2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何(理科)专题02 二面角
1.如图,在三棱柱中, 侧面底面.
(1)求证: 平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析: (1)由四边形为菱形,得对角线,由侧面底面,得侧面B1,从而1,由此能证明平面;(2)由勾股定理得,由菱形中,得为正三角形,以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴, 方向为轴,过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系,分别求出平面的法向量和平面的法向量,由此能求出二面角的余弦值.
侧面底面,
侧面,
.
又,
平面.
(2)在中, ,
又菱形中, ,
为正三角形.
设为平面的方向量,则
令,得为平面的一个法向量.
又为平面的一个法向量,
.
二面角的余弦值为.
2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面平面,点为的中点.
(1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
试题解析:(1)取的中点,的中点,连接、、,如图所示.
则平面平面,平面即为所求的平面.
理由如下:在平行四边形中,点分别是与的中点,所以,
在中,点分别是的中点,所以.
显然,,
所以平面平面,亦即平面 平面.
(2)不妨设,,,故,.在平行四边形中,,所以.
取的中点,则.
又平面平面,平面平面,所以平面.
连接,因为,,所以,又,所以.
如图所示,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,.
所以,,,.
设平面的法向量为,
则由,即,整理得.
令,.所以.
所以.
3.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形, , ,且底面.
(1)证明:平面平面;
(2)若为的中点,且,求二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)易证得, ,所以有平面,从而得证;
(2)分别以, , 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面的法向量为,平面的一个法向量为,由法向量的所成角可得解.
试题解析:
(1)证明:∵,∴,
∴,∴.
又∵底面,∴.
∵,∴平面.
而平面,∴平面平面.
(2)解:由(1)知, 平面,
∴,∴.
故, .
设平面的法向量为,
则,即,
令,得.
易知平面的一个法向量为,则,
∴二面角的大小为.
4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据菱形性质得,根据线面垂直得,再根据线面垂直判定定理得平面,即得.最后根据得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.
又棱台中,
∴
(2)建立空间直角坐标系如图所示, 则,, ,,,,
所以,,,,
设平面的一个法向量为,则,
∴,.
令,得, ∴;
设平面的法向量为,则,
∴,
令,得,, ∴,
设平面与平面所成锐二面角为,
则,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
5.在四棱锥中,四边形是矩形,平面 平面,点、分别为、中点.
(1)求证: 平面;
(2)若,求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
试题解析:(I)证明:取中点,连接.
在△中,有
分别为、中点
而平面, 平面
平面
(II)取中点,连接,设.
四边形是矩形
平面 平面,平面 平面= , 平面
平面
又 , , 为中点
, , .
故可建立空间直角坐标系,如图所示,则
, , , ,
,
,
设是平面的一个法向量,则
,即
不妨设,则.
易知向量为平面的一个法向量.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
6.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .
(Ⅰ)若点是棱的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若二面角为,设,试确定的值.
【答案】(I)详见解析;(II)详见解析;(III).
(Ⅲ)以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面的一个法向量和平面中, ,利用向量的夹角公式,即可求得的值.
试题解析:
因为平面, 平面
所以平面.
(Ⅱ)因为为中点,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为,所以,即.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
(Ⅲ)因为为的中点,所以.
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面
以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则点, , , ,平面的一个法向量.
设,则,,
因为
所以
在平面中, ,
因为二面角为,
所以,
所以.