2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题4.2+二面角（理科）

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（理科）专题02 二面角
1．如图，在三棱柱中， 侧面底面.

(1)求证： 平面；
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析: （1）由四边形为菱形，得对角线，由侧面底面，得侧面B1，从而1，由此能证明平面；（2）由勾股定理得，由菱形中，得为正三角形，以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴， 方向为轴，过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值.
侧面底面，
侧面，
.
又,
平面.
(2)在中， ,
又菱形中， ，
为正三角形.
设为平面的方向量，则
令,得为平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量，
.
二面角的余弦值为.
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．
（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
试题解析：（1）取的中点，的中点，连接、、，如图所示．
则平面平面，平面即为所求的平面．
理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，所以，
在中，点分别是的中点，所以．
显然，，
所以平面平面，亦即平面 平面．
（2）不妨设,,，故,．在平行四边形中，，所以．
取的中点，则．
又平面平面，平面平面，所以平面．
连接，因为，，所以，又，所以．
如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，,，．
所以，，，．
设平面的法向量为，
则由，即，整理得．
令，．所以．
所以．
3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，且，求二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）易证得， ，所以有平面，从而得证；
（2）分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，平面的一个法向量为，由法向量的所成角可得解.
试题解析：
（1）证明：∵，∴，
∴，∴.
又∵底面，∴.
∵，∴平面.
而平面，∴平面平面.
（2）解：由（1）知， 平面，
∴，∴.
故， .
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
易知平面的一个法向量为，则，
∴二面角的大小为.
4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，根据线面垂直得，再根据线面垂直判定定理得平面，即得.最后根据得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.
又棱台中，
∴
(2)建立空间直角坐标系如图所示， 则，， ，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，则,
∴，.
令，得， ∴；
设平面的法向量为，则,
∴，
令，得，， ∴，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面 平面，点、分别为、中点.
（1）求证： 平面；
（2）若，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（I）证明：取中点，连接．
在△中，有
分别为、中点

而平面， 平面
平面
（II）取中点，连接，设.
四边形是矩形

平面 平面,平面 平面= ， 平面
平面
又 ， ， 为中点
， ， .
故可建立空间直角坐标系，如图所示，则
， ， ， ，
，
，
设是平面的一个法向量，则
，即
不妨设，则．
易知向量为平面的一个法向量．

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .
（Ⅰ）若点是棱的中点,求证: 平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）若二面角为,设,试确定的值.
【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.
（Ⅲ）以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面中, ，利用向量的夹角公式，即可求得的值.
试题解析：
因为平面, 平面
所以平面.
（Ⅱ）因为为中点,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为,所以,即.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
（Ⅲ）因为为的中点,所以.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面
以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则点, , , ,平面的一个法向量.
设,则,,
因为
所以
在平面中, ,
因为二面角为,
所以,
所以.