2018届高考数学大题狂练
第二篇 三角函数与三角形 专题05 解三角形的实际应用
1.已知小明(如图中所示)身高米,路灯高米, , 均垂直于水平地面,分别与地面交于点, .点光源从发出,小明在地上的影子记作.
(1)小明沿着圆心为,半径为米的圆周在地面上走一圈,求扫过的图形面积;
(2)若米,小明从出发,以米/秒的速度沿线段走到, ,且米. 秒时,小明在地面上的影子长度记为(单位:米),求的表达式与最小值.
【答案】(1) 平方米;(2) , ,当(秒)时, 的最小值为(米).
(2)经过秒,小明走到了处,身影为,由(1)知,所以
.
化简得, , ,当时, 的最小值为.
答: , ,当(秒)时, 的最小值为(米).
2.如图,岛、相距海里.上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处,沿直线方向匀速开往岛,在岛停留分钟后前往市.上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处,此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市.
(1)若,问小张能否乘上这班客轮?
(2)现测得, .已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元,若小张由岛直接乘小艇去市,则至少需要多少费用?
【答案】(Ⅰ)若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮;(Ⅱ)若小张由岛直接乘小艇去市,其费用至少需元.
【解析】试题分析:(1)在中,由余弦定理得,进而得客轮的航行速度,在中,由余弦定理得,分别求出客轮和小张到岛所用的时间,比较即可;
(2)根据条件求得,再由正弦定理得, ,求得,进而求得总费用为,利用基本不等式求最值即可.
所以客轮的航行速度(海里/小时).
因为,所以,
所以.
在中,由余弦定理得, ,
整理得: ,
解得或(不合舍去).
所以客轮从处到岛所用的时间小时,
小张到岛所用的时间至少为小时.
由于,
所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.
(2)在中, , ,
所以为锐角, , .
所以
.
由正弦定理得, ,
所以,
3.在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域,及矩形表演台四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以, 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍;矩形表演台中, 米;三角形水域的面积为平方米.设.
(1)当时,求的长;
(2)若表演台每平方米的造价为万元,求表演台的最低造价.
【答案】(1)40;(2)120万元.
【解析】试题分析:(1)根据看台的面积比得出AB,AC的关系,代入三角形的面积公式求出AB,AC,再利用余弦定理计算BC;(2)根据(1)得出造价关于θ的函数,利用导数判断函数的单调性求出最小造价
解析:
(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以.
在△中, ,所以 .
由余弦定理可得
,即
所以 , . 当时,
由,解得.
当时, ;当时, .
故在上单调递减,在上单调递增,
从而当 时, 取得最小值,最小值为. 所以 (万元).
4.海中一小岛的周围 内有暗礁,海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东,航行8后,于处测得小岛在北偏东(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南()方向航行,求的最小值.
附:
【答案】(1)海轮有触礁的危险;(2)15°
求的三内角的,可得。在中,求得 .因为,∴海轮由触礁的危险. (2)延长至,使。在中求,即为所求。由(1)知.所以.在中求得.在中求. ∵,∴.所以, ∴. 所以海轮应按东偏南15°的方向航行.
试题解析:解:(1)如图1,过点作直线的垂线,交直线于点.
由已知得, , ,
∴.
∴在中, .
又,∴海轮由触礁的危险.
(2)如图2,延长至,使,故.
由(1)得.
∴.
∵,∴.
即,∴ .
故海轮应按东偏南15°的方向航行.
5.如图,点在城的南偏西的方向上,现有一辆汽车在点处沿公路向城直线行驶,公路的走向是城的南偏东.开始时,汽车到的距离为9,汽车前进6到达点时,到的距离缩短了4.
(1)求的面积;
(2)汽车还要行驶多远才能到达城.
【答案】(1);(2).
(2)由条件得结合(1)的结论有,,结合两角和差正余弦公式可得,应用余弦定理,则 ,即汽车还要行驶多远才能到达城.
试题解析:(1)在中,由于,由余弦定理得
,
则,
从而.
,
在中,有正弦定理得,则
.
故汽车还要行驶多远才能到达城.
6.如图,摩天轮的半径为,它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带,它与摩天轮在同一竖直平面内,且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处,记.
(1)当时,求点距地面的高度;
(2)试确定的值,使得取得最大值.
【答案】(1);(2).
(2)由题意,得,从而.
又,所以.
从而
令,
则.由,得,解得.
当时, 为增函数;当时, 为减函数,
所以,当时, 有极大值,也为最大值.因为,
所以.
从而当取得最大值时, 取得最大值.
即时, 取得最大值.