19.2.2 菱形的判定同步练习
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19.2.2 菱形的判定同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
菱形的判定方法:
(１)定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(２)判定定理１: 四条边都相等的四边形是菱形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有（ ） 个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．AO=BO B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC
3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB=AC D．BF∥CE
4．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）21*cnjy*com
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A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )D的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．10 B．12 C．16 D．18
6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和 ( http: / / www.21cnjy.com )圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
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A．16 B．15 C．14 D．13
7．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 ( http: / / www.21cnjy.com )和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题
8．如图四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 使它成为菱形（只需添加一个）【出处：21教育名师】
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9．如图，在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
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10．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，请对△ABC添加一个条件： ，使得四边形BCDE成为菱形．21教育名师原创作品
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11．如图，在∠MON的两 ( http: / / www.21cnjy.com )边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
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12．如图，矩形ABCD的对角线AC、 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长 ．
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13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．
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14．（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
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15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
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三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．21*cnjy*com
求证：四边形BDCE是菱形．
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17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
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18．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
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19．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
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20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
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21．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．
【分析】先由两组对边分别平行的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．21cnjy.com
解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选：D．
2．
【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．
解：A、AO=BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
B、AC=AD，不能判断 ABCD是菱形，错误；
C、根据菱形的定义可得，当AB=BC时 ABCD是菱形，正确；
D、OD=AC，不能判断 ABCD是菱形，错误；
故选：C．
3．
【分析】首先证明四边形BECF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断．
解：∵BD=DC，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB=AC时，∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故选：C．
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4．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两 ( http: / / www.21cnjy.com )条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
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5．
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= ( http: / / www.21cnjy.com )BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= ( http: / / www.21cnjy.com )BF=6，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，
∴AE=2OA=16；
故选：C．
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6．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【来源：21·世纪·教育·网】
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
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7．
【分析】设AP，EF交于O ( http: / / www.21cnjy.com )点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【版权所有：21教育】
解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
8．
【分析】OA=OC，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
解：OA=OC，
理由是：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
9．
【分析】当四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO=3，AB=5，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长．
解：
如图，设AC、BD交于点O，
当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，且AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得BO=4，
∴BD=2BO=8，
故答案为：8．
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10．
【分析】先由已知条件得出CD=BE，证 ( http: / / www.21cnjy.com )出四边形BCDE是平行四边形，再证出BE=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．
解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：
∵DC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：AB=2BC．
11．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )AB OC= ( http: / / www.21cnjy.com )×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
12．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC， ( http: / / www.21cnjy.com )可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴OD=OA，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO=AO=AD=OC=4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×4=16，
故答案为：16．
13．
【分析】先根据平行四边形的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出 AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
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14．
【分析】由两个长宽分别为7cm、3cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），利用勾股定理可得方程：32+（7﹣x）2=x2，则可求得BE的长，继而求得答案．
解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
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15．
【分析】根据菱形的判定判断①即可；根 ( http: / / www.21cnjy.com )据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．
解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，
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∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共6小题）
16．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据直角三角形上的中线得出CD=BD，根据菱形的判定得出即可．21·cn·jy·com
证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴平行四边形BDCE是菱形．
17．
【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．21·世纪*教育网
（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
18．
【分析】（1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而得出四边形ABCD是菱形；21世纪教育网版权所有
（2）利用菱形的面积求法得出AH的长．
（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，BO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BO= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AH，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×4= ( http: / / www.21cnjy.com )×5×AH，
解得：AH= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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19．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD
∵AD=4
∴CE=4；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由：
∵D为AB中点，
∴AD=BD
又由（1）得CE=AD，
∴BD=CE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD
∴四边形BECD是菱形．
20．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；21教育网
（2）根据菱形性质求出DM=B ( http: / / www.21cnjy.com )M，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面积=MD AB，即可得出结果；菱形BMDN的面积=两条对角线长积的一半，即可求出MN的长．www.21-cn-jy.com
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
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∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵菱形BMDN的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )BD MN=20，
∴MN=2× ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
21．
【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．
解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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19.2.2 菱形的判定同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
菱形的判定方法:
(１)定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(２)判定定理１: 四条边都相等的四边形是菱形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有（ ） 个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AO=BO B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC
3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB=AC D．BF∥CE
4．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )D的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10 B．12 C．16 D．18
6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和 ( http: / / www.21cnjy.com )圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．16 B．15 C．14 D．13
7．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 ( http: / / www.21cnjy.com )和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题
8．如图四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 使它成为菱形（只需添加一个）【出处：21教育名师】
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9．如图，在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
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10．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，请对△ABC添加一个条件： ，使得四边形BCDE成为菱形．21教育名师原创作品
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11．如图，在∠MON的两 ( http: / / www.21cnjy.com )边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
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12．如图，矩形ABCD的对角线AC、 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长 ．
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13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．
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14．（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
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15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
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三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．21*cnjy*com
求证：四边形BDCE是菱形．
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17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
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19．如图，在Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
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20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
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21．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．
【分析】先由两组对边分别平行的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．21cnjy.com
解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选：D．
2．
【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．
解：A、AO=BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
B、AC=AD，不能判断 ABCD是菱形，错误；
C、根据菱形的定义可得，当AB=BC时 ABCD是菱形，正确；
D、OD=AC，不能判断 ABCD是菱形，错误；
故选：C．
3．
【分析】首先证明四边形BECF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断．
解：∵BD=DC，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB=AC时，∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故选：C．
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4．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两 ( http: / / www.21cnjy.com )条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
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5．
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= ( http: / / www.21cnjy.com )BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= ( http: / / www.21cnjy.com )BF=6，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，
∴AE=2OA=16；
故选：C．
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6．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【来源：21·世纪·教育·网】
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
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7．
【分析】设AP，EF交于O ( http: / / www.21cnjy.com )点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【版权所有：21教育】
解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
8．
【分析】OA=OC，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
解：OA=OC，
理由是：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
9．
【分析】当四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO=3，AB=5，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长．
解：
如图，设AC、BD交于点O，
当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，且AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得BO=4，
∴BD=2BO=8，
故答案为：8．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．
【分析】先由已知条件得出CD=BE，证 ( http: / / www.21cnjy.com )出四边形BCDE是平行四边形，再证出BE=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．
解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：
∵DC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：AB=2BC．
11．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )AB OC= ( http: / / www.21cnjy.com )×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
12．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC， ( http: / / www.21cnjy.com )可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴OD=OA，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO=AO=AD=OC=4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×4=16，
故答案为：16．
13．
【分析】先根据平行四边形的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出 AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．
【分析】由两个长宽分别为7cm、3cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），利用勾股定理可得方程：32+（7﹣x）2=x2，则可求得BE的长，继而求得答案．
解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．
【分析】根据菱形的判定判断①即可；根 ( http: / / www.21cnjy.com )据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．
解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共6小题）
16．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据直角三角形上的中线得出CD=BD，根据菱形的判定得出即可．21·cn·jy·com
证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴平行四边形BDCE是菱形．
17．
【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．21·世纪*教育网
（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
18．
【分析】（1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而得出四边形ABCD是菱形；21世纪教育网版权所有
（2）利用菱形的面积求法得出AH的长．
（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=3，BO= ( http: / / www.21cnjy.com )BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BO= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AH，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×4= ( http: / / www.21cnjy.com )×5×AH，
解得：AH= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD
∵AD=4
∴CE=4；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由：
∵D为AB中点，
∴AD=BD
又由（1）得CE=AD，
∴BD=CE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD
∴四边形BECD是菱形．
20．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；21教育网
（2）根据菱形性质求出DM=B ( http: / / www.21cnjy.com )M，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面积=MD AB，即可得出结果；菱形BMDN的面积=两条对角线长积的一半，即可求出MN的长．www.21-cn-jy.com
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵菱形BMDN的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )BD MN=20，
∴MN=2× ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
21．
【分析】（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．
解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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