导 学 单
活动一：
1、把1个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的( )。
2、把1盘桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的( )。
活动二：分一分，涂一涂。
活动三：分一分，填一填。
活动四：分一分，填一填。
聚焦本质，在多重比较中建构概念
——《认识一个整体的几分之一》教学片段与思考
“认识一个整体的几分之一”是苏教版三年级下册教材第七单元的教学内容，是分数学习的一次质的飞跃。从认识一个具象整体（一个物体）的几分之一到认识一个抽象整体（把许多个物体看作一个整体）的几分之一，一直以来是儿童理解的难点，因为儿童在理解“部分与整体的关系”时常常容易受到具体个数的干扰，比较关注表示的个数与总个数之间的关系，而忽略了表示的份数与平均分的总份数之间的关系，将分数的两重含义混淆在一起。所以本节课的核心问题就是如何帮助学生建立一个整体的概念？如何帮助学生理解几分之一表示的是一份与平均分的份数的关系？如何帮助学生体会部分与整体之间的关系？分数概念的建构需要多维度、多层次的感悟，要让学生经历概念的形成过程，而在概念建立的关键处，我们要充分运用比较策略，引导学生展开多角度的对比和辨析，从而使学生的认识过程趋向深刻、完整，深化分数概念的建构。
【片断1】异中求同：浓墨重彩构造“主环节”
（在达成共识“把一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴能分得这盘桃的”后）
师：如果给你一盘桃，你能表示出你的这盘桃的二分之一吗？
1.操作
先用虚线分一分，再画阴影涂一涂。
2.交流
生1：我的这盘有6个桃，把它平均分成2份，这3个就是它的。
师：你们听出来了吗？她是把这盘桃平均分成了几份？
生齐答：两份。
师：（指着涂色部分）这3个就是其中的——1份。那这一份呢？（师指另一份）
生齐答：也是它的。
师：我们就说每份都是这盘桃的——。
（4个桃、12个桃的交流略）
师：这盘桃很特别，有几个？还能表示出这盘桃的吗？
生2：可以表示，先每份分1个，再把一个平均分成两份，1个半桃就是它的。
生3：也把它平均分成2份，每份就是它的。
3．比较：
师：大家都表示出了自己这盘桃的二分之一，真好！仔细看，（指着图）这盘桃有——3个，这盘有——4个，（依次指）——6个，12个，每盘的个数相同吗？
生：不相同。
师：再瞧瞧，这盘每一份有——6个、3个、2个、1个半，每一份的个数相同吗？
生：不相同。
师追问：小猴子纳闷了，桃的总个数不同，每一份的个数也不同，为什么都可以用来表示呢？跟你的同桌讨论讨论。
生1：把一盘桃平均分成2份，取其中的1份就是。
生2：因为不管多少个桃，都是把它平均分成2份，取了其中的1份。
师：看来这2等份中的1份，就可以用二分之一来表示。（随机在的分子分母右下角板书“份”字。）
（课件播放：小朋友们真爱思考，其实不管这盘桃有几个，我们都是把这盘桃看作了一个整体（课件点击隐去盘子，变成集合圈）平均分成2份，那每份就是它的二分之一。）
师追问：刚刚孙小圣说这个圈是表示把一盘桃看作——？
生：一个整体。
师（指着6个桃）：谁来说说这里是把几个桃看作一个整体，平均分成了几份，每份就是它的——？
生1：把6个桃看作一个整体，平均分成了2份，每份就是它的。
师（再指着12个桃）：这幅图谁愿意试着说一说？你还能想到把多少个桃看作一个整体呢？
生2：把16个桃看作一个整体，平均分成2份，其中的1份就是它的。
生3：把100个桃看作一个整体，平均分成2份，每份就是它的。
生4：……
师：能说得完吗？（板书省略号）
生5：不管是多少个，都能平均分成2份，其中的1份就是它的。
师：是呀！不管有多少个桃子，只要把它们看作一个整体，平均分成——两份，那每份就是这个整体的二分之一。
【思考】
课堂教学要“克服以往那种在教学中零散片断的内容和活动，聚焦于基本概念和基本结构，以少胜多，鼓励学生在重要的概念上花更多的时间深入透彻地理解”。因而例题的选择至关重要，基于儿童能正确地从一个桃的二分之一迁移到一盘桃的二分之一的认识经验，合理整合教材内容，将例1完全开放，浓墨重彩构造“一个整体的二分之一”这一环节，拉长分数概念的认识过程。为学生提供不同数量的操作材料，积累丰富的感性经验，但仅凭感性经验无法触及概念的本质，此时的“求同比较”尤为重要：每盘桃的总个数不同，每一份的个数也不同，为什么都可以用来表示呢？由此引发儿童的认知冲突，帮助儿童聚焦思维，从分数的份数定义入手，关注隐含其中的本质属性——即关注每份和平均分的份数的关系，为儿童走向概念本质的理解搭建桥梁。在对比和辨析中，儿童澄清认识，感悟“一个整体”，全面准确的把握一个整体的的本质属性：其表示的是部分与整体间的关系，与具体的数量没有关系。
【片断2】同中求异：由“特殊”推及“一般”
师：孙小圣的这盘桃究竟有多少个呢？想知道吗？（出示图）就是12个。看这一盘桃，除了能表示出它的，还能表示出它的几分之一呢？
伙伴研究：
分一分：用游戏棒12个桃可以平均分成几份。
说一说：每份是它的几分之一。
填一填：把你得到的结果记录在“活动记录单”上。
交流：
生1：把12个桃看作一个整体，平均分成6份，每份就是它的。
生2：把12个桃看作一个整体，平均分成4份，每份就是它的。
生3：把12个桃看作一个整体，平均分成3份，每份就是它的。
生4：把12个桃看作一个整体，平均分成12份，每份就是它的。
师：你们太棒了！把12个桃看作一个整体平均分，大家找到了这么多不同的分数，真是了不起。但是同样都是12个桃，为什么表示每份的分数不一样呢？
生1：因为每次平均分的份数不一样。
生2：平均分成几份，分母就是几；其中的几份，分子就是几。
师：说得真好！平均分成几份，每一份就是它的几分之一。
【思考】
在认识了后，此环节充分发挥分数模型强大的迁移力和再生力，引导学生将的认知经验正迁移至几分之一，通过自然的问题情境“孙小圣的这盘桃就是12个”，引发“还可以表示出它的几分之一”的思考，在主动探究中进一步认识、、以及，并在“同中求异”：同样都是12个桃，为什么表示每份的分数不一样呢？聚焦关注一份与平均分的份数的关系，并由特殊推及一般，对“一个整体的几分之一”的理解水到渠成。
【片断3】经验对接：打通新旧知识“关节”
（在认识一个整体的后）
师：瞧，我们对又有了新的认识，这不仅仅可以表示一个桃的，还可以表示谁的？
生1：一个苹果的。
生2：一盘桃的。
生3：一个整体的。
……
（在认识一个整体的几分之一后）
师：学到这儿，我们来做个比较。以前我们是把一个桃这样的一个物体平均分，今天我们平均分的对象有什么不同呢？
生1：今天是把好多个物体平均分。
生2：是把一个整体来平均分。
师追问：那有没有相同的地方呢？
生3：都是把他们平均分的。
生4：都是表示其中的1份。
师：对，无论是一个物体还是一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一，咱们对几分之一的认识又进了一步。
【思考】
数学概念具有广泛的联系，它们都被嵌入到组织良好的概念体系中，结构化的知识有助于儿童更好的学习、迁移和运用。由于小学生的年龄和心理认知特征，其对概念的认识是有层次性的。当学习了一个新的概念后，要引导儿童将已有经验进行对接，把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，形成“结构化”。如“这不仅仅可以表示一个桃的，还可以表示谁的？” “以前我们是把一个桃这样的一个物体平均分，今天我们平均分的对象有什么不同呢？”在比较中揭示内在联系，使知识脉络更清晰，认知结构更完善。
【片断4】变与不变：解释运用强化本质
生1：我把10包面纸看作一个整体，平均分成5份，每份就是它的五分之一。
生2：我看到了二分之一，是把这个整体平均分成2份。
生3：我还能看到十分之一，……
师：同样把10包面纸看作一个整体，观察的角度不同，得到的分数就不同。
生1：我看到了五分之一。把这一个小组看做一个整体，这个小朋友就是其中的五分之一。
生2：我看到了十分之一。
师：猜猜她把多少个小朋友看作一个整体？
生3：她是把10个小朋友看作一个整体。
生4：我能看到十五分之一，是把所有的同学看做一个整体。
师追问：都是这一个同学，为什么大家看到的几分之一不一样呢？
生：因为一个整体变了！
师：一个整体变了，这一份对应的分数就变了。这分数真是随处可见，只要你有一双发现的眼睛。
师：9个大拇指，我想请你拿出它的三分之一，想一想，是几个呢？
一生上来取下了3个。
师：能拿出剩下的三分之一吗？
又有一名学生上来拿了2个。
师追问：都是三分之一，为什么有人拿了3个，有人却拿了2个呢？
生2：一开始是9个看做一个整体，拿9个的，后来剩下了6个，又把6个看做一个整体，拿6个的。
师：你真是个善于思考的孩子。一个整体变了，它的三分之一表示的数量也就变了。
【思考】
“学以致用”是学习知识的根本目标，对于培养儿童的数学应用意识来说，利用所学的数学知识解释现实世界中的现象的重要性不言而喻。引导学生从身边的现象开始，从“面纸”“游戏中的儿童”等这些生活中常见的事物中发现几分之一的身影，并通过对“整体不变，份数变化，分数也变化”、“每份不变，整体变化，分数也变化”、“整体变化、分数不变，但每份的个数也随之变化”这些问题的深入比较，在“变”与“不变”的讨论与分析中，进一步理解了分数反映部分与整体的关系这一深刻内涵，进而强化分数概念的本质。
俄国著名教育家乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”在数学教学中，抓住本质，善于运用比较策略，异中求同、同中求异、对接经验……，在变与不变中辨别知识间的差异，让沉潜的数学“本质”浮出水面，引导学生深刻感悟数学知识的本源，促进概念的理解和内化，深化对概念的建构，从而达到事半功倍的效果。
经历开放的板块学习，凸显概念本质的建构
——《认识一个整体的几分之一》教学设计及思考
教学内容：义务教育教科书数学三年级下册第76-78页例1、例2、试一试和想想做做第1～4题。
教学目标：
1．结合具体情境进一步认识分数，知道把一些物体看做一个整体平均分成若干份，其中的一份表示这些物体的几分之一。
2．体会分数与现实生活的联系，初步了解分数在实际生活中的应用。3．通过对实际问题的解决，使学生感受分数的价值和意义。
教学重点：使学生知道把一些物体看做一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用分数表示。
教学难点：理解分数可以表示部分与整体间的关系。
教学准备：
学生每人一个1号信封（一盘桃图、一支水彩笔）桃图随机分别是3个、4个、6个、12个；作业纸。四人小组一个2号信封（12个桃子图、6根小棒、一张记录单）
教学过程：
一、引入
瞧，草地上有两只小猴在玩耍，孙小圣带来了它们最喜欢吃的水果？是——桃子。
孙小圣要把这一个桃平均分给2只小猴。 每只小猴分得这个桃的几分之几呢？
（课件演示将一个桃平均分成两份）是这样吗？也就是把这个桃平均分成两份，这一份是这个桃的，这一份呢？每一份都是这个桃的。
小结：在以前的学习中，我们知道把一个桃（贴桃）平均分成两份，每份都是它的二分之一(贴板书)。
二、探究
（一）教学一个整体的二分之一
1、迁移
师：吃完一个桃，小猴们直呼太不过瘾了，于是，孙小圣又拿出了一盘桃。想一想，如果把这一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴又能分得这盘桃的几分之几呢？
你怎么想到？
猜猜这盘桃可能有几个？
2、操作
师：如果给你一盘桃，你能表示出你的这盘桃的二分之一吗？（点击出示）
我研究：
你能表示出一盘桃的二分之一吗？
师：打开你的1号信封，想一想，先用虚线分一分，再画阴影涂一涂。
3、交流：
师：好了，孩子们，把你手中的材料轻轻往前推一推，咱们来听听小伙伴的想法。
第一环节：6个桃
指名回答：这是谁的作品？先介绍一下你的这盘桃有几个？那你是怎样表示出这6个桃的的？
结合学生回答，相机提问：你们听出来，他是把这盘桃平均分成几份，每只小猴分得其中的几份？这一份是这盘桃的，这一份呢？ 每一份都是这盘桃的。
（边说边指板书，这里很重要，是在教给学生语言表达）把6个桃平均分成——，每份就是这盘桃的——。
第二环节：4个桃
提问：这个小朋友是这样表示出这盘桃的二分之一的，他表示得对吗？为什么每份都是这4个桃的？
第三环节：12个桃
在这盘桃里，每份都可以用表示吗？为什么？
第四环节：3个桃
这盘桃很特别，有几个？还能表示出这盘桃的吗？
4、对比中揭示“一个整体”。
师：大家都表示出了自己这盘桃的二分之一，真好！仔细看，（指着图）这盘桃有——3个，这盘有——4个，（依次指）——6个，12个，每盘的个数相同吗？再瞧瞧，这盘每一份有——6个、3个、2个、1个半，每一份的个数相同吗？
追问：小猴子纳闷了，桃的总个数不同，每一份的个数也不同，为什么都可以用来表示呢？（在桃子图下面板书：）同桌的小朋友讨论讨论。
指名回答，随机在的分子分母右下角板书“份”字。
小结：2等份中的1份，就可以用二分之一来表示。
抽象：孙小圣也表扬咱们了（课件演示，同时配画外音：小朋友们真爱思考，其实不管这盘桃有几个，我们都是把这盘桃看作了一个整体（课件点击隐去盘子，变成集合圈）平均分成2份，那每份就是它的二分之一。）
追问：刚刚孙小圣说这个圈是表示把一盘桃看作——？（指名两三人说，再齐说）
板书：一个整体
（指着6个桃）：谁来说说这里是把几个桃看作一个整体，平均分成了几份，每份就是它的——？（如果第一个学生说得不太顺利，可以再请一个孩子说一说）
（再指着12个桃）：这幅图谁愿意试着说一说？
师：你还能想到把多少个桃看作一个整体呢？（请2~3人说一说）
说得完吗？（板书省略号）
小结：（结合板书）不管有多少个桃子，只要把它们看作一个整体，平均分成——两份，那每份就是这个整体的二分之一。
5、总结。
师：瞧，我们对又有了新的认识，这不仅仅可以表示一个桃的，还可以表示谁的？（在板书“一个整体”下面点上着重号）
【我的思考】
1、让“一个整体”来得更迟一点
原先教学中，在出示了6个桃之后，随即介绍：把这6个桃看做一个整体，用一个圈表示。这里“整体”的概念是教师告知的，而非儿童感悟的。我们知道儿童建构一个新的概念，往往需要大量的实例做支撑，感悟体验在形成概念过程中起着重要的支撑作用，而仅用一个例子，显然对“一个整体”体会是苍白无力的。因此基于儿童能正确地从一个桃的二分之一迁移到一盘桃的二分之一的认识经验，我选择了将例1完全开放，自主表示出不同数量的一盘桃的二分之一，借助具体的实际操作活动来启发儿童的思维，儿童经过对所感知材料的观察分析等，在头脑中逐步建立一盘桃的的正确表象，对“一个整体”的理解呼之欲出。儿童只有经历主动的探究过程，才能构建自己的理解，这是直接告知所无法替代的。
2、让“3个桃”来打个岔
我们知道，数学概念形成基本上需要具备两个条件：一是学习者必须从许多事物、事件或情境中认识或抽象出他们的共有特征，以便进行概括；二是学习者必须能够辨别与概念相关或不相关的标志，以便进行区别归类。所以如果仅仅是简单的操作具体材料，并不能引发儿童的思考，认识分数概念的本质。因为教师是能够明白这些材料所呈现的概念，儿童却不具有这种“成人的眼光”。这时就需要教师适时地引导：每盘桃的个数不同，每一份的个数也不同，为什么都可以用来表示呢？帮助儿童关注隐含其中的数学思想方法，为儿童走向概念本质的理解搭建桥梁。而当儿童因受操作素材局限提出“因为是双数个数所以能用表示”这一片面的理解时，教师提出“一盘3个桃”这一概念的非标准变式供儿童研究，帮助儿童澄清认识，全面准确的把握一个整体的 的本质属性：其表示的是部分与整体间的关系，与具体的数量没有关系。
（二）教学一个整体的几分之一
师：刚才我们研究了自己的这盘桃，那孙小圣给小猴的那盘桃究竟有多少个呢？想知道吗？
（点击课件）就是12个。看孙小圣的这一盘桃，除了能表示出，还能表示出它的几分之一呢？让我们接着来研究。
伙伴研究
分一分：用游戏棒把12个桃平均分成几份。
说一说：每份是它的几分之一。
填一填：把你得到的结果记录在“活动记录单”上。
师:这次需要咱们四人小伙伴合作，一个孩子摆，一个孩子记录，还有两个孩子要积极的补充，比比哪个小组合作得又好又快。
动手操作
汇报交流
哪个小组愿意和大家分享你们的结果？
注意：学生交流时，老师随即在黑板上出示相应的板书。
介绍两个之后：下面他摆好后你别忙着介绍，比比同学们谁最先能看出每份是它的几分之一，好不好？
指名下面同学说了之后，要追问：为什么？
这一组同学介绍完后，问其他同学：大家还有补充的吗？
观察比较：
你们太棒了！把12个桃看作一个整体平均分，大家找到了这么多不同的分数，真是了不起。咱们一起来读一读这些分数。
提问：不过，小猴儿们又糊涂了，都是12个桃，为什么表示每一份的分数不一样呢？
总结：平均分成几份（将板书中的“两”换成“几”），每份就是——它的几分之一。（板书换成“几”）
【我的思考】
1、有效整合，突出概念本质
教材中例2是迁移前面的学习方法认识一个整体的，随后的“试一试”通过创设开放的问题情境，引导学生用学习、的方法主动认识一个整体的、等分数，进一步拓展对几分之一的认识。既然例2与“试一试”都是在认识一个整体的几分之一，也都是基于例1借助实物图进行思考的经验，那我们何不将其合二为一呢？通过自然的问题情境“猴妈妈的这盘桃就是12个”，引发“还可以表示出它的几分之一”的思考，在主动探究中进一步认识、、以及，并由特殊推及一般，对“一个整体的几分之一”的理解水到渠成。
2、融会贯通，形成概念体系
数学概念具有广泛的联系，它们都被嵌入到组织良好的概念体系中。由于小学生的年龄和心理认知特征，其对概念的认识是有层次性的。当学习了一个新的概念后，引导儿童把新概念纳入到相应的概念体系中去，使有关概念融会贯通，组成一个整体。如“这不仅仅可以表示一个桃的，还可以表示谁的？” “以前我们是把一个桃这样的一个物体平均分，今天我们平均分的对象有什么不同呢？”在对比中揭示内在联系，使知识脉络更清晰，认知结构更完善。
（三）揭示课题
师：学到这儿，我们来做个比较。以前我们是把一个桃这样的一个物体平均分，今天我们平均分的对象有什么不同呢？那有没有相同的地方呢？
师：对，无论是一个物体还是一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一，咱们对几分之一的认识又进了一步。（板书课题：认识几分之一）
三、练习
其实像这样的分数还有很多，让我们乘着孙小圣的筋斗云去寻找更多的一个整体的几分之一。
1、填一填
瞧，我们来到了果园，摘下新鲜可口的水果。
出示图：想想做做第2题（下面两幅换成香蕉）
能用分数表示图里的涂色部分吗？作业纸的第一题，边填边想把什么看作一个整体，平均分成了几份，涂色部分是其中的几份。
核对，如果有出现8分之二的情况，反馈错误，进行讨论。
比较最后两幅图：都有8个香蕉，但是表示出的分数却不同，为什么？
2、分一分，涂一涂
出了果园，孙小圣一个筋斗云又来到了农场（情景图里有小鸡和小兔），看到了可爱的小鸡和小兔，你能根据分数分一分，涂一涂吗？
先和你的同桌说一说每一幅图应该平均分成几份，涂其中的几分。
实物投影反馈。
3、生活中的应用
超市里有没有咱们认识的分数呢？
（1）养乐多
这是大家爱喝的养乐多，看到几分之一了呢？
（2）面纸
根据学生的回答，随机出示不同的分法。
小结：同样的整体，平均分的份数不同，得到的分数就不同。
（3）再走进我们的校园，小朋友们正在玩游戏呢！你看到了几分之一呢？
（点击色块覆盖一个小姑娘）这是谁呀？看着她，你又想到了几分之一呢？
根据学生的回答，提问：把多少人看作一个整体，同时出现集合圈。
追问：都是一个同学，怎么大家看到的分数不一样啊？
小结：是呀，一个整体变了，这一份对应的分数就变了。这分数真是随处可见，只要你有一双发现的眼睛。
5、游戏（机动）
出示：9个大拇指。大家真爱动脑筋，孙小圣要送给大家一些大拇指！不过，有个要求，想请你拿出它的三分之一，拿对了就送给你。
能拿出剩下的三分之一吗？
提问：都是三分之一，为什么有人拿了3个，有人却拿了2个呢？
小结：一个整体变了，它的三分之一也就变了。
师：大家的表现太棒了，我要给每个小朋友都发一个大拇指，你知道你的这一份是全班的多少分之一吗？
【我的思考】
维果茨基认为：在最终掌握概念并在抽象水平上系统阐述概念以后，把概念运用与必须借助于这些抽象的术语来加以观察的新的具体的情境，这是概念学习最大的困难。因而当儿童初步获得分数概念之“部分与整体关系”的本质之后，为了强化对“部分与整体关系”的理解，我们可以带领儿童再次返回到现实背景中，在问题解决的过程中应用概念，让儿童经历一个重新寻找意义的过程。在“变”与“不变”的讨论与分析中，进一步认识分数概念的本质。
总之，概念理解在任何一个学习阶段都很重要，是儿童学习数学的基础。尽管在实际教学中数学概念的生成方法不尽相同，但目标却是一致的，就是尽可能地创设机会，让学生在开放的情境中通过主动学习、合作探究展开高质量的互动交流，逐步引导学生进行概念本质的建构。
四、全课总结
分数真是太有趣了，还有很多有关分数的知识，等待大家接着去研究。
课件19张PPT。分数的初步认识（二） 把一个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的几分之几？ 把一个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这个桃的几分之几？ 把一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？农场
