2018精品之高中数学文）黄金100题第82题+求曲线方程或轨迹方程

第82题 求曲线方程或轨迹方程
I．题源探究·黄金母题
【例1】如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
【答案】动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．
【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则
，．
点在圆上，∴．
即，亦即，动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．
【例2】已知点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．求点的轨迹方程．
【答案】
【解析】设，由已知得，，化简即得点的轨迹方程为．
精彩解读
【试题来源】例1：人教A版选修1-1P34例2．例2：人教A版选修1-1P35例3．
【母题评析】本题轨迹方程的求法，考查考生的分析问题、解决问题以及转化与化归能力．
【思路方法】可以采用直接法、定义法、相关点法、交轨法、参数法等解题．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考天津文5】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，故选B．
【例2】【2017高考天津文12】设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】设圆心坐标为，则，焦点，
，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为．
【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的坐标表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的坐标表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了．
【例3】【2017高考天津文20】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为．
（i）求直线的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（ⅰ） ；（ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据图象分析出，再结合，求得离心率；（Ⅱ）（ⅰ）首先设直线的方程是，再写出直线的方程，方程联立得到点的坐标，根据得到的值，求得直线的斜率；（ⅱ）直线的方程和椭圆方程联立，求得点的坐标，再求，确定直线和都垂直于直线，根据平面几何关系求面积，求，解椭圆方程．
试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．又∵，解得．
∴，椭圆的离心率为．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为．
由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．
由已知|FQ|=，有，整理得，∴，即直线FP的斜率为．
（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为．
由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或．因此可得点，进而可得，∴．由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线．
∵，∴，∴的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得．∴，椭圆的方程为．
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大．
【例4】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．
【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）设椭圆的半焦距为．∵椭圆的离心率为，∴①．∵两准线之间的距离为8，∴②．联立①②得，∴，故椭圆E的标准方程为．
（II）解法一：由（I）知．
从而直线的方程： ①
直线的方程： ②
由①②，解得，∴．
∵点在椭圆上，由对称性，得，即或．
因此点P的坐标为．
解法二：设，则，由题意得，整理得，∵点在椭圆上，∴，
∴，∴，故点的坐标是．
解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为．联立解得又在椭圆上，，整理得
．又，点的坐标是．
解法四（秒杀技）：由已知得，故这四个点共圆．若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称．设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意：）
【命题意图】这类主要考查轨迹（方程）的求法、椭圆、抛物线、双曲线简单的几何性质等．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题第（I）小题，难度中等偏易．
【难点中心】
1．利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出．另外求双曲线方程要注意巧设双曲线：
（1）双曲线过两点可设为；
（2）与共渐近线的双曲线可设为；
（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程．
2．求轨迹方程的常用方法有：
（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系求轨迹方程．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入（相关点）法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
（5）参数法：根据动点坐标的参数表示形式消去参数得到方程．
III．理论基础·解题原理
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系．在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤
（1）建系——建立适当的坐标系；
（2）设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
（3）列式——列出动点P所满足的关系式；
（4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
（5）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题第（I）小题，难度中等偏易．
【技能方法】
根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律：
（1）单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法；
（2）双动点的轨迹问题——相关点法；
（3）多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法．
【易错指导】
1．要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程．
2求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明．
3．利用参数法求动点轨迹时要注意：（1）参数的选择要合理；（2）消参的方法灵活多样；（3）对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约．
4．确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”．在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归．
V．举一反三·触类旁通
考向1 直接法求轨迹方程
直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法．
【例1】【2018北京石景山区高三一模】如图，已知线段上有一动点（异于），线段，且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B
【名师点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
【例2】一条线段AB的长等于2a，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
【分析】此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=这一等量关系，是此题成功的关键所在．
【名师点睛】一般直译法有下列几种情况：
（1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹．
（2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程．
（3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程．
（4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法．
【例3】【2018甘肃兰炼一中下学期高三二模】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（I）；（II）见解析．
【解析】试题分析：（I）设动点，利用斜率公式，由，化简即可得到曲线的方程；（II）由已知直线过点，设的方程为，联立方程组，得，得到的表达式，即可确定定值，得到定点的坐标．
试题解析：（I）设动点，则， ，
，即．
化简得：，由已知，故曲线的方程为 ．
（II）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，则，
直线与斜率分别为，，
．
当时，；当时，．
∴存在定点，使得直线与斜率之积为定值．
【名师点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，试题往往运算、化简比较繁琐，注意运算的准确性，试题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
【跟踪练习】
1．【2018江西高三毕业班教学质量监测】已知向量，满足，， ，若为的中点，并且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2．【2018衡水金卷（二）】如图，矩形中， 且，交于点．
（I）若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程；
（II）过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】（I）曲线的轨迹方程为；（II）为定值．
【解析】试题分析：（I）可得M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，设Q（x，y），整理得：，即可得曲线P的轨迹方程为；
（II）设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得．利用韦达定理易得四边形GFHE的面积为，，∴，
试题解析：（I）设，由，求得，
∵，∴，∴，
整理得．
可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为．
（II）设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得．
，．
∴．
∵，∴把换成，即得．
∴，
，
∴．
当直线斜率不存在或为零时，，∴为定值．
【名师点睛】求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．【2018上海杨浦区高三一模】设直线与抛物线相交于不同两点、，为坐标原点．
（I）求抛物线的焦点到准线的距离；
（II）若直线又与圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程；
（3）若，点在线段上，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（I）2；（II），；（3）．
试题解析：（I）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点到准线的距离为2．
（II）设直线．
当时，和符合题意；
当时，、的坐标满足方程组，
∴的两根为、，，
∴，∴线段的中点
∵，，∴，得，
∴，得，
∵，∴（舍去）．
综上所述，直线的方程为：，．
（3）设直线，、的坐标满足方程组，
∴的两根为、，，，．
∴，得或，
时，直线AB过原点，∴；时，直线AB过定点．
设，∵，∴（）．
综上，点的轨迹方程为
【名师点睛】本题主要考查直线与圆相切，求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题．注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程．
考向2 定义法求轨迹方程
定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程．
【例4】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹
思路分析：本题先用余弦定理化角的关系为边的关系，得到边的关系正好满足椭圆的定义，从而得到轨迹方程．
【名师点睛】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键．
（1）圆：到定点的距离等于定长；
（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；
（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；
（4）到定点与定直线距离相等．
【例5】【2018河南濮阳高三一模】已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点．
（I）证明：直线过定点；
（II）过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程．
【答案】（I）证明见解析；（II） ．
【解析】试题分析：（I）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（II）根据（I）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可．
试题解析：（I）点在抛物线上，代入得，∴抛物线的方程为，
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，
联立得，得，，
由于，∴，即，
即．(*)
又∵，，
代入(*)式得，即，
∴或，即或．
当时，直线方程为，恒过定点，
经验证，此时，符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，
∴直线恒过定点．
（II）由（I），设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为．
【例6】【2018湖北武汉蔡甸区汉阳一中高三四模】已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）设，过点作斜率不为 的直线与曲线交于两点，设直线的斜率分别是，求的值．
【答案】（I）；（II）．
试题解析：（I）法1：设，则依题意有，整理得，即为曲线的方程．
法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为．
（Ⅱ）设直线，则，即，∴ 即
【跟踪练习】
1．【2018甘肃兰州高三二模】已知点为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，得，，过点作轴，垂足为，则，如图所示：
在中，，，则，，即，代入双曲线方程得，即．
∵点为双曲线的左右顶点，∴，∴双曲线的方程为，故选B．
2．【2018湖南衡阳高三二模】已知抛物线的准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，且．
（I）求抛物线的方程；
（II）若直线是过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】（I）；（II）．
试题解析：（I）由已知得设与轴交于点，由圆的对称性可知，．于是，∴，∴，∴．故抛物线的方程为．
（II）设直线的方程为，设，
联立得，则．
．
设，同理得，
则四边形的面积
．
令，则
是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值．
【名师点睛】本题的难点在于计算出后，如何求这个复杂函数的值域．这里主要是通过观察发现，这个代数式导致函数比较复杂，∴可以考虑换元，再利用二次函数和复合函数的性质求函数的最小值．换元法是高中数学解题中常用的一种技巧，大家要理解掌握和灵活运用．
3．【2018广西高三下学期二模】设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
点晴：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设是轨迹上的任意一点；②寻找动点所满足的条件；③用坐标表示条件，列出方程；④化简方程为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证．有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程．
4．【2018河南豫南豫北高三第二次联考】已知圆，定点，点为圆上的动点，点在直线上，点在直线上，且满足．
（I）求点的轨迹的方程；
（II）过点作斜率为的直线，与曲线交于两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）；（II）
试题解析：（I）为线段的中点且，
则为的中垂线，故，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，点的轨迹的方程是．
（II）设的方程为，
由得，
，
，
则，解得．
故存在这样的直线，使得，此时其斜率的取值范围是．
考向3 代入法求轨迹方程
代入法又称相关点法，如果动点的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
【例7】【2018河南中原名校（豫南九校）高三上学期期中考试】已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是___________．
【答案】
【例8】M是抛物线上一动点，为原点，以为一边作正方形，求动点的轨迹方程．
思路分析：动点P的位置，依赖于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程．
解析：设P(x，y)，M(xo，yo)，
【名师点睛】一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．
【例9】【2018河南平顶山市、许昌市、汝州高三上学期第三次联考】（I）已知点的坐标为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程；
（II）已知定点的坐标为为动点，若以线段为直径的圆恒与轴相切，求动点的轨迹方程．
【答案】（I）；（II）．
试题解析：（I）设动点，∵直线的斜率之积是，∴，
整理得，∴动点的轨迹方程为．
（II）设动点，线段的中点为，圆与轴相切于，
连接，∴轴，∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，由，化简得，∴动点的轨迹方程为．
【跟踪练习】
1．【2018重庆綦江区高三第一学期期末考】如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，满足 的动点的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程及椭圆的性质，是中档题；求轨迹方程常见的解法由：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法．
2．【2018河南豫南豫北高三第二次联考】已知：如图，两同心圆：和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为．
（I）当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；
（II）过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程．
【答案】（I）；（II）直线的方程为：．
试题解析：（I）设垂足，则．
在上，，，故垂足的轨迹方程为．
（II）设直线的方程为，
则有，
又∵圆与轴相切，∴，即（*）
由消去x整理得，
∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．
又，将上式代入（*）式中得
，解得．满足．
故所求的直线的方程为，即．
【名师点睛】用代数法解直线与圆锥曲线综合问题时，注意以下几点：
（1）设直线方程时，若不知直线的斜率存在与否，则需进行讨论，分斜率不存在和斜率存在两种情况．
（2）解题过程中，由于计算量较大，故解题中注意“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以简化运算，提高解题的效率．另外，对于求出的参数的值，要判断是否满足判别式的要求，这一点容易忽视．
3．【2018福建福州市高三3月质量检测】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为．
（I）求的方程；
（II）设与轴正半轴的交点为，过点的直线的斜率为，与交于另一点为．若以点为圆心，以线段长为半径的圆与有4个公共点，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）
，得，()(*)依题意得，(*)式关于的方程在有两个不同的实数解，利用二次函数有关知识即可求出的取值范围．
试题解析：（I）设点，，则，
因为，所以，所以，解得，
由于点在圆上，所以，所以点的轨迹的方程为．
（II）由（I）知，的方程为，因为直线．
由得，设，，因此，，
，则点的轨迹方程为，
由，得，()(*)
依题意得，(*)式关于的方程在有两个不同的实数解，
设，因为函数的对称轴为，
要使函数的图象在与轴有两个不同的交点，则，
整理得：，即，所以．
解得，
所以的取值范围为．
考向4 参数法求轨迹方程
参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，进而通过消参化为轨迹的普通方程．
【例10】过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
思路分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程．
思路分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：．
解析2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，由直角三角形的性质，，，化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程．
思路分析3：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标．事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系．
【名师点睛】解法1用了参数法，消参时应注意取值范围．解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1，，这些等量关系．用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等．也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响：此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程．注意参数的取值范围．参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变．
【跟踪练习】
1．【2018内蒙古呼和浩特高三第一次质量调研】已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】（I）；（II）．
试题解析：由题意，的焦点坐标为，故设椭圆的方程为且，又点在椭圆上，于是．
（II）设直线的方程为，由得，
由，设，其中就是上述方程的两个根，
所以，，
点到直线的距离为，所以，解得．
设欲求圆的半径为，，所以此圆方程为．
【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
2．【2018山东烟台高三下学期高考诊断性测试】已知动圆C与圆外切，并与直线相切．
（I）求动圆圆心C的轨迹
（II）若从点P(m，-4)作曲线的两条切线，切点分别为A、B，求证：直线AB恒过定点．
【答案】（I）；（II）
【解析】试题分析：（I）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径．先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化．（II）由（I）知曲线为抛物线，应用导数求过，的切线方程，两式结构一样，且都过P(m，-4)点，可知为方程的两个根，再结合直线的方程为．与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得，．所以的方程为．过定点．
试题解析：（I）由题意知，圆的圆心，半径为．设动圆圆心，半径为．
因为圆与直线相切，所以，即．
因为圆与圆外切，所以，即．
联立①②，消去，可得．
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
（II）由已知直线的斜率一定存在．不妨设直线的方程为．
联立，整理得，其中
设，则，． ①
由抛物线的方程可得：，．
过的抛物线的切线方程为，又代入整得：．
切线过，代入整理得：，同理可得．
为方程的两个根，，． ②
由①②可得，，
所以，．的方程为．所以直线恒过定点．
【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
考向5 交轨法求轨迹方程
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用．
【例11】如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．求△APB的重心G的轨迹方程．

思路分析：重心G的变化受动点A，B的影响，动点A，B的变化又受动点P的限制，可采用交轨法求轨迹方程．
∴，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
点评：交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线交点轨迹问题常用交轨法，即直接联立两动曲线方程消参数，而不必先解出动点轨迹参数方程，再消参数，值得我们重视的是在求轨迹时应注意充分利用平面几何知识．
【例12】【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套】已知抛物线的焦点曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【答案】（I）；（II）证明见解析．
试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得，∴曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故，的焦点坐标分别为，∵抛物线的焦点坐标为，由题意知，∴，即抛物线的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然．故，从而直线的方程为，联立直线与抛物线方程得，解得
①当，即时，直线的方程为，
②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点，也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点．
【跟踪练习】
【2018黑龙江哈尔滨三中高三二模】已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（I）；（II）详见解．
试题解析：（Ⅰ）设，则处的切线为，
则，，则，则；
（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则
，得，由于恒成立，设两个根为，
则，同理，
由知：，得：
（1）时，得得：或
（2）时，得得：或
综上，共分三种情况：
（1）两条直角边所在直线方程为：；
（2）两条直角边所在直线方程为：；
（3）两条直角边所在直线方程为：．
【名师点睛】（1）中求轨迹方程是交轨法，只需把直线AD，BC两直线方程两边对应相乘，再代入M点在圆上，可轻松消参，求得P点轨迹方程．
考向6 点差法求轨迹方程
点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差．求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．点差法是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法．点差法常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题．利用点差法可以减少很多的计算，∴在解有关的问题时用这种方法比较好．
【例13】已知椭圆，
（I）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（II）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（III）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程．
思路分析：此题中三问都跟弦中点有关，一般采用点差法．运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．点差法通常解决与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围．
①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤
【名师点睛】利用点差法求轨迹方程时①注意：点差法的不等价性；（考虑Δ>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题．在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围．
【例14】【2018云南昆明高三下学期第二次统测】在直角坐标系中，已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（I）求曲线的方程；
（II）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明： 为定值．
【答案】（I）；（II）详见解析．
试题解析：
解：（I）因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为．
（II）设，则，由题意知．则，直线方程为，令，得，同理，于是，
又和在椭圆上，故，则
．
所以．
【跟踪练习】
1．【2018湖北襄阳高三1月调研】动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析(Ⅲ)4．
∴．（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得，从而求得面积的最小值为．
解析：(Ⅰ)由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．
(Ⅱ)证：设直线的方程为：，由 得：，设，则，．由 得：，∴直线的方程为： 　①，
直线的方程为： ②，
①－②得：，即 ，
将 代入①得：，，故，
，．
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点到的距离，
，
，∴当时，的面积有最小值4．
【名师点睛】形如的抛物线，考虑其切线时可以利用导数去讨论．
2．【2018湖南郴州高三第二次教学质量检测】动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）求证：；
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线故其方程为．
（Ⅱ）证：设直线的方程为：．由得：．
设，，则，．由得：，∴．
∴直线的方程为： ①
直线的方程为： ②
①-②得：，即，
将代入①得：，∴故，
∴，，∴．