2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题3.2+离散型随机变量的分布列及期望（超几何分布类）

2018届高考数学大题狂练
第三篇 概率与统计专题02离散型随机变量的分布列及期望（超几何分布类）
1．北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市名高中女生的身高（单位： ）服从正态分布．现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)求这名女生身高不低于的人数；
(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人，将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为，求的数学期望．
参考数据： ， ，
【答案】(1) 人； (2) 见解析.
试题解析：
(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；
(2)∵，
∴
∴. ，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．
随机变量可取，于是， ，
∴
2．随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：
年龄（岁）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75）
频数
5
10
15
10
5
5
手机支付
4
6
10
6
2
0
(1)若从年龄在 [55，65）的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望；
(2)把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完2×2列联表，是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？
手机支付
未使用手机支付
总计
中青年
中老年
总计
可能用到的公式：
独立性检验临界值表：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
； ；
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
（2）2×2列联表如图所示
手机支付
未使用手机支付
总计
中青年
20
10
30
中老年
8
12
20
总计
28
22
50
没有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联.
3．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个获得利润元，未售出的每个亏损元.根据以往天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕个.以（单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.
需求量/个
天数
15
25
30
20
10
（1）当时，若时获得的利润为， 时获得的利润为，试比较和的大小；
（2）当时，根据上表，从利润不少于元的天数中，按需求量分层抽样抽取天，
（ⅰ）求这天中利润为元的天数；
（ⅱ）再从这天中抽取天做进一步分析，设这天中利润为元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）当， ，当，
，分别代入计算和，即可比较大小；
试题解析：
（1）当， 时， ，
时， .所以
当时， （元）.
当， 时， ，
时， .所以
当时， （元）.故.
， ， ， .
∴的分布列为
0
1
2
3
所以.
4．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求；
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)答案见解析；(2)①. ；②.答案见解析.
【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中， 分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有， ， ， ， ， ， ， ，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是： ， ， ， ，共1种；另一类是： ， ， ， ，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.
一类是82，88，93，94，共1种；
另一类是76，88，93，94，共3种.所以 .
②由题意可得， 的可能取值为0，1，2，3，4
,
,
,
,
.
的分别列为
0
1
2
3
4
.
5．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：
平均每天使用手机超过3小时
平均每天使用手机不超过3小时
合计
男生
25
5
30
女生
9
11
20
合计
34
16
50
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？
(2)在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.
参考公式：
P(K2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）见解析；（2）
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
(2)X可取0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
6．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图，问：
(1)在40名读书者中年龄分布在的人数；
(2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数；
(3)若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列和数学期望.
【答案】(1)30；(2)平均数为54，中位数为55；(3)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为0.75，由此能求出40名读书者中年龄分布在的人数．（2）利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数．（3）年龄在的读书者有2人，年龄在的读书者有4人，设年龄在的读书者人数为X，由此能求出恰有1名读书者年龄在[30，40）的概率．
，
设中位数为，则，解得.
即40名读书者年龄的中位数为55.
(3)年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值有0，1，2.
， ， ， 的分布列如下：
0
1
2
数学期望.