2018年高考数学百强校大题狂练系列(通用版)专题3.2+离散型随机变量的分布列及期望(超几何分布类)

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名称 2018年高考数学百强校大题狂练系列(通用版)专题3.2+离散型随机变量的分布列及期望(超几何分布类)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2018-04-25 15:26:18

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2018届高考数学大题狂练
第三篇 概率与统计专题02离散型随机变量的分布列及期望(超几何分布类)
1.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示:全市名高中女生的身高(单位: )服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部在和之间,现将测量结果按如下方式分成组:第组,第组,…,第组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这名女生身高不低于的人数;
(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人,将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为,求的数学期望.
参考数据: , ,
【答案】(1) 人; (2) 见解析.
试题解析:
(1)由直方图知,后组频率为,人数为,即这名女生身高不低于的人数为人;
(2)∵,

∴. ,则全市高中女生的身高在以上的有人,这人中以上的有人.
随机变量可取,于是, ,

2.随着支付宝、微信等支付方式的上线,越来越多的商业场景可以实现手机支付.为了解各年龄层的人使用手机支付的情况,随机调查50次商业行为,并把调查结果制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
手机支付
4
6
10
6
2
0
(1)若从年龄在 [55,65)的被调查者中随机选取2人进行调查,记选中的2人中使用手机支付的人数为,求的分布列及数学期望;
(2)把年龄在[15,45)称为中青年,年龄在[45,75)称为中老年,请根据上表完2×2列联表,是否有以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联?
手机支付
未使用手机支付
总计
中青年
中老年
总计
可能用到的公式:
独立性检验临界值表:
【答案】(1)见解析;(2)见解析
; ;
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)2×2列联表如图所示
手机支付
未使用手机支付
总计
中青年
20
10
30
中老年
8
12
20
总计
28
22
50
没有以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联.
3.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕,当天每售出个获得利润元,未售出的每个亏损元.根据以往天的资料统计,得到如下需求量表.元日这天,此蛋糕店制作了这款蛋糕个.以(单位:个, )表示这天的市场需求量. (单位:元)表示这天出售这款蛋糕获得的利润.
需求量/个
天数
15
25
30
20
10
(1)当时,若时获得的利润为, 时获得的利润为,试比较和的大小;
(2)当时,根据上表,从利润不少于元的天数中,按需求量分层抽样抽取天,
(ⅰ)求这天中利润为元的天数;
(ⅱ)再从这天中抽取天做进一步分析,设这天中利润为元的天数为,求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)当, ,当,
,分别代入计算和,即可比较大小;
试题解析:
(1)当, 时, ,
时, .所以
当时, (元).
当, 时, ,
时, .所以
当时, (元).故.
, , , .
∴的分布列为
0
1
2
3
所以.
4.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求;
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)答案见解析;(2)①. ;②.答案见解析.
【解析】试题分析:(1)众数为,中位数为,抽取的人中, 分以下的有人,不低于分的有人,从而求出从该校学生中任选人,这个人测试成绩在分以上的概率,由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数;(2)①由题意知分以上的有, , , , , , , ,当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时,有两类:一类是: , , , ,共1种;另一类是: , , , ,共3种.由此能求出;②由题意得的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和.
(2)①由题意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时,有两类.
一类是82,88,93,94,共1种;
另一类是76,88,93,94,共3种.所以 .
②由题意可得, 的可能取值为0,1,2,3,4
,
,
,
,
.
的分别列为
0
1
2
3
4
.
5.随着科学技术的飞速发展,手机的功能逐渐强大,很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关,某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查,调查结果如下表所示:
平均每天使用手机超过3小时
平均每天使用手机不超过3小时
合计
男生
25
5
30
女生
9
11
20
合计
34
16
50
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关?
(2)在这20名女生中,调查小组发现共有15人使用国产手机,在这15人中,平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人,求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.
参考公式:
P(K2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)见解析;(2)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关.
(2)X可取0,1,2,3.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=1.
6.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需要看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段: , , , , , 后得到如图所示的频率分布直方图,问:
(1)在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在的人数的分布列和数学期望.
【答案】(1)30;(2)平均数为54,中位数为55;(3)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为0.75,由此能求出40名读书者中年龄分布在的人数. (2)利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数. (3)年龄在的读书者有2人,年龄在的读书者有4人,设年龄在的读书者人数为X,由此能求出恰有1名读书者年龄在[30,40)的概率.

设中位数为,则,解得.
即40名读书者年龄的中位数为55.
(3)年龄在的读书者有人,年龄在的读书者有人,所以的所有可能取值有0,1,2.
, , , 的分布列如下:
0
1
2
数学期望.
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