2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题4.1+线面角（理科）

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（理科）专题01 线面角
1．如图,等腰梯形中, , 于, 于,且, ,将和分别沿折起,使两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点分别是的中点.
（Ⅰ）求证: 平面;
（Ⅱ）求证: ;
（Ⅲ）求直线与平面所成的角的大小.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
试题解析：证明:（Ⅰ）连结,
因为分别是的中点,
所以,
因为是的中点, , ,
所以,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
又平面, 平面,
所以平面.
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系,
则,
所以,
所以,
所以.
解:（Ⅲ）,
所以,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为,
所以直线与平面所成角为.
2．如图,在直角梯形中, , 是的中点,将沿折起,使得.
（Ⅰ）若是的中点,求证: 平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）求二面角的大小.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析： 连接交于点，连接，推导出，由此能证明平面； 推导出，从而平面，由此能证明平面平面； 以为原点,以所在的直线分别为轴轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小
（Ⅱ）由已知可得
又因为平面
所以平面
因为平面
所以平面平面
解:（Ⅲ）由（Ⅱ）知, 平面所以,又因为
所以平面
所以以为原点,以所在的直线分别为轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则点, , , , .
所以,,.
设平面的法向量为,
所以即
令,解得.
设平面的法向量为,
所以即
令,解得.
所以.
由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为.
3．如图，在矩形中， ， ， 是的中点，以为折痕将向上折起， 变为，且平面平面.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
试题解析：（Ⅰ）证明：∵， ，
∴，∴，
取的中点，连结，则，
∵ 平面平面，
∴平面，∴ ，
从而平面，∴
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
设为平面的法向量，
则可以取
因此， ，有，即平面 平面，
故二面角的大小为.
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2.
(1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；
（2）取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法表示二面角M-AC-D根据已知条件，即可建立a的方程，从而解出a值，故存在．
所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
又PA∩AC＝A，
所以AB⊥平面PAC，
所以AB⊥PC.
(2)存在，理由如下：取BC的中点E，则AE⊥BC，以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)， P(0，0,2)，B(2，－2，0)，＝(0,2，－2)，＝(2，2，0)．
设＝t (0＜t＜1)，
则点M的坐标为(0,2t，2－2t)，
所以＝(0,2t,2－2t)．
设平面MAC的法向量是n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝－1，z＝，
则n＝.
又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，
5．如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
图1 图2
【答案】（Ⅰ）见解析．（Ⅱ）．（Ⅲ）．
【解析】试题分析：第一问根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面，再根据线面垂直的性质，可以得出以 ，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果；第二问根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果；第三问关于是否存在类问题，都是假设其存在，结合向量所成角的余弦值求得结果.
所以 平面，
所以 ．
（Ⅱ）取的中点，连接，所以．
由（Ⅰ）得，．
如图建立空间直角坐标系．
由题意得，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以．
设直线和平面所成的角为，
则．
所以 直线和平面所成角的正弦值为．
所以．
令，
整理得．
解得，舍去．
所以 线段上存在点适合题意，且．
6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
（1）为中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）存在；（2）.
【解析】试题分析：如图建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，（1）求出平面的法向量，设，根据，求出即可；（2）求出平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值即可.
.
（1）设平面的法向量，
∵，
∴，
∴令，可解得平面的一个法向量，
设，由于，则，
又∵平面，
∴，即，
∴在线段上存在一点，使得平面，此时；
∴令，可解得平面的一个法向量，
∴.
由图可知，所求二面角为锐角，即二面角余弦值为.