2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题4.2+体积与表面积（文科）

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（文科）专题02 体积与表面积
1．如图， 是边长为3的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点、分别为、上的点，且，点为上的一点，且.
（Ⅰ）当时，求证： 平面；
（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可连接，则易证∥，且∥，从而平面∥平面，又平面，从而问题可得证；
（Ⅱ）由题意，可将三棱锥R的体积转化为三棱锥的体积进行求解，取点，连接，过点作于，并计算的长，即为三棱锥的高，根据题意可计算其底面积，再由三棱锥计算公式，从而问题可得解.
（Ⅱ）取的中点为，连接，则，
∵平面平面，∴平面.
过点作于点，连接，则.
∵，∴，
∵， ， 平面，∴平面，
∴，又，∴平面，∴，
又为正方形，∴，∴，∴，
∴ .
2．如图，在直三棱柱中， ， 为线段上的一点，且， .
（1）求证： ；
（2）若为的中点，若平面，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易证，从而得证；（2）先由为的中点，且平面，明确为中点，然后利用等体积变换求体积.

,,取中点，连， 分别为中点， , ， 四边形为平行四边形，
, ，

3．如图，在直四棱柱中， ， ， ， .
（1）证明：平面平面；
（2）比较四棱锥与四棱锥的体积的大小.

【答案】（1）见解析（2）
的底面平行四边形与平行四边形的面积相等，又，其高为，从而可求出四棱锥的体积，另四棱锥的底面为矩形，高为，即可求出其体积，从而问题可得解.
试题解析：（1）证明：∵，
∴，
又平面，∴，
∵，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）解：∵且，∴，
又，∴，∴
∵
∴.
4．如图，在三棱柱中，侧棱底面， ， ， ， ， 分别是， 上的屮点， 是线段上的一点(不包括端点).
（Ⅰ）在平而内,试作出过点与平而平行的直线，并证明直线平面；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由等腰三角形性质得，再由线面垂直性质得，由线面垂直判定定理得平面，最后根据得结论，（2）过作线段于，先根据面面垂直性质定理得平面，再利用等体积法得，最后根据锥体体积公式得体积.
试题解析：（Ⅰ）在平面内作直线，则直线与平面平行，即图中的直线. ， 分别是上的中点，则，即
又侧棱底面，则， 故直线平面
（Ⅱ）
5．如图，四棱锥中， 为等边三角形，且平面平面， ， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为，连接， .利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明：（Ⅰ）取的中点为，连接， ，
∵为等边三角形，∴.
底面中，可得四边形为矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
又，所以.
∴.
由（Ⅰ）知， ，∴.
.
由，可知平面，∴，
因此.
在中， ，
取的中点，连结，则， ，
∴ .
所以棱锥的侧面积为.
6．如图所示，已知四边形是直角梯形，，，其中是上的一点，四边形是菱形，满足，沿将折起，使
（1）求证：平面平面
（2）求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
（1）取的中点，取的中点，连接和,和，由题意结合等腰三角形的性质可得，，结合线面垂直的判断定理有面，,而，所以平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.
（2）由题意结合（1）可知为三棱锥的底面的高，转化顶点计算可得三棱锥的体积.
试题解析：
分别为和的中点，可得：,而，，
所以面，可得，,
面，，平面，且与不平行，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）三棱锥的体积，即为三棱锥的体积，由（1）知，平面，从而为三棱锥的底面的高，
为直角三角形，，可得，而，从而，由题意知：，从而，
是等腰三角形，且，为的中点，且，
，
，故.