2018届浙江高三数学三轮复习专题突破训练04

训练四
考试时间：120分钟
一、单选题
1．【（衡水金卷）2018年普通高校招生全国卷 I】已知集合， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,
所以选D.
【回扣点睛】1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
2．【2018届高三第一次全国大联考】若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是
A. 复数的虚部为1 B.
C. D. 复平面内与复数对应的点在第二象限
【答案】C
【回扣点睛】1.复数的概念及运算；2.复数的几何意义.
3．【2018届宁夏银川高三4月检测】是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
【答案】D
【解析】对于A，如果则∥或，因为，则，故正确；对于B，如果，那么与无公共点，则，故正确；对于C，如果，则，故正确；对于D，如果，那么与的关系不确定，故错误.
故选D.
【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的体积.
4．若满足约束条件,则的最小值为(　　)
A. 1 B. C. 5 D. 9
【答案】B
【解析】
【回扣点睛】1.简单线性规划；2.直线与圆的位置关系.
5．【2018届河南省高三4月高考适应性考试】已知等差数列的前项和为，且，若数列 为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在等差数列中，由，得， ，其对称轴方程为，要使数列在内为递增数列，则，即，故选D.
【回扣点睛】1.等差数列；2.二次函数的图象和性质.
6．【2018届内蒙古呼和浩特市高三第一次调研】函数的部分图象如图所示，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【回扣点睛】1.诱导公式；2.三角函数的图象和性质.
7．【2018届四川省德阳市高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为，则 故其一条渐近线不妨为 ，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．
【回扣点睛】1.双曲线的几何性质；2.直线和圆的位置关系.
8.【2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考】设（），当时， 的最大值为，则的最小值为 （ 　）
A. B. １ C. D. ２
【答案】A
【回扣点睛】本题考查绝对值不等式的应用。。本题中由是的最大值，得，通过式子的结构，构造出，解得答案.
9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′-AD-C，此时∠B′AC=60°，那么这个二面角大小是（ ）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
【答案】A
【解析】设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=a，
∴B′D=CD= ，
∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD= ，
∴B′D⊥AD，CD⊥AD，
∴∠B′DC是二面角B′?AD?C的平面角。
连结B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，
∴B′D2+CD2=B′C2，
∴∠B′DC=90°.
∴二面角B′?AD?C的大小是90°.
故选：A.
【回扣点睛】本题考查了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
10.【2018届四川省德阳市高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

则问题转化为 ，即在上
得最小值为-1 ，故实数的取值范围是 .
故选A.
【回扣点睛】1.函数的奇偶性；2.导数的应用.
二、填空题
11．【2018届北京166中高三10月月考】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若___________.
【答案】
【解析】角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，
【回扣点睛】1.任意角的三角函数；2.两角和差的三角函数.
12．【2018届北京西城31中高三上期中】已知向量，满足，，，则__________，与的夹角为__________．
【答案】 1
【回扣点睛】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积、夹角.
13．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________.
【答案】 24 25π
【解析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为．所以该几何体的体积为.
则长方体外接球半径为r，则2r=．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故填（1）24（2）.
【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的面积与体积.
14．已知某随机变量X的分布列如下（）：
则随机变量X的数学期望=_______，方差=____________.
【答案】
【解析】因为利用概率和为1，得到a=,那么E(x)=
【回扣点睛】1.分布列的性质；2.随机变量的期望、方差.
15．对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数）,对于任意的,当时有,则称是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组中的逆序数为___________;若数组中的逆序数为,则数组中的逆序数为___________.
【答案】 3
【回扣点睛】1.新定义；2.组合与组合数公式.
16.【改编自2017课标3，理4】的展开式中33的系数为 .
【答案】40
【解析】
【回扣点睛】二项式定理、二项式系数.
17．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.
【答案】1
【解析】设 ，如图，根据抛物线的定义，可知，再梯形中，有，中，，
又因为，所以 ，
所以，故最大值是1，故填：1
【回扣点睛】本题考查了抛物线的综合，抛物线的性质中最重要的一条是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，利用这条性质可以做出相应的图形，将边长进行转化，本题的另一个难点是利用余弦定理求，以及利用基本不等式转化为已知焦半径，突破是这两点，本题就迎刃而解了.
三、解答题
18．【2018届山东省天成大联考高三第二次】在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）∵，
∴，
∴，
又
∴.
又∵，
∴.
又，∴.
（2）据（1）求解知，∴.①
又，∴.②
又∵
∴据①②解，得.
【回扣点睛】1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理、余弦定理.
19．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：①平面；②平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，先证明，即可证明平面；证明和，即可证明平面. (Ⅱ)第二问，先证明即为直线与平面所成角． 再解，即可得到直线与平面所成角．
所以面，．
设，则．
所以，所以．又，
所以平面．
（Ⅱ）由（1）知在平面上的投影为，故在平面上的投影落在AF上．所以即为直线与平面所成角．
由题知：不妨设，所以，
在中，，
所以，即直线与平面所成角为．
【回扣点睛】这是一道“证算并重”题.几何法要注意“一作、二证、三计算”；向量法在解决立体几何中角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求方向向量、法向量；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个向量的夹角，从而得解.两种方法各有千秋.
20.【2017北京，理19】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【回扣点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.
21．【2018届山东省天成大联考高三第二次】已知点，分别是椭圆 的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点 (都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由，利用平面向量数量积公式可得.
所以，由两边平方结合可得，求出 的值，从而可得结果；（2）直线的方程为，联立消去整理，得，根据韦达定理结合中点坐标公式，可得线段的中点坐标，利用斜率公式化简可得.
（2）设直线的方程为（，为常数）.
①当时，直线的方程为，此时线段的中点为在轴上，所以线段的垂线的斜率为0，即；
②当时，联立消去整理，得.
设点，，线段的中点，则，
由韦达定理，得，，所以.
所以.
所以.
所以直线的斜率为.
所以线段的垂线的斜率为.故与之间的关系是
综上，与之间的关系是.
【回扣点睛】1.椭圆标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.平面向量的模．
22．已知数列， 满足， ，且， .
（1）求及；
（2）猜想， 的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的， .
【答案】（1）， ， ， ， ， ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）依次把n=1，2，3代入递推式即可求出{an}，{bn}的前4项；（2）利用数学归纳法证明猜想；（3）利用放缩法证明不等式左边，利用函数单调性证明不等式右边．
（2）证明：猜测， ，
用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.
②假设当时，结论成立，即， ，
那么当时， ，
，所以当时，结论也成立.
由①②，可知， 对一切正整数都成立.
（3）由（2）知， ，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为，所以，从而，
即，所以
（ⅱ）再证明
设函数， ，则， .
因为在区间上为增函数，
所以当时， ，
从而在区间上为单调递减函数，
因此对于一切都成立，因为当时， ，
所以
综上所述，对所有的，均有成立.
【回扣点睛】1.本题借助数学归纳法证明数列中的不等式问题，先根据条件作出猜想，然后利用数学归纳法证得结论成立；2.导数的应用.