2018年高考数学备考之百强校大题狂练系列（通用版）专题4.3+折叠与探究性问题问题（理科）

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题问题
1．如图，四棱柱的底面为菱形， ， ， 为中点.
（1）求证： 平面；
（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）设为的中点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.
所以平面.
（2）因为是菱形，且，
所以是等边三角形
取中点，则，
因为平面，
所以，
建立如图的空间直角坐标系，令，
则且，
取，设直线与平面所成角为，
则，
解得，故线段的长为2.
2．如图，在四棱锥中，底面为正方形， , .
（Ⅰ）若是的中点，求证： 平面；
（Ⅱ）若， ，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
【解析】试题分析： 连接交于，中位线 ，从而证明分别以为轴的正方向建立坐标系，求出法向量为，利用计算结果
（Ⅱ）设，则，且.分别以为轴的正方向建立坐标系，则
∴，设平面的一个法向量为，则,令，则，∴∴
设直线与平面所成的角为，则
所以与平面所成角的正弦值为
3．如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱AB上的动点.
（1）求证： ；
（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2) 直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处
【解析】试题分析： 要证明，只需要证明即可，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算即可；另解：容易得到，又因为，得到平面，从而证得先利用求平面法向量的计算公式，求出平面的法向量，由已知直线与平面所成的角是，利用甲角公式得到方程，解方程即可得到点的位置
所以DA1⊥ED1
另解： ，所以.
又，所以.
所以
（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系
所以、、、，设，则
设平面CED1的法向量为，由可得，
所以，因此平面CED1的一个法向量为
由直线与平面所成的角是45，可得
可得，解得
由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处
4．如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.
(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°，
∴△ACD为等边三角形，
又M为CD中点，
∴AM⊥CD，由CD∥AB得，
AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴AM⊥AA1.
又AB∩AA1＝A，
∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，
∴DM＝1，AM＝，
∴∠AMD＝∠BAM＝90°，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则n＝(1，，1)，
∴|cos〈n，〉|＝＝＝.
∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.
5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1）由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,利用面面垂直的性质可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，的坐标为，求得，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，进而可得，进而可得结果.
试题解析：(Ⅰ)直角梯形中，，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.
，得.
设的坐标为，则,由,
得,,,
,所以，
当时，,点到点的距离的最小值为.
6．已知如图， 平面，四边形为等腰梯形， ， .
（1）求证：平面平面；
（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接，过作于，过作于，由三角形内角和定理可得，由平面，可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知， ，∴为直角三角形， 为中点，设到平面距离为，根据“等积变换”可求得，进而可得与平面所成角的正弦值.
试题解析：（1）连接，过作于，过作于.
在等腰梯形中，∵，∴.
∴，则， ，
∴即，
∵平面， 平面，
∴，∴平面，
又平面，∴平面平面.
即 ，∴.
∴与平面所成角的正弦值等于.