第19章 矩形、菱形与正方形单元检测A卷
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| 名称 | 第19章 矩形、菱形与正方形单元检测A卷 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 534.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-24 20:54:23 | ||
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文档简介
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第19章 矩形、菱形与正方形单元检测A卷
班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共10小题）
1．已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE=4cm，则点P到BC的距离是（ ）
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A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
3．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．4 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．8 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E、F分别是OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）【版权所有：21教育】
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A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AM=BM，则平行四边形ABCD是（ ）
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A．一般平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC=60°，则菱形的面积为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．12
10．直角梯形ABCD中，∠A=∠D=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）2-1-c-n-j-y
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
二．填空题（共8小题）
11．菱形ABCD的两对角线AC、BD长分别为10cm和24cm，它的周长 ，面积 ．
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12．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
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13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AC= ．
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14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是 （只填写一个条件即可）21教育网
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15．如图，BD为长方形ABCD的对角线，BD=10，∠ABD=30°，求长方形ABCD的面积 ．
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16．如图，在正方形ABCD内作一个等边△BEC，连接AE、DE，则∠BEA= ．
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17．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图（1），已知小正方形ABCD的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为 ，以此下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．
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三．解答题（共7小题）
19．已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．21·cn·jy·com
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：
（1）四边形ADCE是平行四边形．
（2）四边形ADCE是矩形．
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21．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）要使四边形AFBD是菱形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．
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22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
（1）求证：四边形CFGE是菱形；
（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．
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23．如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
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24．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？
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25．已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4cm．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3cm，则另一条对角线的长是6cm．
解：如图：
在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4cm，
在RT△AOB中，AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故选：C．
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2．
【分析】作PF⊥BC于F，如图，根据菱形的性质得BD平分∠ABC，然后根据角平分线的性质易得PF=PE=4cm．
解：作PF⊥BC于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PF=PE=4cm，
即点P到BC的距离为4cm．
故选：C．
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3．
【分析】连接AC、AE，AE交BD于P，则 ( http: / / www.21cnjy.com )此时PE+PC最小，连接CP，根据菱形的性质得出OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，得到A和C关于BD对称，由∠ABC=60°，得出等边三角形ACB，推出AC=AB，根据等腰三角形的性质推出AE⊥BC，推出∠BAE=30°，求出BE和AE长，即可求出答案．
解：连接AC、AE，AE交BD于P，则此时PE+PC最小，连接CP，
∵菱形ABCD，
∴OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，
A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=1，
∵E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
根据勾股定理得：AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴PE+PC=AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：C．
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4．
【分析】设正方形边长为a，由△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，进而求出边长a．
解：设正方形边长为a，
由题意可知，AO=OC，
∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴知阴影面积等于△DOC的面积，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )a2=1，
a=2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故选：C．
5．
【分析】根据矩形的性质推出AB=CD，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AB，即得出CD的长度，根据三角形的中位线定理得出EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD，即可求出答案．21·世纪*教育网
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∵AC=10，BC=8，
由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )=6，
∴CD=AB=6，
∵点E、F分别是OD、OC的中点，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD=3．
故选：D．
6．
【分析】首先利用平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，得出AD=BC，AD∥BC，以及M是CD的中点，AM=BM，证得△ADM≌△BCM；得出∠ADM=∠BCM，进一步得出∠ADM=∠BCM是直角，证明平行四边形ABCD是矩形．www-2-1-cnjy-com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
在△ADM和△BCM中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADM≌△BCM（SSS）；
∴∠ADM=∠BCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM+∠BCM=180°，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
7．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．
解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故选：A．
8．
【分析】根据已知求得菱形有边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长，从而就求得了菱形的面积．
解：由题意得，菱形的边长为4，△ABC为等边三角形，得到AC=AD=4，根据勾股定理可求得BD=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )，【来源：21cnj*y.co*m】
∴菱形的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×4 ( http: / / www.21cnjy.com / )=8 ( http: / / www.21cnjy.com / )，故选A．
9．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC平 ( http: / / www.21cnjy.com )分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故选：C．
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10．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选：B．
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二．填空题（共8小题）
11．
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．21教育名师原创作品
解：∵四边形BCD是菱形，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=5cm，BO= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD=12cm，且AO⊥BO，
∴AB=13，
∴周长L=4AB=52cm，
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC×BD=120cm2，
故答案为：52cm，120cm2．
12．
【分析】连接AC，得出∠DEC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD，求出CD即可．21*cnjy*com
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∵F为CD的中点，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD=6，
∴CD=12，
∴AB=CD=12，
故答案为：12．
13．
【分析】根据矩形对角线的性质可推出△ABO为等边三角形．已知AB=6，易求AC．
解：已知∠AOB=60°，根据矩形的性质可得AO=BO，
所以∠OAB=∠ABO=60度．
因为AB=6，所以AO=BO=AB=6．
故AC=12．
14．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．
解：AB=BC，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC．
15．
【分析】长方形各内角为直角，根据B ( http: / / www.21cnjy.com )D=10，∠ABD=30°即可计算AD的长度，根据勾股定理即可计算AB的长，根据长方形面积计算公式即可计算长方形ABCD的面积．
解：长方形各内角为直角，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD=10，∠ABD=30°
∴AD=5，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴长方形ABCD的面积为5×5 ( http: / / www.21cnjy.com / )=25 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为 25 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
16．
【分析】正方形ABCD中，BC=AB，等边△ ( http: / / www.21cnjy.com )BCE中，BE=AB，即可得AB=BE，因为∠ABE=30°，利用三角形的内角和为180°即可求出∠BEA的度数．21cnjy.com
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=60°，
∴AB=BE，∠ABE=30°，
∴∠BEA= ( http: / / www.21cnjy.com / )=75°，
故答案为：75°．
17．
【分析】矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10，
∵△ABD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD AE，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8．
故答案为 4.8．
18．
【分析】根据三角形的面积公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
解：如图（1），已知小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25，正方形AnBnCnDn的面积为5n．
故答案为：25，5n．
三．解答题（共7小题）
19．
【分析】根据平行四边形性质得出AO=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，BO=OD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，根据等边三角形的性质得出AO=BO．推出AC=BD．得出矩形ABCD，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，BO=OD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×4 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm=16 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm2．
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20．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出BD∥AE，BD=AE，推出CD=AE，根据平行四边形的判定推出即可；21世纪教育网版权所有
（2）根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，根据矩形的判定推出即可．
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形．
21．
【分析】（1）求出AE=DE，∠AFE ( http: / / www.21cnjy.com )=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可【出处：21教育名师】
（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，求出AD=BD即可．
（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，
证明：∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
22．
【分析】（1）先证明△BMG≌△BMC ( http: / / www.21cnjy.com )，得出MC=MG，再由线段垂直平分线性质证出EC=EG，FG=FC，然后证明EC=FC，即可证出结论；
（2）先求出BC=BG=6，再求出AC=8，然后证明△AEG∽△ABC，得出比例式 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求出AE=5，EC=CF=3，最后根据面积公式得到 ( http: / / www.21cnjy.com / )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BC，求出CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8．即可得出DF=CD﹣CF．www.21-cn-jy.com
解：（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：
∵BE是∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CG⊥BE，
∴∠3=∠4=90°，
在△BMG和△BMC中，
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∴△BMG≌△BMC（ASA），
∴MC=MG，
∴EC=EG，FG=FC，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠1=90°，
∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴EC=FC，
∴EC=EG=FG=FC，
∴四边形CFGE是菱形；
（2）根据题意得：△BEG≌△BEC，
∴BC=BG=6，∠BGE=∠BCA=90°，
∵AB=AG+BG=10，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵∠A=∠A，∠ABG=∠BCA=90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AE=5．
∴EC=AC﹣AE=3，
∴CF=3，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BC，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8，
∴DF=CD﹣CF=4.8﹣3=1.8．
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23．
【分析】（1）首先利用菱形的性质和CE=CF得出BE=DF，进而得出△ABE≌△ADF；
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF=25°，进而得出∠EAF的度数，进而得出∠AHC的度数．21*cnjy*com
（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=AD，∠B=∠D（菱形的性质），
∵CE=CF，
∴BC﹣CE=CD﹣CF，
∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF（已证），∠BAE=25°，
∴∠BAE=∠DAF=25°，
在菱形ABCD中
∠BAD=∠BCD=130°（菱形对角相等），
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF，
=130°﹣25°﹣25°，
=80°，
∵AE∥CG，
∴∠EAF+∠AHC=180°，
∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣80°=100°．
24．
【分析】（1）四边形BCEF是平行四边形，要证明四边形BCEF是平行四边形可转化为证明FB=CE，FB∥CE即可；
（2）当∠A=30°时，四边形BCEF是菱形，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，只要证明邻边相等即可即证明BC=CE；
（3）不可以，因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
（1）四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）∠A=30°，
证明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，
由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，
∴四边形BCEF为菱形；
（3）不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
25．
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行的判定方法即可判定；
（2）根据矩形的定义即可解题；
（3）根据菱形对角线互相垂直即可解题；
（4）根据正方形即使菱形又是矩形即可解本题．
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
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第19章 矩形、菱形与正方形单元检测A卷
班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共10小题）
1．已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE=4cm，则点P到BC的距离是（ ）
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A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
3．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．4 ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．8 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E、F分别是OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）【版权所有：21教育】
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A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AM=BM，则平行四边形ABCD是（ ）
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A．一般平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC=60°，则菱形的面积为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．12
10．直角梯形ABCD中，∠A=∠D=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）2-1-c-n-j-y
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
二．填空题（共8小题）
11．菱形ABCD的两对角线AC、BD长分别为10cm和24cm，它的周长 ，面积 ．
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12．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
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13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AC= ．
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14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是 （只填写一个条件即可）21教育网
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15．如图，BD为长方形ABCD的对角线，BD=10，∠ABD=30°，求长方形ABCD的面积 ．
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16．如图，在正方形ABCD内作一个等边△BEC，连接AE、DE，则∠BEA= ．
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17．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如图（1），已知小正方形ABCD的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为 ，以此下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．
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三．解答题（共7小题）
19．已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．21·cn·jy·com
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：
（1）四边形ADCE是平行四边形．
（2）四边形ADCE是矩形．
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21．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）要使四边形AFBD是菱形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．
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22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
（1）求证：四边形CFGE是菱形；
（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．
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23．如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
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24．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？
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25．已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4cm．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3cm，则另一条对角线的长是6cm．
解：如图：
在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4cm，
在RT△AOB中，AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故选：C．
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2．
【分析】作PF⊥BC于F，如图，根据菱形的性质得BD平分∠ABC，然后根据角平分线的性质易得PF=PE=4cm．
解：作PF⊥BC于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PF=PE=4cm，
即点P到BC的距离为4cm．
故选：C．
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3．
【分析】连接AC、AE，AE交BD于P，则 ( http: / / www.21cnjy.com )此时PE+PC最小，连接CP，根据菱形的性质得出OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，得到A和C关于BD对称，由∠ABC=60°，得出等边三角形ACB，推出AC=AB，根据等腰三角形的性质推出AE⊥BC，推出∠BAE=30°，求出BE和AE长，即可求出答案．
解：连接AC、AE，AE交BD于P，则此时PE+PC最小，连接CP，
∵菱形ABCD，
∴OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，
A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=1，
∵E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
根据勾股定理得：AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴PE+PC=AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：C．
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4．
【分析】设正方形边长为a，由△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，进而求出边长a．
解：设正方形边长为a，
由题意可知，AO=OC，
∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴知阴影面积等于△DOC的面积，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )a2=1，
a=2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故选：C．
5．
【分析】根据矩形的性质推出AB=CD，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AB，即得出CD的长度，根据三角形的中位线定理得出EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD，即可求出答案．21·世纪*教育网
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∵AC=10，BC=8，
由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )=6，
∴CD=AB=6，
∵点E、F分别是OD、OC的中点，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD=3．
故选：D．
6．
【分析】首先利用平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，得出AD=BC，AD∥BC，以及M是CD的中点，AM=BM，证得△ADM≌△BCM；得出∠ADM=∠BCM，进一步得出∠ADM=∠BCM是直角，证明平行四边形ABCD是矩形．www-2-1-cnjy-com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
在△ADM和△BCM中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADM≌△BCM（SSS）；
∴∠ADM=∠BCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM+∠BCM=180°，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
7．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．
解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故选：A．
8．
【分析】根据已知求得菱形有边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长，从而就求得了菱形的面积．
解：由题意得，菱形的边长为4，△ABC为等边三角形，得到AC=AD=4，根据勾股定理可求得BD=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )，【来源：21cnj*y.co*m】
∴菱形的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×4 ( http: / / www.21cnjy.com / )=8 ( http: / / www.21cnjy.com / )，故选A．
9．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC平 ( http: / / www.21cnjy.com )分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故选：C．
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10．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
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∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选：B．
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二．填空题（共8小题）
11．
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，由菱形面积公式即可求得面积．21教育名师原创作品
解：∵四边形BCD是菱形，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=5cm，BO= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD=12cm，且AO⊥BO，
∴AB=13，
∴周长L=4AB=52cm，
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC×BD=120cm2，
故答案为：52cm，120cm2．
12．
【分析】连接AC，得出∠DEC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD，求出CD即可．21*cnjy*com
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∵F为CD的中点，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD=6，
∴CD=12，
∴AB=CD=12，
故答案为：12．
13．
【分析】根据矩形对角线的性质可推出△ABO为等边三角形．已知AB=6，易求AC．
解：已知∠AOB=60°，根据矩形的性质可得AO=BO，
所以∠OAB=∠ABO=60度．
因为AB=6，所以AO=BO=AB=6．
故AC=12．
14．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．
解：AB=BC，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC．
15．
【分析】长方形各内角为直角，根据B ( http: / / www.21cnjy.com )D=10，∠ABD=30°即可计算AD的长度，根据勾股定理即可计算AB的长，根据长方形面积计算公式即可计算长方形ABCD的面积．
解：长方形各内角为直角，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD=10，∠ABD=30°
∴AD=5，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴长方形ABCD的面积为5×5 ( http: / / www.21cnjy.com / )=25 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为 25 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
16．
【分析】正方形ABCD中，BC=AB，等边△ ( http: / / www.21cnjy.com )BCE中，BE=AB，即可得AB=BE，因为∠ABE=30°，利用三角形的内角和为180°即可求出∠BEA的度数．21cnjy.com
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=60°，
∴AB=BE，∠ABE=30°，
∴∠BEA= ( http: / / www.21cnjy.com / )=75°，
故答案为：75°．
17．
【分析】矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10，
∵△ABD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB AD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD AE，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8．
故答案为 4.8．
18．
【分析】根据三角形的面积公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
解：如图（1），已知小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25，正方形AnBnCnDn的面积为5n．
故答案为：25，5n．
三．解答题（共7小题）
19．
【分析】根据平行四边形性质得出AO=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，BO=OD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，根据等边三角形的性质得出AO=BO．推出AC=BD．得出矩形ABCD，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，BO=OD= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×4 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm=16 ( http: / / www.21cnjy.com / )cm2．
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20．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出BD∥AE，BD=AE，推出CD=AE，根据平行四边形的判定推出即可；21世纪教育网版权所有
（2）根据等腰三角形性质求出∠ADC=90°，根据矩形的判定推出即可．
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形．
21．
【分析】（1）求出AE=DE，∠AFE ( http: / / www.21cnjy.com )=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可【出处：21教育名师】
（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，求出AD=BD即可．
（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形．
（2）当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，
证明：∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．
22．
【分析】（1）先证明△BMG≌△BMC ( http: / / www.21cnjy.com )，得出MC=MG，再由线段垂直平分线性质证出EC=EG，FG=FC，然后证明EC=FC，即可证出结论；
（2）先求出BC=BG=6，再求出AC=8，然后证明△AEG∽△ABC，得出比例式 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求出AE=5，EC=CF=3，最后根据面积公式得到 ( http: / / www.21cnjy.com / )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BC，求出CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8．即可得出DF=CD﹣CF．www.21-cn-jy.com
解：（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：
∵BE是∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CG⊥BE，
∴∠3=∠4=90°，
在△BMG和△BMC中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△BMG≌△BMC（ASA），
∴MC=MG，
∴EC=EG，FG=FC，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠1=90°，
∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴EC=FC，
∴EC=EG=FG=FC，
∴四边形CFGE是菱形；
（2）根据题意得：△BEG≌△BEC，
∴BC=BG=6，∠BGE=∠BCA=90°，
∵AB=AG+BG=10，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∵∠A=∠A，∠ABG=∠BCA=90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AE=5．
∴EC=AC﹣AE=3，
∴CF=3，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )AB CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BC，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4.8，
∴DF=CD﹣CF=4.8﹣3=1.8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．
【分析】（1）首先利用菱形的性质和CE=CF得出BE=DF，进而得出△ABE≌△ADF；
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF=25°，进而得出∠EAF的度数，进而得出∠AHC的度数．21*cnjy*com
（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=AD，∠B=∠D（菱形的性质），
∵CE=CF，
∴BC﹣CE=CD﹣CF，
∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF（已证），∠BAE=25°，
∴∠BAE=∠DAF=25°，
在菱形ABCD中
∠BAD=∠BCD=130°（菱形对角相等），
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF，
=130°﹣25°﹣25°，
=80°，
∵AE∥CG，
∴∠EAF+∠AHC=180°，
∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣80°=100°．
24．
【分析】（1）四边形BCEF是平行四边形，要证明四边形BCEF是平行四边形可转化为证明FB=CE，FB∥CE即可；
（2）当∠A=30°时，四边形BCEF是菱形，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，只要证明邻边相等即可即证明BC=CE；
（3）不可以，因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
（1）四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）∠A=30°，
证明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，
由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，
∴四边形BCEF为菱形；
（3）不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
25．
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行的判定方法即可判定；
（2）根据矩形的定义即可解题；
（3）根据菱形对角线互相垂直即可解题；
（4）根据正方形即使菱形又是矩形即可解本题．
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；
（3）∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；
（4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
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