19.1.2 矩形的判定同步练习

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19.1.2 矩形的判定同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
矩形的判定方法:
(１)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(２)对角线相等的平行四边形是矩形．
(３)有三个角是直角的四边形是矩形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　　）21世纪教育网版权所有
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
2．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
3．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（　　）2·1·c·n·j·y
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A．∠BAC=90° B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（　　）
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A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC
5．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图 ( http: / / www.21cnjy.com )形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　）2-1-c-n-j-y
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为　 　（填一个即可）．【来源：21cnj*y.co*m】
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7．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是　 　．【版权所有：21教育】
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8．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm ( http: / / www.21cnjy.com )，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形．21教育名师原创作品
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9．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是　 　形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是　 　形．
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三．解答题
10．已知：如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．21*cnjy*com
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11．如图，在 ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD=　 　°时，四边形BECD是矩形．
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12．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即　 　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
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13．如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
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14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：AD=CE；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
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15．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F
（1）求证：EF=DE；
（2）若AC=BC，判断四边形ADCF的形状．
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16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．
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17．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；
（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？
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参考答案与试题解析
　
一．选择题
1．
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
　
2．
【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论错误；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项错误；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选：C．
　
3．
【分析】首先证出四边形ADEF是平行四边形，再根据矩形和菱形的判定，即可得出结论．
解：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC=90°，或BC=2AE，或DE平分∠AEB，
则四边形ADEF是矩形；
若AE⊥BC，则AB=AC，
∴四边形ADEF是菱形，
故选：D．
　
4．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
　
5．
【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．
解：已知如图：
（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；
（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；
（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；
所以其中正确的有（1）和（4）．
故选：C．
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二．填空题（共4小题）
6．
【分析】根据对角线互相平分线的四边形为 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90°．
　
7．
【分析】可连接AC、BD，利用三角形中位线定理及矩形的性质求解．
解：连接BD、AC；
∵H、G分别是AD、CD的中点，
∴HG是△DAC的中位线；
∴HG∥AC；
同理可证得EF∥AC，HE∥BD∥FG；
若四边形EHGF是矩形，则∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°；
∴DB⊥AC．
故四边形ABCD应具备的条件为对角线互相垂直．
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8．
【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【出处：21教育名师】
解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
3x=20﹣2x．
解得x=4，
故答案为：4．
　
9．
【分析】（1）根据平行线得出四边形是平行四边形，根据∠CAB=90°即可推出四边形是矩形；
（2）首先得出平行四边形，推出∠EDA=∠CAD=∠BAD，推出AE=DE，即可推出平行四边形是菱形．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）解：四边形AEDF是矩形，理由是：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
故答案为：矩．
（2）解：四边形AEDF是菱形，理由是：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠EDA=∠BAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故答案为：菱．
　
三．解答题（共8小题）
10．
【分析】根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE= ( http: / / www.21cnjy.com )（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．21·cn·jy·com
证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
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11．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．21教育网
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，
∴OC=OD，
∵BO=CO，OD=OE，
∴DE=BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：100．
　
12．
【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．
（1）证明：在△DCA和△EAC中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△DCA≌△EAC（SSS）；
（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
由（1）得：△DCA≌△EAC，
∴∠D=∠E=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
　
13．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；21cnjy.com
（2）根据全等得出AE=CF，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．www-2-1-cnjy-com
证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABD，∠CDF= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
　
14．
【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；21·世纪*教育网
（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵ ABDE中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在△ADC和△ECD中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．
（2）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形．
　
15．
【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理得出 ( http: / / www.21cnjy.com )AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE；
（2）首先证得四边形ADC ( http: / / www.21cnjy.com )F是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DE，从而得到四边形ADCF是矩形．www.21-cn-jy.com
解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．
（2）解：四边形ADCF是矩形．
∵DE=FE，AE=AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四边形ADCF是矩形．
　
16．
【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．21*cnjy*com
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB=90°即可解决问题．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
又∵点F在CB的延长线上，
∴OE∥BF．
∵EF∥BD，即EF∥OB，
∴四边形OBFE是平行四边形．
（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．
理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，
又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，
∴FC⊥BD，
∴∠OBF=90°，
∴四边形OBFE是矩形．
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17．
【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）直接利用矩形的判定方法得出答案；
（3）这条路等长，证明△ADF≌△BAE即可得出答案．
（1）证明：∵F分别为△ABC的边AB的中点，
∴BF=AF，
又∵DF=EF，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）证明：∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（3）解：这条路等长，
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
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∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF．
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