2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何(文科) 专题03 折叠与探究性问题问题
1.如图1,在△中, , 分别为, 的中点, 为的中点, , .将△沿折起到△的位置,使得平面平面, 为的中点,如图2.
(1)求证: 平面;
(2)求证:平面平面;
(3)线段上是否存在点,使得平面?说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
存在点,使得平面,则,与条件矛盾.
试题解析:
解:(1)取线段的中点,连接, .
因为在△中, , 分别为, 的中点,所以 , .
因为 , 分别为, 的中点,所以 , ,
所以 , ,所以 四边形为平行四边形,所以 .
因为 平面, 平面,所以 平面.
在△中, ,易知 ,
所以 ,所以 平面,
所以 平面平面.
(3)线段上不存在点,使得平面.
否则,假设线段上存在点,使得平面,
连接 , ,则必有 ,且.
在△中,由为的中点, ,得为的中点.
在△中,因为,所以,
这显然与, 矛盾!
所以线段上不存在点,使得平面.
2.如图,四棱锥中, ,且平面, 为棱的中点.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证:平面平面;
(3)当四面体的体积最大时,判断直线与直线是否垂直,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
试题解析:
(1)证明:取线段的中点,连接.
因为为棱的中点,
所以在中, .
又, ,所以.
所以四边形是平行四边形, 所以.
又平面, 平面,所以平面.
(2)因为, 为中点,所以.
又平面, 平面,所以
又,所以平面.
又,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
3.如图,在三棱柱中,侧面底面,,,分別为棱的中点
(1)求三棱柱的体积;
(2)在直线上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)第(1)问,先证明底面ABC,计算出△ABC的面积,再利用柱体的体积公式求三棱柱的体积.(2)第(2)问,先假设在直线上存在点P,使得CP||平面AEF,再找到点P的位置,再求AP的长.
试题解析:
(1)三棱柱中,所以.
因为,所以.
又因为,
又AE侧面,所以底面ABC,
所以三棱柱的体积为
;
(2)在直线上存在点P,使得CP||平面AEF.
证明如下:连接并延长,与的延长线相交,设交点为.连接.
因为,故
由于为棱的中点,所以,故有
又为棱的中点,故为的中位线,所以
又平面AEF,平面AEF, 所以平面AEF.
故在直线上存在点P,使得平面AEF.
此时,所以 .
4.在四棱锥中,
为正三角形,且。
(1)求证: ;
(2)求四棱锥的体积;
(3)是否存在线段(端点除外)上一点,使得,若存在,指出点的位置,若不存在,请明理由。
【答案】(1)见解析;(2)3;(3)见解析.
试题解析:(1)由题意可知, ,四边形为平行四边形,
(2)设是中点, 为正三角形,则, ,
,
,
(3)不存在,若,则,又,
则,与矛盾,故线段(端点除外)上不存在点,使得
5.如图,在三棱锥中, 底面,. 、分别为和的中点. 为侧棱上的动点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)试判断直线与平面是否能够垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .
(Ⅲ)原命题成立,则仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.考查的情况,结合相似三角形的性质可得.
试题解析:
(Ⅰ)证明:∵是三棱柱,
∴三个侧面都是平行四边形, 且,
又∵、分别为和的中点,
∴且,
∴且,
∴是平行四边形,
∴,
∵平面, 平面,
∴平面.
∵, 平面,
∴平面,
则平面平面;
(Ⅲ)直线与平面能够垂直,且,
由(Ⅱ)知平面,
∴,
若要使平面,仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.
此时我们取平面内和相交的直线,
若,则与相似,
∴,
∴.
6.如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面, ,点在棱上.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)若平面,求证: ;
(Ⅲ)是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ) .
(Ⅲ)点在平面上的射影落在上,设为,结合三棱锥的体积公式和菱形的性质可得.
试题解析:
(Ⅰ)∵平面平面,平面平面,
∴平面
∴
∵底面是菱形
∴
∵, 平面
∴平面
∴
(Ⅲ)存在点,使得四面体的体积等于四面体的,且
∵平面平面,点在上
∴点在平面上的射影落在上,设为
∵,结合,
∴, 是的三等分点
∴.