2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题3.1+离散型随机变量的分布列及期望（二项分布类）

2018届高考数学大题狂练
第三篇 概率与统计 专题01离散型随机变量的分布列及期望（二项分布类）
1．为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)
(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布列及数学期望．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d.
【答案】(1) 有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关(2)见解析
【解析】试题分析：（I）计算K2，根据临界值表作出结论；
（II）分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．
（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为
X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，），
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴随机变量X的数学期望
2．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间频（单位:分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为
.
(1)求直方图中的值；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200名请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）.
【答案】（1）；（2） ；（3）分布列见解析， .
（2）新生上学所需时间不少于１小时的频率为：
.
（名），
名新生中有180名学生可以申请住宿.
(3) 的可能取值为0，1，2，3，4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,
；
；
.
的分布列为：
0
1
2
3
4
.
的数学期望为.
3．重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：
将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．
（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；
（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)16.96，(2)
【解析】试题分析：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表，利用平均数的计算公式，求得平均数，即可估计平均每天的用车费用；
（2）由题意，确定可能的取值，根据二项分布求解取每个值的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解数学期望．
（2）可能的取值为0,1,2，
用时不超过45分钟的概率为0.8， ，
， ， ，
．
4．年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破亿．微信用户平均年龄只有岁， 的用户在岁以下， 的用户在岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量
频数
频率
至个
至个
至个
至个
个以上
合计
（）求， ， 的值．
（）若从位同学中随机抽取人，求这人中恰有人微信群个数超过个的概率．
（）以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取人，记表示抽到的是微信群个数超过个的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（）， ， ．（）．（）见解析.
(3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为． 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X的分布列和数学期望EX.
试题解析：（）由已知得，解得，
， ．
（）记“人中恰有人微信群个数超过个”为事件，
则．
所以， 人中恰有人微信群个数超过个的概率为．
（）依题意可知，微信群个数超过个的概率为．
的所有可能取值， ， ， ．
则，
，
，
．
所以的分布列为：
数学期望．
5．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区的名观众，得到如下的列联表：
已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.
(1)现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少.
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
(3)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.
附：参考公式：
【答案】(1)3,4(2) 没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系（3）见解析
试题解析:
(1)由题意，得，所以，所以，因为，所以， ，
A地抽取，B地抽取，
(2)

所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.
(3) 从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为
随机抽取人， 的可能取值为
，
,
6．某校为了解甲、乙两班学生的学业水平,从两班中各随机抽取人参加学业水平等级考试,得到学生的学业成绩茎叶图如图:
（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值与及方差与的大小;（只需写出结论）
（Ⅱ）根据学生的学业成绩,将学业水平分为三个等级:
根据所给数据,频率可以视为相应的概率.
（i）从甲、乙两班中各随机抽取人,记事件:“抽到的甲班学生的学业水平高于乙班学生的学业水平等级”,求发生的概率;
（ii）从甲班中随机抽取人,记为学业水平优秀的人数,求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）;;（Ⅱ）（i）;（ii）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由茎叶图能得到， ；（Ⅱ）（i）记A1、A2、A3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记B1、B2、B3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀，由P（C）=P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2），能求出C发生的概率；（ii）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为，则X=0，1，2，X～B（2， ），由此能求出X的分布列和数学期望．
解析：
（Ⅰ）;
（ii）从甲班随机抽取人,其学业水平优秀的概率为,
所以,随机变量的所有可能取值为,且.
, ,
随机变量的分布列是:
数学期望.