2018年高考数学备考之百强校大题狂练系列(通用版)专题4.3+折叠与探究性问题问题(理科)

文档属性

名称 2018年高考数学备考之百强校大题狂练系列(通用版)专题4.3+折叠与探究性问题问题(理科)
格式 zip
文件大小 852.1KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2018-04-25 15:55:52

图片预览

文档简介

2018届高考数学大题狂练
第四篇 立体几何(理科)专题03 折叠与探究性问题问题
1.如图,四棱柱的底面为菱形, , , 为中点.
(1)求证: 平面;
(2)若底面,且直线与平面所成线面角的正弦值为,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)2.
【解析】试题分析:(1)设为的中点,根据平几知识可得四边形是平行四边形,即得,再根据线面平行判定定理得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面一个法向量,根据向量数量积求向量夹角,再根据线面角与向量夹角互余关系列等式,解得的长.
所以平面.
(2)因为是菱形,且,
所以是等边三角形
取中点,则,
因为平面,
所以,
建立如图的空间直角坐标系,令,
则且,
取,设直线与平面所成角为,
则,
解得,故线段的长为2.
2.如图,在四棱锥中,底面为正方形, , .
(Ⅰ)若是的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)若, ,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析: 连接交于,中位线 ,从而证明分别以为轴的正方向建立坐标系,求出法向量为,利用计算结果
(Ⅱ)设,则,且.分别以为轴的正方向建立坐标系,则
∴,设平面的一个法向量为,则,令,则,∴∴
设直线与平面所成的角为,则
所以与平面所成角的正弦值为
3.如图,在棱长为1的正方体中,点E是棱AB上的动点.
(1)求证: ;
(2)若直线与平面所成的角是45,请你确定点E的位置,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2) 直线与平面所成的角是45时,点在线段AB中点处
【解析】试题分析: 要证明,只需要证明即可,建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标,得到向量和的坐标,利用向量的数量积的计算公式进行计算即可;另解:容易得到,又因为,得到平面,从而证得先利用求平面法向量的计算公式,求出平面的法向量,由已知直线与平面所成的角是,利用甲角公式得到方程,解方程即可得到点的位置
所以DA1⊥ED1
另解: ,所以.
又,所以.
所以
(2)以A为原点,AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系
所以、、、,设,则
设平面CED1的法向量为,由可得,
所以,因此平面CED1的一个法向量为
由直线与平面所成的角是45,可得
可得,解得
由于AB=1,所以直线与平面所成的角是45时,点在线段AB中点处
4.如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
∵四边形ABCD为菱形,
∠BAD=120°,
∴△ACD为等边三角形,
又M为CD中点,
∴AM⊥CD,由CD∥AB得,
AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD,AM?平面ABCD,∴AM⊥AA1.
又AB∩AA1=A,
∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
∴DM=1,AM=,
∴∠AMD=∠BAM=90°,
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,则n=(1,,1),
∴|cos〈n,〉|===.
∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.
5.如图,在直角梯形中,.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到,且使得平面平面.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)延长至点,使为平面内的动点,若直线与平面所成的角为,且,求点到点的距离的最小值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到,,利用面面垂直的性质可得平面,进而由面面垂直的判定定理可得结论;(2)由(Ⅰ)可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,的坐标为,求得,利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得,进而可得,进而可得结果.
试题解析:(Ⅰ)直角梯形中,,直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到,,又平面平面,平面,平面平面.
,得.
设的坐标为,则,由,
得,,,
,所以,
当时,,点到点的距离的最小值为.
6.已知如图, 平面,四边形为等腰梯形, , .
(1)求证:平面平面;
(2)已知为中点,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)连接,过作于,过作于,由三角形内角和定理可得,由平面,可得,从而可得平面,由面面垂直的判定定理可得结论;(2)由(1)知, ,∴为直角三角形, 为中点,设到平面距离为,根据“等积变换”可求得,进而可得与平面所成角的正弦值.
试题解析:(1)连接,过作于,过作于.
在等腰梯形中,∵,∴.
∴,则, ,
∴即,
∵平面, 平面,
∴,∴平面,
又平面,∴平面平面.
即 ,∴.
∴与平面所成角的正弦值等于.

同课章节目录