2018届浙江高三数学三轮复习专题突破训练03

训练三
考试时间：120分钟
一、单选题
1．【2018届重庆市高三4月二诊】设全集，集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由集合，所以或，
所以 ，故选B．
【回扣点睛】1.集合的概念；2.集合的基本运算；3.对数函数的性质.
2．【2018届河北省唐山市高三二模】设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【回扣点睛】1.充要条件；2.函数的奇偶性.
3．【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的体积.
4．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知点， ，点的坐标， 满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
画出出可行域如图所示， ，表示点到可行域的距离的平方减去8的最小值， 到可行域的最小距离即为到直线
，则的最小值为
故选A.
【回扣点睛】1.简单线性规划；2.平面向量的数量积.
5．设随机变量，且， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【回扣点睛】二项分布、期望与方差.
6．函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
则由导函数的图象可知：
函数先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，且第二极大值点在 轴上且在的右侧，故选D．
【回扣点睛】1.导数的应用；2.函数的图象.
7．如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
围是，故选D.
【回扣点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
8.【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
A. B. C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】∵，
∴
∴
∵
∴
∴是等边三角形，即.
∴
故选B.
【回扣点睛】本题主要考查向量的几何运算及单位圆的性质、向量的夹角以及平面向量数量积，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．
9．【2018届甘肃省兰州市高三第二次实战】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点， 为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线的方程为
∴焦点，准线的方程为.
∵直线的斜率
∴直线的方程为，当时， ，即.
∵为垂足
∴点的纵坐标为，代入到抛物线方程得， 点的坐标为.
∴
故选C.
【回扣点睛】1.抛物线的标准方程与几何性质2.直线与抛物线的位置关系．
10.若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
∴方程等价为在时有解，
设，
对称轴，
①若，则，
即，
∴，此时．
②若，要使在时有解，
则，
即，
解得，
综上：．
选B.
【回扣点睛】1.新定义；2.指数函数的性质；3.研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论；研究二次方程在定义区间有解，一般从开口方向，对称轴位置，判别式正负，以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.4.对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
二、填空题
11．【2018届宁夏银川市高三4月检测】已知是首项为的等比数列，数列满足，且 ，则数列的前项和为__________．
【答案】
【回扣点睛】1.等差数列；2.等比数列.
12．已知复数，，则复数 ， ．
【答案】，
【解析】，
【回扣点睛】1.复数的运算；2.复数的概念.
13．若将函数表示为，其中， ，则______； ______.
【答案】 0 1024（或）
【解析】令，则有，取，得.展开式的通项为，，，
则，取，
得.
【回扣点睛】“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
14．【2018届北京市西城区156中学高三上期中】在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则的面积是__________；__________．
【答案】 4
∴的面积．
答案：(1). (2). 4
【回扣点睛】正弦定理、余弦定理的应用.
15．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是 ；当面积最大时， ．
【答案】，
【解析】
试题分析：如图，作,交延长线于，则,
易证得，所以
因为，所以当面积最大时，，即
则
在中，
所以.
【回扣点睛】1函数的应用；2.平面向量的数量积.
16．某班组织文艺晚会，准备从等8个节目中选出4个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为_________．
【答案】
【解析】
【回扣点睛】计数原理、排列组合.
17．函数f(x)＝ax－cosx，x∈[， ]，若?x1，x2∈[， ]，x1≠x2， ，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－ ]
【解析】由知，函数f(x)在[， ]上是减函数．
又f′(x)＝a＋sin x，所以f′(x)≤0在[， ]上恒成立，即a≤－sin x在[， ]上恒成立．当≤x≤时，－ ≤－sin x≤－，
故－sin x的最小值为－，所以a≤－.
答案为：(－∞，－ ].
【回扣点睛】1.函数的单调性；2.导数的计算与应用.
三、解答题
18．【2018届北京市西城区156中学高三上学期期中】已知函数．
（）求的值．
（）求函数在区间上的最值．
【答案】 (1)0；（2）最大值为，最小值为
【解析】试题分析：
（1）函数解析式可化为，故可得的值．（2）由得，结合（1）中的解析式可求得，从而可得函数 在区间上的最大值和最小值．
（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴函数在区间上的最大值为，最小值为．
【回扣点睛】1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
19．【2018届河南省高三4月考试】如图，在边长为的菱形中，.点，分别在边，上，点与点，不重合，，.沿将翻折到的位置，使平面平面.
（1）求证：平面；
（2）当与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，利用平面平面证明平面.
(2)第（2）问，建立空间直角坐标系，先转化与平面所成的角为，再利用二面角的向量公式求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
∴，，.
设，则，由，得，即，.
∴，，，，.
设平面、平面的法向量分别为，，
由，取，得.同理，得，
∴，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【回扣点睛】此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.几何法要注意“一作、二证、三计算”；向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，从而求二面角的相关值.两种方法各有千秋.
20．【2018届宁夏银川高三4月监测】已知函数 .
（1）讨论函数的定义域内的极值点的个数；
（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）
试题解析：（1）的定义域为，.
当时，在 上恒成立，函数f(x)在上单调递减.
∴在(0，＋∞)上没有极值点.
当时，由得.
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值.
综上，当时，在上没有极值点；
当时，在上有一个极值点.
(2) ∵函数在处取得极值，
∴，则，从而
∵恒成立
∴恒成立
令，则，由得，则在上递减，在上递增.
∴，故实数b的最大值是.
【回扣点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
21．【2018届辽宁省大连市高三一模】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.
求椭圆的方程；
已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）（2）6
试题解析：
解：由可得，，又因为，所以.
所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.
所以，所以，故椭圆方程为.
所以令，
有，由
函数，

故函数，在上单调递增，
故，故
当且仅当即时等号成立，
四边形面积的最大值为.
方法二：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
有，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，
有，
函数，

故函数，在上单调递增，
则

，
，
四边形的面积
，
令 则
,
，
，
综上，四边形面积的最大值为.
【回扣点睛】1.椭圆标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.导数的应用．
22．【2018届江苏省苏北六市高三第二次调研】数列的各项均为正数，且的前项和是.
(1)若是递增数列，求的取值范围；
(2)若，且对任意，都有，证明： .
【答案】（1）；（2）证明见解析.
得0又由a3>a2?a2＋－1>a2?0得1由①②，得1下面用数学归纳法证明：
当1(ⅰ)当n＝1时，1(ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，1则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋－1∈[2－1，2)?(1，2).
综上，可知1于是an＋1－an＝－1>0，即{an}是递增数列.
所以a1的取值范围是1得2a1＋－1＝S2≥2a1－，解得a1≤3，
故2下证：①当时，
Sn≥na1－ (n－1)恒成立.
事实上，当时，
由于于是
再证：②当时不合题意.
事实上，当时，设an＝bn＋2，
则由可得
得得，
于是数列{bn}的前n项和，
故Sn＝2n＋Tn<2n＋3＝na1＋(2－a1)n＋3.(*)
令则由(*)式得，
只要n充分大，就有Sn所以综上，有2于是 ，因为 故
故数列{bn}的前n项和，
所以Sn＝2n＋Tn<2n＋1.
【回扣点睛】本题借助数学归纳法证明数列中的不等式问题，先根据条件求解范围，然后利用数学归纳法证得结论成立，在证明第二问时注意对首项范围的分类讨论，然后还利用了适当的放缩求出结果，本题较难.