训练五
考试时间:120分钟
一、单选题
1.【2018届内蒙古呼和浩特市高三第一次调研】已知集合,则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合 则集合 其元素个数为6,故选A.
【回扣点睛】1.集合的概念、集合的基本运算;2.简单不等式的解法.
2.已知向量,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
故选A.
【回扣点睛】1.平面向量的坐标运算;2.充要条件.
3.【2018届高三第一次全国大联考】如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1),则该几何体的体积等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
该几何体的体积,故选A.
【回扣点睛】1.三视图;2.几何体的体积.
4.【2018届湖南省张家界市高三第三次模拟】已知变量, 满足,若方程有解,则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,可作出约束条件的区域图,如图所示,由方程,得,由此问题可转化为求区域图内的点到定点的距离最小时实数的值,结合图形,点到直线的距离为所求,则有,解得.故选B.
【回扣点睛】1.简单线性规划;2.直线与圆的位置关系.
5.【2018届北京市人大附中高三十月月考】若函数在区间上的最大值是最小值是则( )
A. 与有关,且与有关 B. 与有关,但与无关
C. 与无关,且与无关 D. 与无关,但与有关
【答案】B
当≤﹣≤1,即﹣2≤a≤﹣1时,
函数f(x)在区间[0,﹣]上递减,在[﹣,1]上递增,
且f(0)>f(1),
此时M﹣m=f(0)﹣f(﹣)=,
故M﹣m的值与a有关,与b无关
当0≤﹣<,即﹣1<a≤0时,
函数f(x)在区间[0,﹣]上递减,在[﹣,1]上递增,
且f(0)<f(1),
此时M﹣m=f(1)﹣f(﹣)=1+a+,
故M﹣m的值与a有关,与b无关
综上可得:M﹣m的值与a有关,与b无关
故选B.
【回扣点睛】本题由于二次函数图像的对称轴直线与区间[0,1]的位置关系不确定,所以要分类讨论.分类讨论的思想是高中数学的一种重要思想,要注意分类的起因、标准、过程和结果.
6.已知,依次成等比数列,且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
②若删去a3,则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3,又a1≠0,所以2q=1+q3,整理得q(q+1)(q-1)=q-1.又q≠1,则可得q(q+1)=1,又q>0,得q=.
综上所述,q=,
故选B.
【回扣点睛】1.等差数列;2.等比数列.
7.【2018届吉林省梅河口市第五中学高三4月月考】已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,,,则,,的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
又
故选C.
【回扣点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用单调性比较大小,其中构造新的函数达到解决问题的目的是解题的关键.
8.设我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著,有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从10部名著中选择2部名著的方法数为=45,所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为=21,只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为×=21,于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P==.
故选:A
【回扣点睛】1.数学文化;2.组合;3.古典概型.
9.已知数列的通项公式为,设,则数列的各项之和为
A. 36 B. 33 C. 30 D. 27
【答案】D
.
故选D.
【回扣点睛】倒序相加法求和,不仅应用在等差数列中,而且在函数以及组合中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质:若,则;函数中主要利用对称中心性质:若关于对称,则;组合中中主要利用组合数性质: .
10.在三棱锥中,底面是等腰三角形,,,平面,若三棱锥的外接球的表面积为,则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,将三棱锥补形为直三棱柱,取的中点,则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球,取的外心,作平面,与平面交于点,则为外接球的球心,
设球的半径为,由球的表面积公式可得:,
由正弦定理可得:,则,
则棱锥的高:,
由正弦定理可得:
该三棱锥的体积为.
本题选择B选项.
【回扣点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
二、填空题
11.在中, ,则__________.
【答案】
【回扣点睛】余弦定理.
12.已知复数满足,那么__________,__________.
【答案】
【解析】复数,
故,.
【回扣点睛】1.复数的概念;2.复数的运算.
13.【2018届北京市朝阳区高三3月一模】函数()的部分图象如图所示,则__________;函数在区间上的零点为_________.
【答案】 2
【回扣点睛】该题属于利用所给的函数图像,抓住其中的关键点,确定出函数的解析式,利用最高点和最低点的纵坐标求得A,利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期,从而求得的值,再利用最高点求得,最后确定出函数的解析式,最后利用函数的性质,求得其满足条件的零点.
14.【2018届北京市丰台区高三年级一模】已知是平面上一点, , .
①若,则____;
②若,则的最大值为____.
【答案】
【解析】 由题意,(1)中,因为,所以为线段的三等分点,
因为,所以,如图所示,
则,
(2)中,因为,
所以,
如图所示,当点是线段的中点时,此时取得最大值,
此时最大值为,所以的最大值为.
【回扣点睛】本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算,对于平面向量的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用,利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.
15.已知椭圆 (0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是________,椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】由题意得a=2;
由椭圆的定义知,
所以,
又由椭圆的性质得,过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短,
所以,解得b2=3,
故, .
答案: ,
【回扣点睛】椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,过焦点的弦中通径(过焦点且与长轴垂直的弦)最短等,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.
16.【2018届浙江省诸暨市高三上学期期末】已知,,若对于任意的恒成立,则__________.
【答案】
因此 此时 .
【回扣点睛】1.和绝对值不等式;2.二次函数性质.
17.【2018届上海市徐汇区高三下学期二模】若函数的最大值和最小值分别为、,则函数图像的一个对称中心是_______.
【答案】
【解析】由题意,函数,设,则为上的奇函数,因此在上的最大值与最小值互为相反数,即,又, ,所以,则函数,由三角函数性质可知,当时,函数有对称中心,即,解得,而,所以函数的一个对称中心为.
【回扣点睛】此题主要考查函数的奇偶性、最值、对称中心,以及三角函数值的运算等方面的知识与技能,属于中档题型,也是常考题.此题中需要对函数的解析式进行化简整理,观察其解析式是由常函数与奇函数加减而成,从而通过计算其中奇函数的最值,由其性质易知,奇函数的最大值与最小值互为相反函数,从而问题可得解.
三、解答题
18.【2018年北京市丰台区高三一模】已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在上的单调递增区间.
【答案】(1) ;(2) 和.
【解析】试题分析:(1)根据二倍角公式将原式子化简得到,根据周期的公式得到;(2)由题意得到,从而得到单调增区间.
(Ⅱ)由 ,
得 .
当时,单调递增区间为和.
【回扣点睛】1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质.
19.【2018届高三第一次全国大联考】如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面平面,点为的中点.
(1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
试题解析:(1)取的中点,的中点,连接、、,如图所示.
则平面平面,平面即为所求的平面.
理由如下:在平行四边形中,点分别是与的中点,所以,
在中,点分别是的中点,所以.
显然,,
所以平面平面,亦即平面 平面.
(2)不妨设,,,故,.在平行四边形中,,所以.
取的中点,则.
又平面平面,平面平面,所以平面.
连接,因为,,所以,又,所以.
如图所示,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,.
所以,,,.
设平面的法向量为,
则由,即,整理得.
令,则,.所以.
设平面的法向量为,
则由,即,整理得.
令,.所以.
所以.
设平面与平面所成的锐二面角为,所以.
【回扣点睛】这是一道“证算并重”题.几何法要注意“一作、二证、三计算”;向量法在解决立体几何中角问题的一般步骤是:1.建系,根据图形特点建立合理的空间直角坐标系;2.标点,把所涉及到的点的坐标找出来,并计算相应向量的坐标;3.求方向向量、法向量;4.代入公式求值,利用向量的数量积公式,求出两个向量的夹角,从而得解.两种方法各有千秋.
20.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,恒成立,求的最大值.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析:(1)(1)求出函数的导数,计算f(0),f′(0)的值,求出切线方程即可;(2)问题转化为恒成立,根据函数的单调性求出g(x)的最小值,求出a的范围即可;
试题解析:
(1)∵,
∴,又,
∴所求切线方程为,即.
(2)当时,,即 恒成立,
设,,
当时,,递减;
当时,,递增,
∴,
∴,的最大值为.
【回扣点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
21.【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次考试】已知抛物线的焦点为 ,过点且斜率为的直线交曲线于两点,交圆于两点(两点相邻).
(Ⅰ)若,当时,求的取值范围;
(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线,两切线交于点,求与面积之积的最小值.
【答案】(1) (2)取最小值1
【解析】试题分析:(1)直线的方程为,代入得,根据韦达定理以及向量共线的条件可得,结合可得的取值范围;(2)利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得切线方程为 ,方程为 ,两式联立结合韦达定理可得,利用点到直线距离公式、焦半径公式以及三角形的面积公式可得,当且仅当时,取最小值1.
试题解析:(Ⅰ)依题意直线的方程为,代入得,
设,则.
因为,即
,即;
因为,所以,又函数在单调递减,
所以,
(Ⅱ)因为,所以
则切线方程为 ①
方程为 ②
②--①得,
③,
将③代入①得,所以
到直线的距离
,
,
因为,
所以
,
当且仅当时,取最小值1.
【回扣点睛】1.抛物线标准方程及其几何性质;2.直线与抛物线的位置关系;3.平面向量.
22.等差数列满足, .
()求的通项公式.
()设等比数列满足, ,问: 与数列的第几项相等?
()试比较与的大小,并说明理由.
【答案】() ()()
【解析】试题分析:(1)设出等差数列的公差,由已知列式求得公差,进一步求出首项,代入等差数列的通项公式求数列{an}的通项公式;(2)由b2=a3,b3=a7,结合(1)中等差数列的通项公式求得b2,b3的值,进一步求得等比数列的公比q及首项,则等比数列的通项公式可求.(3)猜想,即,即,用数学归纳法即可证明.
试题解析:
()∵是等差数列,
,
∴解出, ,
∴
,
.
()∵,
,
是等比数列,
,
∴
,
.
又∵,
∴,
∴与数列的第项相等.
()猜想,即,即,
用数学归纳法证明如下:
①当时, ,显然成立,
②假设当时, 成立,即成立;
则当时,
,
成立,
由①②得,猜想成立.
∴.
【回扣点睛】1.数学归纳法的应用;2.等差数列、等比数列.