2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题2.5+解三角形的实际应用

2018届高考数学大题狂练
第二篇 三角函数与三角形 专题05 解三角形的实际应用
1．已知小明（如图中所示）身高米，路灯高米， ， 均垂直于水平地面，分别与地面交于点， .点光源从发出，小明在地上的影子记作.
（1）小明沿着圆心为，半径为米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；
（2）若米，小明从出发，以米/秒的速度沿线段走到， ，且米. 秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位:米），求的表达式与最小值.
【答案】(1) 平方米；(2) ， ，当（秒）时， 的最小值为（米）.
（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由(1)知，所以
.
化简得， ， ，当时， 的最小值为.
答： ， ，当（秒）时， 的最小值为（米）.
2．如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．
（1）若，问小张能否乘上这班客轮？
（2）现测得， ．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？
【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元.
【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；
（2）根据条件求得，再由正弦定理得， ，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.
所以客轮的航行速度（海里/小时）．
因为，所以，
所以．
在中，由余弦定理得， ，
整理得： ，
解得或（不合舍去）．
所以客轮从处到岛所用的时间小时，
小张到岛所用的时间至少为小时．
由于，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.
（2）在中， ， ,
所以为锐角， ， ．
所以
.
由正弦定理得， ,
所以,
3．在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域，及矩形表演台四个部分构成（如图）.看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以， 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台中， 米；三角形水域的面积为平方米.设.
（1）当时，求的长；
（2）若表演台每平方米的造价为万元，求表演台的最低造价.
【答案】(1)40；(2)120万元.
【解析】试题分析：（1）根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；（2）根据（1）得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价
解析：
（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以.
在△中， ，所以 .
由余弦定理可得
，即
所以 ， . 当时，
由，解得.
当时， ；当时， .
故在上单调递减，在上单调递增，
从而当 时， 取得最小值，最小值为. 所以 (万元).
4．海中一小岛的周围 内有暗礁，海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东，航行8后，于处测得小岛在北偏东（如图所示）.
（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.
（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在处改变航向为东偏南（）方向航行，求的最小值.
附：
【答案】（1）海轮有触礁的危险；（2）15°
求的三内角的，可得。在中，求得 .因为，∴海轮由触礁的危险. （2）延长至，使。在中求，即为所求。由（1）知.所以.在中求得.在中求. ∵，∴.所以， ∴. 所以海轮应按东偏南15°的方向航行.
试题解析：解：（1）如图1，过点作直线的垂线，交直线于点.
由已知得， ， ，
∴.
∴在中， .
又，∴海轮由触礁的危险.
（2）如图2，延长至，使，故.
由（1）得.
∴.
∵，∴.
即，∴ .
故海轮应按东偏南15°的方向航行.
5．如图，点在城的南偏西的方向上，现有一辆汽车在点处沿公路向城直线行驶，公路的走向是城的南偏东.开始时，汽车到的距离为9，汽车前进6到达点时，到的距离缩短了4.
（1）求的面积；
（2）汽车还要行驶多远才能到达城.
【答案】(1)；(2).
(2)由条件得结合（1）的结论有，，结合两角和差正余弦公式可得，应用余弦定理，则 ，即汽车还要行驶多远才能到达城.
试题解析：(1)在中，由于，由余弦定理得
,
则，
从而.
，
在中，有正弦定理得，则
.
故汽车还要行驶多远才能到达城.
6．如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.
（1）当时，求点距地面的高度；
（2）试确定的值，使得取得最大值.
【答案】（1）；（2）.
（2）由题意，得，从而.
又，所以.
从而
令，
则.由，得，解得.
当时， 为增函数；当时， 为减函数，
所以，当时， 有极大值，也为最大值.因为，
所以.
从而当取得最大值时， 取得最大值.
即时， 取得最大值.