19.2.1 菱形的性质同步练习
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19.2.1 菱形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一组邻边相等的平行四边形是菱形,菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形．
２．菱形的性质定理１:菱形的四条边都相等．
３．菱形的性质定理２:菱形的对角线互相垂直平分．
４．菱形的面积与两条对角线的关系是 菱形的面积等于两条对角线乘积的一 半．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．边长为5cm的菱形的周长是（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，BD=9，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．36
4．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，过B作BE⊥AD，则BE的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．6
6．已知：在平面直角坐标系中，菱形ABCD三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，1）、C（2，0），则点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，﹣2）
7．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
8．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
二．填空题
9．已知菱形ABCD的面积是12cm2，一条对角线长为4cm，则菱形的边长是 cm．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是 ．
11．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
三．解答题
13．已知菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．
14．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求：
（1）两条小路的长度；
（2）菱形花坛的面积．（结果保留根号）
15．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是边BC的中点，若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
16．已知：AC为菱形ABCD的对角线，过C作EC⊥AC，交AB延长线于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）若四边形ADCE为等腰梯形，AC=，求四边形ADCE的面积．
17．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边CD，AD的中点．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）AE=CF．
18．如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB=2cm，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线BD的长．
19．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．
（1）求菱形ABCD的面积．
（2）求PM+PN的最小值．
20．感知：如图①，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF．
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在 ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．
【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为5cm的菱形的周长是：5×4=20（cm）．
故选：C．
2．
【分析】由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．
解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
3．
【分析】由菱形ABCD的对角线AC=4，BD=9，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．
解：∵菱形ABCD的对角线AC=4，BD=9，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD=×4×9=18．
故选：B．
4．
【分析】根据菱形的性质可求得∠A=60°，在Rt△ABE中由三角函数的定义可求得BE．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣120°=60°，
∵BE⊥AD，
∴sinA=，
∴BE=AB sin60°=4×=2，
故选：A．
5．
【分析】根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了．
解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，
故选：B．
6．
【分析】根据题意画出坐标系，在坐标系内描出各点，根据菱形的性质即可得出结论．
解：如图所示，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴D（0，﹣1）．
故选：C．
7．
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．
解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选：A．
8．
【分析】根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，
故A，B，C正确，D错误．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
9．
【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长==cm．
故答案为．
10．
【分析】易证△ABD是等边三角形，再根据中位线定理易求BD．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AB=BD=2EF=2×3=6．
故答案为：6．
11．
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．
解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒，
∵=125…14，
∴移动到第2014秒和第14秒的位置相同，当P运动到第14秒时，如图所示，作PE⊥AC于E，PF⊥OD于F．
可得 =，
∴PA=PD，
∴P（，﹣）
故答案为：（ ，﹣）．
12．
【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，
∴CH=DC=3，DH===3，
∴EF+DE的最小值=DH=3
故答案为3．
三．解答题（共8小题）
13．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由菱形ABCD的周长为48cm，可求得其边长，由两个邻角∠A与∠B的比是1：2，可求得∠A=60°，然后由三角函数，求得DE的长，继而求得这个菱形的面积．
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：2，
∴∠A=60°，
∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AB=AD=12cm，
∴DE=AD sin60°=6（cm），
∴这个菱形的面积为：AB DE=12×6=72（cm2）．
14．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，菱形的对角线平分一组对角线可得∠ABO=∠ABC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AO=AB，再利用勾股定理列式求出BO，然后求出AC、BD即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：（1）∵花坛ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABO=∠ABC=×60°=30°，
∴Rt△ABO中，AO=AB=×20=10m，
∴BO===10cm，
∴AC=2AO=20m，BD=2BO=20m；
（2）S菱形ABCD=AC BD=×20×20=200m2．
答：菱形花坛的面积是200m2．
15．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC，进而得出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质得出BE=2，再利用勾股定理求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠BAE=∠B=30°，
∵AB=4，
∴BE=2，
在Rt△ABE中，
AE===2．
16．
【分析】（1）利用菱形的性质得出EC∥BF，再利用平行线分线段成比例定理得出AB=BE，则AB=BE=CD进而得出答案；
（2）利用等腰梯形以及菱形的性质得出CE=AE，进而利用勾股定理得出CM的长，再利用梯形面积求法得出即可．
（1）证明：连接BD，
∵AC、BD为菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，AF=CF，AB=BC，
∵EC⊥AC，
∴EC∥BF，
∴AB=BE，
∴AB=BE=CD，
∴CD=AE；
（2）解：过点C作CM⊥AE于点M，
∵四边形ADCE为等腰梯形，
∴AD=EC，
∵CD=AE，CE=AD=CD，
∴CE=AE，
设CE=x，则AE=2x，
∵AC=，
∴x2+（）2=（2x）2，
解得：x=±（负数舍去），
∴CM×AE=AC×EC，
∴2CM=×，
解得：CM=，
∴四边形ADCE的面积为：（CD+AE）×CM=（+2）×=．
17．
【分析】（1）根据菱形的性质得出对应边相等，进而利用SAS得出即可；
（2）利用（1）中所求，得出答案．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边CD，AD的中点，
∴DF=DE，AD=CD，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．
18．
【分析】（1）根据菱形性质得出AD∥BC，AB=BC=2cm，求出AB=2BE，推出∠BAE=30°，求出∠ABE=60°，根据平行线性质推出即可．
（2）根据菱形性质得出BD=2BO，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，AC⊥BD，求出OC，根据勾股定理求出BO=cm，即可求出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=2cm，
∵AE垂直平分BC，
∴∠AEB=90°，BE=BC=1cm，
即AB=2BE，
∴∠BAE=30°，
∴∠ABE=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2BO，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠CBO=30°，
∴OC=BC=1cm，
由勾股定理得：BO===（cm），
∴BD=2BO=2cm．
19．
【分析】（1）利用菱形ABCD的两条对角线乘积的一半等于菱形面积求出即可；
（2）利用已知得出四边形BQNC是平行四边形，则NQ=BC，再利用菱形的性质以及勾股定理得出MP+NP=QP+NP=QN的值．
解：（1）∵菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，
∴菱形ABCD的面积为：×6×8=24；
（2）作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值为：5．
20．
【分析】探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA=OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．
解：
探究：△ADE和△DBF全等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD．
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB=∠ADB=60°．
∴∠EAD=∠FDB=120°．
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DBF；
拓展：
∵点O在AD的垂直平分线上，
∴OA=OD．
∴∠DAO=∠ADB=50°．
∴∠EAD=∠FDB．
∵AE=DF，AD=DB，
∴△ADE≌△DBF．
∴∠DEA=∠AFB=32°．
∴∠EDA=18°．
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19.2.1 菱形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一组邻边相等的平行四边形是菱形,菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形．
２．菱形的性质定理１:菱形的四条边都相等．
３．菱形的性质定理２:菱形的对角线互相垂直平分．
４．菱形的面积与两条对角线的关系是 菱形的面积等于两条对角线乘积的一 半．
基础知识和能力拓展精练
一．选择题
1．边长为5cm的菱形的周长是（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，BD=9，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．36
4．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，过B作BE⊥AD，则BE的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．6
6．已知：在平面直角坐标系中，菱形ABCD三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0）、B（0，1）、C（2，0），则点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，﹣2）
7．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
8．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
二．填空题
9．已知菱形ABCD的面积是12cm2，一条对角线长为4cm，则菱形的边长是 cm．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是 ．
11．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是 ．
三．解答题
13．已知菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．
14．如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求：
（1）两条小路的长度；
（2）菱形花坛的面积．（结果保留根号）
15．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是边BC的中点，若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
16．已知：AC为菱形ABCD的对角线，过C作EC⊥AC，交AB延长线于E．
（1）求证：CD=AE；
（2）若四边形ADCE为等腰梯形，AC=，求四边形ADCE的面积．
17．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边CD，AD的中点．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）AE=CF．
18．如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB=2cm，求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线BD的长．
19．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．
（1）求菱形ABCD的面积．
（2）求PM+PN的最小值．
20．感知：如图①，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF．
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在 ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．
【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为5cm的菱形的周长是：5×4=20（cm）．
故选：C．
2．
【分析】由菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；即可求得答案．
解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选：C．
3．
【分析】由菱形ABCD的对角线AC=4，BD=9，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形ABCD的面积．
解：∵菱形ABCD的对角线AC=4，BD=9，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD=×4×9=18．
故选：B．
4．
【分析】根据菱形的性质可求得∠A=60°，在Rt△ABE中由三角函数的定义可求得BE．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣120°=60°，
∵BE⊥AD，
∴sinA=，
∴BE=AB sin60°=4×=2，
故选：A．
5．
【分析】根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了．
解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，
故选：B．
6．
【分析】根据题意画出坐标系，在坐标系内描出各点，根据菱形的性质即可得出结论．
解：如图所示，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴D（0，﹣1）．
故选：C．
7．
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．
解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选：A．
8．
【分析】根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，
故A，B，C正确，D错误．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
9．
【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长==cm．
故答案为．
10．
【分析】易证△ABD是等边三角形，再根据中位线定理易求BD．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AB=BD=2EF=2×3=6．
故答案为：6．
11．
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．
解：∵A（1，0），B（0，），
∴AB==2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间==4秒，
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒，
∵=125…14，
∴移动到第2014秒和第14秒的位置相同，当P运动到第14秒时，如图所示，作PE⊥AC于E，PF⊥OD于F．
可得 =，
∴PA=PD，
∴P（，﹣）
故答案为：（ ，﹣）．
12．
【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
解：如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，
∴CH=DC=3，DH===3，
∴EF+DE的最小值=DH=3
故答案为3．
三．解答题（共8小题）
13．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由菱形ABCD的周长为48cm，可求得其边长，由两个邻角∠A与∠B的比是1：2，可求得∠A=60°，然后由三角函数，求得DE的长，继而求得这个菱形的面积．
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵菱形ABCD的两个邻角∠A与∠B的比是1：2，
∴∠A=60°，
∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AB=AD=12cm，
∴DE=AD sin60°=6（cm），
∴这个菱形的面积为：AB DE=12×6=72（cm2）．
14．
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，菱形的对角线平分一组对角线可得∠ABO=∠ABC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AO=AB，再利用勾股定理列式求出BO，然后求出AC、BD即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：（1）∵花坛ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∠ABO=∠ABC=×60°=30°，
∴Rt△ABO中，AO=AB=×20=10m，
∴BO===10cm，
∴AC=2AO=20m，BD=2BO=20m；
（2）S菱形ABCD=AC BD=×20×20=200m2．
答：菱形花坛的面积是200m2．
15．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC，进而得出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质得出BE=2，再利用勾股定理求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠BAE=∠B=30°，
∵AB=4，
∴BE=2，
在Rt△ABE中，
AE===2．
16．
【分析】（1）利用菱形的性质得出EC∥BF，再利用平行线分线段成比例定理得出AB=BE，则AB=BE=CD进而得出答案；
（2）利用等腰梯形以及菱形的性质得出CE=AE，进而利用勾股定理得出CM的长，再利用梯形面积求法得出即可．
（1）证明：连接BD，
∵AC、BD为菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，AF=CF，AB=BC，
∵EC⊥AC，
∴EC∥BF，
∴AB=BE，
∴AB=BE=CD，
∴CD=AE；
（2）解：过点C作CM⊥AE于点M，
∵四边形ADCE为等腰梯形，
∴AD=EC，
∵CD=AE，CE=AD=CD，
∴CE=AE，
设CE=x，则AE=2x，
∵AC=，
∴x2+（）2=（2x）2，
解得：x=±（负数舍去），
∴CM×AE=AC×EC，
∴2CM=×，
解得：CM=，
∴四边形ADCE的面积为：（CD+AE）×CM=（+2）×=．
17．
【分析】（1）根据菱形的性质得出对应边相等，进而利用SAS得出即可；
（2）利用（1）中所求，得出答案．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边CD，AD的中点，
∴DF=DE，AD=CD，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．
18．
【分析】（1）根据菱形性质得出AD∥BC，AB=BC=2cm，求出AB=2BE，推出∠BAE=30°，求出∠ABE=60°，根据平行线性质推出即可．
（2）根据菱形性质得出BD=2BO，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，AC⊥BD，求出OC，根据勾股定理求出BO=cm，即可求出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=2cm，
∵AE垂直平分BC，
∴∠AEB=90°，BE=BC=1cm，
即AB=2BE，
∴∠BAE=30°，
∴∠ABE=180°﹣90°﹣30°=60°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2BO，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠CBO=30°，
∴OC=BC=1cm，
由勾股定理得：BO===（cm），
∴BD=2BO=2cm．
19．
【分析】（1）利用菱形ABCD的两条对角线乘积的一半等于菱形面积求出即可；
（2）利用已知得出四边形BQNC是平行四边形，则NQ=BC，再利用菱形的性质以及勾股定理得出MP+NP=QP+NP=QN的值．
解：（1）∵菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，
∴菱形ABCD的面积为：×6×8=24；
（2）作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值为：5．
20．
【分析】探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA=OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．
解：
探究：△ADE和△DBF全等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD．
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB=∠ADB=60°．
∴∠EAD=∠FDB=120°．
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DBF；
拓展：
∵点O在AD的垂直平分线上，
∴OA=OD．
∴∠DAO=∠ADB=50°．
∴∠EAD=∠FDB．
∵AE=DF，AD=DB，
∴△ADE≌△DBF．
∴∠DEA=∠AFB=32°．
∴∠EDA=18°．
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