2018届浙江高三数学三轮复习专题突破训练05

训练五
考试时间：120分钟
一、单选题
1．【2018届内蒙古呼和浩特市高三第一次调研】已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合 则集合 其元素个数为6，故选A．
【回扣点睛】1.集合的概念、集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
故选A.
【回扣点睛】1.平面向量的坐标运算；2.充要条件.
3．【2018届高三第一次全国大联考】如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
该几何体的体积，故选A.
【回扣点睛】1.三视图；2.几何体的体积.
4．【2018届湖南省张家界市高三第三次模拟】已知变量， 满足，若方程有解，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，由方程，得，由此问题可转化为求区域图内的点到定点的距离最小时实数的值，结合图形，点到直线的距离为所求，则有，解得.故选B.
【回扣点睛】1.简单线性规划；2.直线与圆的位置关系.
5．【2018届北京市人大附中高三十月月考】若函数在区间上的最大值是最小值是则（ ）
A. 与有关,且与有关 B. 与有关,但与无关
C. 与无关,且与无关 D. 与无关,但与有关
【答案】B
当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选B．
【回扣点睛】本题由于二次函数图像的对称轴直线与区间[0,1]的位置关系不确定，所以要分类讨论.分类讨论的思想是高中数学的一种重要思想，要注意分类的起因、标准、过程和结果.
6．已知,依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝.
综上所述，q＝，
故选B.
【回扣点睛】1.等差数列；2.等比数列.
7．【2018届吉林省梅河口市第五中学高三4月月考】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
又
故选C．
【回扣点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较大小，其中构造新的函数达到解决问题的目的是解题的关键．
8.设我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从10部名著中选择2部名著的方法数为＝45，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为＝21，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为×＝21，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P＝＝.
故选：A
【回扣点睛】1.数学文化；2.组合；3.古典概型.
9．已知数列的通项公式为，设，则数列的各项之和为
A. 36 B. 33 C. 30 D. 27
【答案】D
.
故选D.
【回扣点睛】倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若，则；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则；组合中中主要利用组合数性质： .
10．在三棱锥中，底面是等腰三角形，，，平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，将三棱锥补形为直三棱柱，取的中点，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取的外心，作平面，与平面交于点，则为外接球的球心，
设球的半径为，由球的表面积公式可得：，
由正弦定理可得：，则，
则棱锥的高：，
由正弦定理可得：
该三棱锥的体积为.
本题选择B选项.
【回扣点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
二、填空题
11．在中， ，则__________．
【答案】
【回扣点睛】余弦定理.
12.已知复数满足，那么__________，__________．
【答案】
【解析】复数，
故，．
【回扣点睛】1.复数的概念；2.复数的运算.
13．【2018届北京市朝阳区高三3月一模】函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________．
【答案】 2
【回扣点睛】该题属于利用所给的函数图像，抓住其中的关键点，确定出函数的解析式，利用最高点和最低点的纵坐标求得A，利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期，从而求得的值，再利用最高点求得，最后确定出函数的解析式，最后利用函数的性质，求得其满足条件的零点.
14．【2018届北京市丰台区高三年级一模】已知是平面上一点， ， ．
①若，则____；
②若，则的最大值为____．
【答案】
【解析】 由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点，
因为，所以，如图所示，
则，
（2）中，因为，
所以，
如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，
此时最大值为，所以的最大值为．
【回扣点睛】本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
15．已知椭圆 (0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________，椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】由题意得a＝2；
由椭圆的定义知，
所以，
又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
所以，解得b2＝3，
故， ．
答案： ，
【回扣点睛】椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，过焦点的弦中通径（过焦点且与长轴垂直的弦）最短等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
16．【2018届浙江省诸暨市高三上学期期末】已知，，若对于任意的恒成立，则__________．
【答案】
因此 此时 .
【回扣点睛】1.和绝对值不等式；2.二次函数性质.
17．【2018届上海市徐汇区高三下学期二模】若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是_______．
【答案】
【解析】由题意，函数，设，则为上的奇函数，因此在上的最大值与最小值互为相反数，即，又， ，所以，则函数，由三角函数性质可知，当时，函数有对称中心，即，解得，而，所以函数的一个对称中心为.
【回扣点睛】此题主要考查函数的奇偶性、最值、对称中心，以及三角函数值的运算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题.此题中需要对函数的解析式进行化简整理，观察其解析式是由常函数与奇函数加减而成，从而通过计算其中奇函数的最值，由其性质易知，奇函数的最大值与最小值互为相反函数，从而问题可得解.
三、解答题
18．【2018年北京市丰台区高三一模】已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的单调递增区间．
【答案】(1) ;(2) 和．
【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式将原式子化简得到，根据周期的公式得到；（2）由题意得到，从而得到单调增区间.

（Ⅱ）由 ，
得 ．
当时，单调递增区间为和．
【回扣点睛】1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
19．【2018届高三第一次全国大联考】如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．
（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
试题解析：（1）取的中点，的中点，连接、、，如图所示．
则平面平面，平面即为所求的平面．
理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，所以，
在中，点分别是的中点，所以．
显然，，
所以平面平面，亦即平面 平面．
（2）不妨设,,，故,．在平行四边形中，，所以．
取的中点，则．
又平面平面，平面平面，所以平面．
连接，因为，，所以，又，所以．
如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，,，．
所以，，，．
设平面的法向量为，
则由，即，整理得．
令，则，．所以．
设平面的法向量为，
则由，即，整理得．
令，．所以．
所以．
设平面与平面所成的锐二面角为，所以．
【回扣点睛】这是一道“证算并重”题.几何法要注意“一作、二证、三计算”；向量法在解决立体几何中角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求方向向量、法向量；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个向量的夹角，从而得解.两种方法各有千秋.
20.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的最大值．
【答案】（1）．（2）．
【解析】试题分析：（1）（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可；（2）问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出a的范围即可；
试题解析：
（1）∵，
∴，又，
∴所求切线方程为，即．
（2）当时，，即 恒成立，
设，，
当时，，递减；
当时，，递增，
∴，
∴，的最大值为．
【回扣点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
21．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次考试】已知抛物线的焦点为 ，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.
(Ⅰ)若，当时，求的取值范围；
(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.
【答案】(1) (2)取最小值1
【解析】试题分析：（1）直线的方程为，代入得,根据韦达定理以及向量共线的条件可得，结合可得的取值范围；（2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得切线方程为 ，方程为 ，两式联立结合韦达定理可得，利用点到直线距离公式、焦半径公式以及三角形的面积公式可得,当且仅当时，取最小值1.
试题解析：(Ⅰ)依题意直线的方程为，代入得,
设,则.
因为，即
，即；
因为，所以,又函数在单调递减，
所以,
(Ⅱ)因为,所以
则切线方程为 ①
方程为 ②
②--①得,
③，
将③代入①得,所以
到直线的距离
,
,
因为,
所以
,
当且仅当时，取最小值1.
【回扣点睛】1.抛物线标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.平面向量．
22．等差数列满足， ．
（）求的通项公式．
（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？
（）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（） （）（）
【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列{an}的通项公式；（2）由b2=a3，b3=a7，结合（1）中等差数列的通项公式求得b2，b3的值，进一步求得等比数列的公比q及首项，则等比数列的通项公式可求．（3）猜想，即，即，用数学归纳法即可证明.
试题解析：
（）∵是等差数列，
，
∴解出， ，
∴
，
．
（）∵，
，
是等比数列，
，
∴
，
．
又∵，
∴，
∴与数列的第项相等．
（）猜想，即，即，
用数学归纳法证明如下：
①当时， ，显然成立，
②假设当时， 成立，即成立；
则当时，
，
成立，
由①②得，猜想成立．
∴．
【回扣点睛】1.数学归纳法的应用；2.等差数列、等比数列.