2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题4.3+折叠与探究性问题问题（文科）

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（文科） 专题03 折叠与探究性问题问题
1．如图1，在△中， ， 分别为， 的中点， 为的中点， ， ．将△沿折起到△的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2．
（1）求证： 平面；
（2）求证：平面平面；
（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
存在点，使得平面，则，与条件矛盾.
试题解析：
解：（1）取线段的中点，连接， ．
因为在△中， ， 分别为， 的中点，所以 ， ．
因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ，
所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 ．
因为 平面， 平面，所以 平面．
在△中， ，易知 ，
所以 ，所以 平面，
所以 平面平面．
（3）线段上不存在点，使得平面．
否则，假设线段上存在点，使得平面，
连接 ， ，则必有 ，且．
在△中，由为的中点， ，得为的中点．
在△中，因为，所以，
这显然与， 矛盾！
所以线段上不存在点，使得平面．
2．如图，四棱锥中， ，且平面， 为棱的中点．
(1)求证： ∥平面;
(2)求证：平面平面;
(3)当四面体的体积最大时，判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
试题解析：
（1）证明：取线段的中点，连接.
因为为棱的中点，
所以在中， .
又， ,所以.
所以四边形是平行四边形, 所以.
又平面, 平面,所以平面.
（2）因为, 为中点,所以.
又平面, 平面,所以
又,所以平面.
又，所以平面.
因为平面,所以平面平面.
3．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，分別为棱的中点
（1）求三棱柱的体积；
（2）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先证明底面ABC,计算出△ABC的面积，再利用柱体的体积公式求三棱柱的体积.(2)第(2)问，先假设在直线上存在点P，使得CP||平面AEF，再找到点P的位置，再求AP的长.
试题解析：
（1）三棱柱中，所以.
因为，所以.
又因为，
又AE侧面，所以底面ABC，
所以三棱柱的体积为
；
（2）在直线上存在点P，使得CP||平面AEF.
证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.
因为，故
由于为棱的中点，所以，故有
又为棱的中点，故为的中位线，所以
又平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF.
故在直线上存在点P，使得平面AEF.
此时，所以 .
4．在四棱锥中，
为正三角形，且。
（1）求证： ；
（2）求四棱锥的体积；
（3）是否存在线段（端点除外）上一点，使得，若存在，指出点的位置，若不存在，请明理由。
【答案】（1）见解析;（2）3;（3）见解析.
试题解析：（1）由题意可知， ，四边形为平行四边形，

（2）设是中点， 为正三角形，则， ，
，
，
（3）不存在，若，则，又，
则，与矛盾，故线段（端点除外）上不存在点，使得
5．如图,在三棱锥中, 底面,. 、分别为和的中点. 为侧棱上的动点.
（Ⅰ）求证: 平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .
（Ⅲ）原命题成立，则仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.考查的情况,结合相似三角形的性质可得.
试题解析：
（Ⅰ）证明:∵是三棱柱，
∴三个侧面都是平行四边形, 且，
又∵、分别为和的中点，
∴且，
∴且，
∴是平行四边形，
∴，
∵平面, 平面，
∴平面.
∵, 平面，
∴平面，
则平面平面;
（Ⅲ）直线与平面能够垂直,且，
由（Ⅱ）知平面，
∴，
若要使平面,仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.
此时我们取平面内和相交的直线，
若,则与相似，
∴，
∴.
6．如图,在四棱锥中,底面为菱形,平面平面, ,点在棱上.
（Ⅰ）求证:直线平面;
（Ⅱ）若平面,求证: ;
（Ⅲ）是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .
（Ⅲ）点在平面上的射影落在上,设为，结合三棱锥的体积公式和菱形的性质可得.
试题解析：
（Ⅰ）∵平面平面,平面平面,
∴平面
∴
∵底面是菱形
∴
∵, 平面
∴平面
∴
（Ⅲ）存在点,使得四面体的体积等于四面体的,且
∵平面平面,点在上
∴点在平面上的射影落在上,设为
∵，结合，
∴, 是的三等分点
∴.