19.3 正方形同步练习
图片预览
文档简介
21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
19.3 正方形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它的四条边都相等 四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分 ． 【出处：21教育名师】
２．有一个角是直角的菱形是正方形,有一组邻边相等的矩形是正方形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共9小题）
1．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．两对角线将其分割的四个三角形面积相等
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
4．如图， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．65° B．55° C．70° D．75°
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30 B．34 C．36 D．40
7．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2 C．4 D．8
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
( http: / / www.21cnjy.com )
11．如图，点P是正方形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从 ( http: / / www.21cnjy.com )①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如图，在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题
15．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．如图，已知正方形ABCD，E是A ( http: / / www.21cnjy.com )B延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．
【分析】根据有一个角是直角的菱形是正方形即可解答．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．
【分析】正方形和矩形的四个角都是直 ( http: / / www.21cnjy.com )角；正方形对角线相互垂直平分相等，而矩形性质矩形对角线平分相等，矩形的对角线不互相垂直；根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可知正方形和矩形的两对角线将其分割的四个三角形面积相等．
解：A、正方形、矩形四个角都是直角，此选项不合题意；
B、正方形对角线相互垂直，但矩形对角线不一定垂直，故此选项符合题意；
C、矩形、正方形对角线都是相等的，故此选项不合题意；
D、如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴S△ABO=S△CBO=S△CDO=S△ADO，
∵四边形EFMN是矩形，
∴H是EM的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )（三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分），
同理： ( http: / / www.21cnjy.com )，S△EHN=SHNM，
∴矩形的对角线也把矩形的面积分成相等的四部分，
故两对角线将其分割的四个三角形面积相等，此选项不合题意．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断即可．
解：∵正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE与△BCF中
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC，∠BAE+∠ABG=90°，
∴AE⊥BF，
故ABD正确；
∠AEB=∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，
故选：C．
4．
【分析】想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，
∵∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣40°﹣75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．
【分析】先过E作EH⊥AD于H，设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x，根据勾股定理可得Rt△AEH中，x2+x2=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x）2，解方程即可得到线段OE的长．21cnjy.com
解：如图，过E作EH⊥AD于H，则△AEH是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，
∴x2+x2=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x）2，
解得x=4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )（负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形EFGH的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=34，
故选：B．
7．
【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．【来源：21·世纪·教育·网】
解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．
【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．21·世纪*教育网
③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．
④首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．www-2-1-cnjy-com
解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
9．
【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．2-1-c-n-j-y
解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD′= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )×1×1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共5小题）
10．
【分析】根据正方形的性质得出AC的长，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出∠E=∠ECA，进而得出AE=AC即可．21*cnjy*com
解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：3 ( http: / / www.21cnjy.com )
11．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【版权所有：21教育】
解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
( http: / / www.21cnjy.com )
则OH=AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，
在Rt△AOD中，OD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2．
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2．
12．
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解：有6种选法：（1）① ( http: / / www.21cnjy.com )②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；21教育名师原创作品
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：：②③或①④．
13．
【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．
解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
14．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长 ( http: / / www.21cnjy.com )线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共5小题）
15．
【分析】在Rt△BAF和Rt△EBC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，两直角相等，AB=BC，我们只要证明出另外有一组对应角相等就能够知道这两个三角形全等，从而得出结论．2·1·c·n·j·y
答：AF=BE，
证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE．
16．
【分析】连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )BE，所以∠EBD=30°，结合条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．21世纪教育网版权所有
证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．
【分析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由条件可证明△ANB≌△CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．21*cnjy*com
（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．
【分析】（1）由于四边形ABCD为 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．
（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6﹣x．
∴S△FCG= ( http: / / www.21cnjy.com )CG FM=6﹣x．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．
【分析】根据正方形性质得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，证出△ANC≌△ABE即可．www.21-cn-jy.com
证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
解：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=3，
故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
19.3 正方形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它的四条边都相等 四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分 ． 【出处：21教育名师】
２．有一个角是直角的菱形是正方形,有一组邻边相等的矩形是正方形．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题（共9小题）
1．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．两对角线将其分割的四个三角形面积相等
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
4．如图， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．65° B．55° C．70° D．75°
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30 B．34 C．36 D．40
7．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2 C．4 D．8
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
( http: / / www.21cnjy.com )
11．如图，点P是正方形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从 ( http: / / www.21cnjy.com )①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如图，在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题
15．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．如图，已知正方形ABCD，E是A ( http: / / www.21cnjy.com )B延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．
【分析】根据有一个角是直角的菱形是正方形即可解答．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．
【分析】正方形和矩形的四个角都是直 ( http: / / www.21cnjy.com )角；正方形对角线相互垂直平分相等，而矩形性质矩形对角线平分相等，矩形的对角线不互相垂直；根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可知正方形和矩形的两对角线将其分割的四个三角形面积相等．
解：A、正方形、矩形四个角都是直角，此选项不合题意；
B、正方形对角线相互垂直，但矩形对角线不一定垂直，故此选项符合题意；
C、矩形、正方形对角线都是相等的，故此选项不合题意；
D、如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴S△ABO=S△CBO=S△CDO=S△ADO，
∵四边形EFMN是矩形，
∴H是EM的中点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )（三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分），
同理： ( http: / / www.21cnjy.com )，S△EHN=SHNM，
∴矩形的对角线也把矩形的面积分成相等的四部分，
故两对角线将其分割的四个三角形面积相等，此选项不合题意．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断即可．
解：∵正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE与△BCF中
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC，∠BAE+∠ABG=90°，
∴AE⊥BF，
故ABD正确；
∠AEB=∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，
故选：C．
4．
【分析】想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，
∵∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣40°﹣75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．
【分析】先过E作EH⊥AD于H，设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x，根据勾股定理可得Rt△AEH中，x2+x2=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x）2，解方程即可得到线段OE的长．21cnjy.com
解：如图，过E作EH⊥AD于H，则△AEH是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，
∴x2+x2=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x）2，
解得x=4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )（负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形EFGH的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=34，
故选：B．
7．
【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．【来源：21·世纪·教育·网】
解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．
【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．
②首先根据全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．21·世纪*教育网
③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．
④首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．www-2-1-cnjy-com
解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
9．
【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．2-1-c-n-j-y
解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD′= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )×1×1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共5小题）
10．
【分析】根据正方形的性质得出AC的长，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出∠E=∠ECA，进而得出AE=AC即可．21*cnjy*com
解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：3 ( http: / / www.21cnjy.com )
11．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【版权所有：21教育】
解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
( http: / / www.21cnjy.com )
则OH=AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，
在Rt△AOD中，OD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2．
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2．
12．
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解：有6种选法：（1）① ( http: / / www.21cnjy.com )②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；21教育名师原创作品
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：：②③或①④．
13．
【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．
解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
14．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长 ( http: / / www.21cnjy.com )线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共5小题）
15．
【分析】在Rt△BAF和Rt△EBC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，两直角相等，AB=BC，我们只要证明出另外有一组对应角相等就能够知道这两个三角形全等，从而得出结论．2·1·c·n·j·y
答：AF=BE，
证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE．
16．
【分析】连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )BE，所以∠EBD=30°，结合条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．21世纪教育网版权所有
证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD= ( http: / / www.21cnjy.com )BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．
【分析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH=CF，且H为BE中点，可得BE=2CF；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）由条件可证明△ANB≌△CFB，可得BN=BF，可得到BN=GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．21*cnjy*com
（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．
【分析】（1）由于四边形ABCD为 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．
（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6﹣x．
∴S△FCG= ( http: / / www.21cnjy.com )CG FM=6﹣x．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．
【分析】根据正方形性质得出AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，求出∠NAC=∠BAE，证出△ANC≌△ABE即可．www.21-cn-jy.com
证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
解：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=3，
故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)