19.1.1 矩形的性质同步练习
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19.1.1 矩形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．矩形的定义：有一个角是 直角 的平行四边形是矩形．
２．矩形的性质：
(１)矩形的对边平行且相等．
(２)矩形的四个角都是直角．
(３)矩形的对角线相等．
(４)从对称性上看,它既是中心对称图形,又是轴对称图形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共8小题）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
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A．8 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．8 C．4 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
3．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
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A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
5．一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）21教育网
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A．6 B．5 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AEO=120°，则EF的长度为（ ）21cnjy.com
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A．1 B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）21*cnjy*com
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A．5 B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共6小题）
9．矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，那么矩形的对角线长是 cm．
10．如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为 ．
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11．如图，矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，AD=2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为 ．
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12．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD， ( http: / / www.21cnjy.com )垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
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13．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
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14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，A ( http: / / www.21cnjy.com )D=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
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三．解答题（共5小题）
15．已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．
求证：AB=AF．
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16．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
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17．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．2-1-c-n-j-y
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18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE：ED=1：3，AD=6．
（1）求∠BAE的度数；
（2）AE等于多少？
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19．如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
2．
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．2·1·c·n·j·y
解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AC=2BC=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
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3．
【分析】∵△AD′C≌△ABC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF=x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．21·世纪*教育网
解：∵△AD′C≌△ABC，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF=x，则（8﹣x）2=x2+42，
64﹣16x+x2=x2+16，
16x=48，
解得x=3，
∴△AFC的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )×4×8﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×3×4=10．
故选：B．
4．
【分析】根据矩形的性质推出即可．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
5．
【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴对角线长是无理数．
故选：D．
6．
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
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7．
【分析】先根据矩形的性质，推理得到∠EDO=30°，再根据Rt△DOE求得OE的长，即可得到EF的长．21*cnjy*com
解：∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2，
故选：B．
8．
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已 ( http: / / www.21cnjy.com )知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．
【分析】由矩形的面积与边长，可求另一边长，进而利用勾股定理求矩形的对角线．
解：∵矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，
∴另一边为3cm，
∴对角线长为 ( http: / / www.21cnjy.com )=5cm．
故答案为5．
10．
【分析】首先设AB=a，BC=b，由△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4可得S△ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )×a×BE=2，S△CEF= ( http: / / www.21cnjy.com )×EC×FC=3，则可得S△ADF= ( http: / / www.21cnjy.com )×（a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）×b=4，继而求得ab的值．
解：设AB=a，BC=b，
∵△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4，
∴S△ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )×a×BE=2，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EC=BC﹣BE=b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵S△CEF= ( http: / / www.21cnjy.com )×EC×FC=3，
∴FC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DF=CD﹣CF=a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S△ADF= ( http: / / www.21cnjy.com )×（a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）×b=4，
∴（ab）2﹣18ab+32=0，
解得：ab=16或ab=2（不合题意，舍去），
∴S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7，
故答案为：7．
11．
【分析】过点C作CM⊥DF ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC时，则DC=DF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当BE= ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，BE=x，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
AF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵△ADF∽△EAB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
x2﹣4x+2=0，
解得：x=2± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当BE=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、 ( http: / / www.21cnjy.com )、2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1、 ( http: / / www.21cnjy.com )、2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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12．
【分析】根据矩形的性质得出AC=2AO，OA=OB，得出等边三角形AOB，求出AB=OA=OB=2cm，求出BC，即可得出答案．【版权所有：21教育】
解：∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )cm×2cm=4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2
故答案为：60°，4cm，4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
13．
【分析】根据矩形性质得出AC=BD，OA=OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BO=DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∠BAD=90°，推出OA=OB，求出∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，求出∠ABO=67.5°，∠OAB=∠OBA=67.5°，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BO=DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=67.5°，
∴∠EAO=∠OAB﹣∠BAE=67.5°﹣22.5°=45°，
故答案为：45°．
14．
【分析】连接OP，过点A ( http: / / www.21cnjy.com )作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
S△ABD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB AD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AG，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )×3×4= ( http: / / www.21cnjy.com )×5×AG，
解得AG= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )OA PE+ ( http: / / www.21cnjy.com )OD PF= ( http: / / www.21cnjy.com )OD AG，
∴PE+PF=AG= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故PE+PF= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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三．解答题（共5小题）
15．
【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而得到AF=DC，因为DC=AB，所以AF=AB．www-2-1-cnjy-com
证明：∵AF⊥DE．
∴∠AFE=90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADF=∠DEC．
∴∠AFE=∠C=90°．
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．
16．
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可．21教育名师原创作品
解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 ( http: / / www.21cnjy.com )=9 ( http: / / www.21cnjy.com )．
17．
【分析】根据矩形性质得出∠DCB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB∥CD，AO=OC=OB=OD，求出BC=BE，得出等边三角形COB，得出BO=OE，求出∠OBE=30°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠CEB，
∴BE=BC，
∵∠DCE=45°，∠OCE=15°，
∴∠DCO=30°，
∴∠BCO﹣90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴AO=OC=CO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DBA=30°，
∴∠BEO=∠BOE= ( http: / / www.21cnjy.com )（180°﹣∠DBA）= ( http: / / www.21cnjy.com )×（180°﹣30°）=75°．
18．
【分析】（1）由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数；21世纪教育网版权所有
（2）由△OAB是等边三角形，易求得∠ADE=30°，又由AD=6，即可求得AE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAE=30°；
（2）∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=6，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AD=3．
19．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．www.21-cn-jy.com
方法2、先利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．【出处：21教育名师】
解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AQ= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM= ( http: / / www.21cnjy.com )QC，PM= ( http: / / www.21cnjy.com )QC，
∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，
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∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )DC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ME= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
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方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM=CM，
∴∠DMQ=2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP=CM，
∴∠PMQ=2∠PCQ，
∵∠DMP=90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，
∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，
∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，
∵∠CPQ=90°，
∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，
∴AQ=AP=2．
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19.1.1 矩形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．矩形的定义：有一个角是 直角 的平行四边形是矩形．
２．矩形的性质：
(１)矩形的对边平行且相等．
(２)矩形的四个角都是直角．
(３)矩形的对角线相等．
(４)从对称性上看,它既是中心对称图形,又是轴对称图形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共8小题）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
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A．8 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．8 C．4 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
3．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
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A．12 B．10 C．8 D．6
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
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A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
5．一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）21教育网
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A．6 B．5 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AEO=120°，则EF的长度为（ ）21cnjy.com
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A．1 B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）21*cnjy*com
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A．5 B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共6小题）
9．矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，那么矩形的对角线长是 cm．
10．如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为 ．
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11．如图，矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，AD=2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为 ．
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12．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD， ( http: / / www.21cnjy.com )垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
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13．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD．若∠DAE：∠BAE=3：1，则∠EAO= ．
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14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，A ( http: / / www.21cnjy.com )D=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
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三．解答题（共5小题）
15．已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E，且DE=AD，AF⊥DE于F．
求证：AB=AF．
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16．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
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17．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分∠BCD，交AB于点E，∠OCE=15°，求∠BEO的度数．2-1-c-n-j-y
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18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE：ED=1：3，AD=6．
（1）求∠BAE的度数；
（2）AE等于多少？
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19．如图，在矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
2．
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．2·1·c·n·j·y
解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AC=2BC=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
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3．
【分析】∵△AD′C≌△ABC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )△AD′F≌△CBF，得△AD′F与△CBF面积相等，设BF=x，列出关于x的关系式，解得x的值即可解题．21·世纪*教育网
解：∵△AD′C≌△ABC，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF=x，则（8﹣x）2=x2+42，
64﹣16x+x2=x2+16，
16x=48，
解得x=3，
∴△AFC的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )×4×8﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×3×4=10．
故选：B．
4．
【分析】根据矩形的性质推出即可．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
5．
【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴对角线长是无理数．
故选：D．
6．
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
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7．
【分析】先根据矩形的性质，推理得到∠EDO=30°，再根据Rt△DOE求得OE的长，即可得到EF的长．21*cnjy*com
解：∵∠AEO=120°，∠DOE=90°，
∴∠EDO=30°，
又∵AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△DOE中，OE=tan30°×DO=1，
同理可得，Rt△BOF中，OF=1，
∴EF=2，
故选：B．
8．
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已 ( http: / / www.21cnjy.com )知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．
【分析】由矩形的面积与边长，可求另一边长，进而利用勾股定理求矩形的对角线．
解：∵矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，
∴另一边为3cm，
∴对角线长为 ( http: / / www.21cnjy.com )=5cm．
故答案为5．
10．
【分析】首先设AB=a，BC=b，由△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4可得S△ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )×a×BE=2，S△CEF= ( http: / / www.21cnjy.com )×EC×FC=3，则可得S△ADF= ( http: / / www.21cnjy.com )×（a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）×b=4，继而求得ab的值．
解：设AB=a，BC=b，
∵△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4，
∴S△ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )×a×BE=2，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EC=BC﹣BE=b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵S△CEF= ( http: / / www.21cnjy.com )×EC×FC=3，
∴FC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DF=CD﹣CF=a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S△ADF= ( http: / / www.21cnjy.com )×（a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）×b=4，
∴（ab）2﹣18ab+32=0，
解得：ab=16或ab=2（不合题意，舍去），
∴S△AEF=16﹣3﹣4﹣2=7，
故答案为：7．
11．
【分析】过点C作CM⊥DF ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；
②DF=DC时，则DC=DF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当BE= ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形；
③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，BE=x，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
AF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵△ADF∽△EAB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
x2﹣4x+2=0，
解得：x=2± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当BE=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、 ( http: / / www.21cnjy.com )、2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1、 ( http: / / www.21cnjy.com )、2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
12．
【分析】根据矩形的性质得出AC=2AO，OA=OB，得出等边三角形AOB，求出AB=OA=OB=2cm，求出BC，即可得出答案．【版权所有：21教育】
解：∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )cm×2cm=4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2
故答案为：60°，4cm，4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
13．
【分析】根据矩形性质得出AC=BD，OA=OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BO=DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∠BAD=90°，推出OA=OB，求出∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，求出∠ABO=67.5°，∠OAB=∠OBA=67.5°，即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，BO=DO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=67.5°，
∴∠EAO=∠OAB﹣∠BAE=67.5°﹣22.5°=45°，
故答案为：45°．
14．
【分析】连接OP，过点A ( http: / / www.21cnjy.com )作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
S△ABD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB AD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AG，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )×3×4= ( http: / / www.21cnjy.com )×5×AG，
解得AG= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )OA PE+ ( http: / / www.21cnjy.com )OD PF= ( http: / / www.21cnjy.com )OD AG，
∴PE+PF=AG= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故PE+PF= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共5小题）
15．
【分析】根据已知及矩形的性质利用AAS判定△ADF≌△DEC，从而得到AF=DC，因为DC=AB，所以AF=AB．www-2-1-cnjy-com
证明：∵AF⊥DE．
∴∠AFE=90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADF=∠DEC．
∴∠AFE=∠C=90°．
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．
16．
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可．21教育名师原创作品
解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 ( http: / / www.21cnjy.com )=9 ( http: / / www.21cnjy.com )．
17．
【分析】根据矩形性质得出∠DCB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB∥CD，AO=OC=OB=OD，求出BC=BE，得出等边三角形COB，得出BO=OE，求出∠OBE=30°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠CEB，
∴BE=BC，
∵∠DCE=45°，∠OCE=15°，
∴∠DCO=30°，
∴∠BCO﹣90°﹣30°=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴AO=OC=CO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DBA=30°，
∴∠BEO=∠BOE= ( http: / / www.21cnjy.com )（180°﹣∠DBA）= ( http: / / www.21cnjy.com )×（180°﹣30°）=75°．
18．
【分析】（1）由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数；21世纪教育网版权所有
（2）由△OAB是等边三角形，易求得∠ADE=30°，又由AD=6，即可求得AE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠BAE=30°；
（2）∵△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=6，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AD=3．
19．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）方法1、过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．www.21-cn-jy.com
方法2、先利用三角形的外角和∠DMP=90°，得出∠DCP=90°，得出BP=BC=3，再判断出AQ=AP=2即可．【出处：21教育名师】
解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AQ= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM= ( http: / / www.21cnjy.com )QC，PM= ( http: / / www.21cnjy.com )QC，
∴DM=PM，
在△MDF和△PME中，
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∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )DC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ME= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
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方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM=CM，
∴∠DMQ=2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP=CM，
∴∠PMQ=2∠PCQ，
∵∠DMP=90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°，
∴∠PCD=45°，°∠BCP=90°﹣45°=45°，
∴∠BPC=45°=∠BCP，∴BP=BC=3，
∵∠CPQ=90°，
∴∠APQ=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠AQP=90°﹣45°=45°=∠APQ，
∴AQ=AP=2．
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