2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题3.4+二联表与独立性检验

2018届高考数学大题狂练
第三篇 概率与统计 专题04 二联表与独立性检验
1．近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查,各户人均月收入(单位：千元)的频数分布及赞成楼市限购令的户数如下表：
人均月收入
频数
6
10
13
11
8
2
赞成户数
5
9
12
9
4
1
若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”,人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”
非高收入户
高收入户
总计
赞成
不赞成
总计
（Ⅰ）求“非高收入户”在本次抽样调杳中的所占比例；
（Ⅱ）现从月收入在的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；
（Ⅲ）根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
附：临界值表
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： ， .
【答案】（1）（2）（3）不能
【解析】试题分析：（1）根据频数与总数的比值得“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例，（2）人均月收入在中,有5户赞成楼市限购令, l户不赞成楼市限购令，根据枚举法确定从中随机抽取两户所有的基木事件数，再确定所抽取的两户都赞成楼市限购令包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（3）根据卡方公式求，与参考数据比较，确定结论.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例为.
事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个，
∴所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为.
（Ⅲ）由题意，可得如下列联表：
非高收入族
高收入族
总计
赞成
35
5
40
不赞成
5
5
10
总计
40
10
50
∵
，
∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
2．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下.
（1）求频率分布直方图中的值并估计这50户用户的平均用电量；
（2）若将用电量在区间内的用户记为类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：
①从类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；
②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意度与用电量高低有关”？
满意
不满意
合计
类用户
类用户
合计
附表及公式：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
， .
【答案】（1），186（2）没有
【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；
（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，则即为所求；
（2）根据数据完成列联表，利用，计算查表下结论即可.
（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为.
②
满意
不满意
合计
类用户
6
9
15
类用户
6
3
9
合计
12
12
24
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
3．第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：小时）
收看人数
14
30
16
28
20
12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：
男
女
合计
体育达人
40
非体育达人
30
合计
并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0. 025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
试题解析：
（1）由题意得下表：
男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
的观测值为 .
所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且 ， ， ，
所以的分布列为
0
1
2
.
4．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．
②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
，其中n＝a＋b＋c＋d.
【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异，(2)①②见解析
试题解析：
（1）由统计数据填2×2列联表如下，
计算观测值，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（2）①抽到1人是45岁以下的概率为＝，
抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为＝，
故所求概率P＝＝；
②根据题意，X的可能取值是0，1，2；
计算P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
故数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．
5．为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)
(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布列及数学期望．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d.
【答案】(1) 有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关(2)见解析
【解析】试题分析：（I）计算K2，根据临界值表作出结论；
（II）分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．
（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为
X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，），
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴随机变量X的数学期望
6．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组： ，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
25周岁以下组
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附：
【答案】（1）；（2）；（3）没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可得中位数为；（2）根据频率分布直方图计算出25周岁以上名，25周岁以下工人名，利用列举法，根据古典概型的概率计算公式即可得结果；（3）根据题意完成列联表，计算出的值即可得结果.
（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共名，设其分别为；25周岁以下工人共名，设其分别为.记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件.
所有基本事件分别为
，共10个；事件包含的基本事件共7个.
由于事件符合古典概型，则；
（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共名，25周岁以下的“生产能手”共名，则列联表如图所示.
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以，
综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.