2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题2.1+利用正余弦定理解三角形中的几何量（长度角度面积周长等）

2018届高考数学大题狂练
第二篇 三角函数与三角形 专题01利用正余弦定理解三角形中的几何量（长度，角度，面积，周长等）
1．在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，且．
(1)求角的大小；
(2)若， ，求的面积．
【答案】(1) ；(2) .
，
，
.
(2)由， ， 及余弦定理，得，
得，
.
2．如图, 是等边三角形,点在边的延长线上,且
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求的长.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅱ）设,则
因为中,
由余弦定理可得:
即解得:
3．如图， 分别为中角的对边， ， .
（1）求的值；
（2）求的外接圆的半径.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）根据条件求得，在中，由正弦定理得即可得解；
（2）在中，由余弦定理解得，在中， 即可得解.
试题解析：
（1）∵,∴,
∴,
在中，由正弦定理得，∴.
（2）在中， .
在中， .
4．中,内角所对的边分别为,已知的面积为
（1）求的值;
（2）求的值.
【答案】（1）8；（2）
因为可得
（2）因为在三角形中,所以
由正弦定理得: 解得所以的值为
5．如图，在中， 为边上一点，且，已知， .
（1）若是锐角三角形， ，求角的大小；
（2）若的面积为，求的长.
【答案】（1）.（2）.
【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.
【试题解析】
因为是锐角三角形，所以.
又，所以.
（2）由题意可得，解得，
由余弦定理得 ，解得，
则.
所以的长为.
6．在中，内角， ， 所对的边分别为， ， ，且.
（1）证明： ；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】(1)见解析(2)
形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.
试题解析：（1）根据正弦定理，
由已知得： ，
展开得： ，
整理得： ，所以， .
（2）由已知得： ，∴ ，
由，得： ， ，∴，
由，得： ，所以， ，
由 ，得： .