2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何(文科)专题02 体积与表面积
1.如图, 是边长为3的等边三角形,四边形为正方形,平面平面.点、分别为、上的点,且,点为上的一点,且.
(Ⅰ)当时,求证: 平面;
(Ⅱ)当时,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意,可连接,则易证∥,且∥,从而平面∥平面,又平面,从而问题可得证;
(Ⅱ)由题意,可将三棱锥R的体积转化为三棱锥的体积进行求解,取点,连接,过点作于,并计算的长,即为三棱锥的高,根据题意可计算其底面积,再由三棱锥计算公式,从而问题可得解.
(Ⅱ)取的中点为,连接,则,
∵平面平面,∴平面.
过点作于点,连接,则.
∵,∴,
∵, , 平面,∴平面,
∴,又,∴平面,∴,
又为正方形,∴,∴,∴,
∴ .
2.如图,在直三棱柱中, , 为线段上的一点,且, .
(1)求证: ;
(2)若为的中点,若平面,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易证,从而得证;(2)先由为的中点,且平面,明确为中点,然后利用等体积变换求体积.
,,取中点,连, 分别为中点, , , 四边形为平行四边形,
, ,
3.如图,在直四棱柱中, , , , .
(1)证明:平面平面;
(2)比较四棱锥与四棱锥的体积的大小.
【答案】(1)见解析(2)
的底面平行四边形与平行四边形的面积相等,又,其高为,从而可求出四棱锥的体积,另四棱锥的底面为矩形,高为,即可求出其体积,从而问题可得解.
试题解析:(1)证明:∵,
∴,
又平面,∴,
∵,∴平面.
又平面,∴平面平面.
(2)解:∵且,∴,
又,∴,∴
∵
∴.
4.如图,在三棱柱中,侧棱底面, , , , , 分别是, 上的屮点, 是线段上的一点(不包括端点).
(Ⅰ)在平而内,试作出过点与平而平行的直线,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由等腰三角形性质得,再由线面垂直性质得,由线面垂直判定定理得平面,最后根据得结论,(2)过作线段于,先根据面面垂直性质定理得平面,再利用等体积法得,最后根据锥体体积公式得体积.
试题解析:(Ⅰ)在平面内作直线,则直线与平面平行,即图中的直线. , 分别是上的中点,则,即
又侧棱底面,则, 故直线平面
(Ⅱ)
5.如图,四棱锥中, 为等边三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为,连接, .利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明:(Ⅰ)取的中点为,连接, ,
∵为等边三角形,∴.
底面中,可得四边形为矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
∴.
由(Ⅰ)知, ,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中, ,
取的中点,连结,则, ,
∴ .
所以棱锥的侧面积为.
6.如图所示,已知四边形是直角梯形,,,其中是上的一点,四边形是菱形,满足,沿将折起,使
(1)求证:平面平面
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)取的中点,取的中点,连接和,和,由题意结合等腰三角形的性质可得,,结合线面垂直的判断定理有面,,而,所以平面,结合面面垂直的判断定理可得平面平面.
(2)由题意结合(1)可知为三棱锥的底面的高,转化顶点计算可得三棱锥的体积.
试题解析:
分别为和的中点,可得:,而,,
所以面,可得,,
面,,平面,且与不平行,所以平面,
而平面,所以平面平面.
(2)三棱锥的体积,即为三棱锥的体积,由(1)知,平面,从而为三棱锥的底面的高,
为直角三角形,,可得,而,从而,由题意知:,从而,
是等腰三角形,且,为的中点,且,
,
,故.