数为　 　．【版权所有：21教育】
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14．如图，在△ABC中，点D是BC边上的 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC=　 　．21教育名师原创作品
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15．如图，△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=60°，BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CN是外角的平分线，则∠M﹣∠N=　 　度．
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三．解答题（共6小题）
16．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
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17．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
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18．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
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19．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
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20．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C的度数．
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参考答案与试题解析
　
一．选择题（共9小题）
1．
【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．
解：如图，
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∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，
∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．
故选：A．
　
2．
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
　
3．
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【来源：21·世纪·教育·网】
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
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∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故选：C．
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4．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=60°，
故选：C．
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5．
【分析】根据∠A=20°，求出∠ABC+∠ACB的度数，根据题意依次求出∠D1BC+∠D1CB…∠D5BC+∠D5CB的度数，得到答案．
解：∵∠A=20°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣20°=160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠D1BC+∠D1CB=80°，
由题意得，∴∠D2BC+∠D2CB=80°+40°=120°，
∴∠D3BC+∠D3CB=120°+20°=140°，
∴∠D4BC+∠D4CB=140°+10°=150°，
∴∠D5BC+∠D5CB=150°+5°=155°，
∴∠BD5C=180°﹣155°=25°．
故选：B．
　
6．
【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
解：∵∠A= ( http: / / www.21cnjy.com )∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选：B．
　
7．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．www-2-1-cnjy-com
解：如图，∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．
故选：A．
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8．
【分析】先根据CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，求出∠BCD的度数，再由三角形内角和定理便可求出∠BDC的度数．21*cnjy*com
解：∵CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，∴∠BCD=20°，
在△BCD中，∠B=72°，∠BCD=20°，∴∠BDC=180°﹣72°﹣20°=88°．
故选：C．
　
二．填空题（共7小题）
9．
【分析】根据三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可直接求出∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．21教育网
解：∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
　
10．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图，∠1=90°﹣60°=30°，
∴∠α=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
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11．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
解：∵∠BAD=80°，AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB=50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°﹣∠ADB=130°，
又∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC= ( http: / / www.21cnjy.com )（180°﹣∠ADC）=25°，
∴∠C=25°．
　
12．
【分析】先根据平行线性质求出∠3，再根据三角形内角和定理求出∠4，根据对顶角相等即可求出答案．
解：∵直线l1∥l2，且∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°，
∵在△AEF中，∠A=40°，
∴∠4=180°﹣∠3﹣∠A=95°，
∴∠2=∠4=95°，
故答案为：95°．
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13．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CBE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBD，根据三角形内角和定理得到∠C+∠CBE=45°，根据三角形的外角的性质、三角形内角和定理计算即可．21·cn·jy·com
解：∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBD，
在△CBD中∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠C，又90°+∠C=∠BDC，
∴2∠C+∠CBD=90°，即2∠C+2∠CBE=90°，
∴∠C+∠CBE=45°，
∴∠AEB=∠C+∠CBE=45°，
∵EB⊥AB，
∴∠A=45°，
故答案为：45°．
　
14．
【分析】根据折叠的特点得出∠BAD=∠DAF，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案．21·世纪*教育网
解：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD=∠DAF，
∵∠B=50°，∠BAD=30°，
∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°；
故答案为110°．
　
15．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B和∠C，再根据角平分线的性质和三角形内角和是180°求出∠M=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（∠B+∠C）；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求得：∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCN中根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解．【出处：21教育名师】
解：∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠M=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（∠ABC+∠ACB）=90°+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠A；
∵BN、CN是外角的平分线，
∴∠N=90°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠M﹣∠N=∠A=60°，
故答案为：60
　
三．解答题（共6小题）
16．
【分析】由题意，在△ABC中，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )D=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．21cnjy.com
解：在△ABC中，AB=AD=DC，
∵AB=AD，在三角形ABD中，
∠B=∠ADB=（180°﹣26°）× ( http: / / www.21cnjy.com )=77°，
又∵AD=DC，在三角形ADC中，
∴∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )=77°× ( http: / / www.21cnjy.com )=38.5°．
　
17．
【分析】在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC，所以∠B+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．2-1-c-n-j-y
解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC，
故∠B+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC+∠DAF=90°；①
△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C+∠B+∠BAC=180°，
即： ( http: / / www.21cnjy.com )∠C+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠B+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=90°，②
②﹣①，得：
∠DAF= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠C﹣∠B）=20°．
　
18．
　【分析】因为AD是高，所以∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，又因为∠C=70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
　
19．
【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解：∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，
∴∠CED=∠AEF=55°，
∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．
答：∠ACD的度数为83°．
　
20．
【分析】根据三角形的内角和和垂直的定义求解．
解：∵DA⊥AB，
∴∠A=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°．
∵∠BDC=80°，
∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠BDC=180°﹣30°﹣80°=70°．
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