人教版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题（含答案）

第二章《平面向量》检测题
一、单选题（每小题只有一个正确答案）
1．已知向量a在向量b方向上的投影为-1,向量b在向量a方向上的投影为-,且|b|=1,则|a+2b|=（ ）
A. 2 B. 4 C. 2 D. 12
2．已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3．设向量满足，则等于 ( 　　)
A. B. C. D.
4．向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5．已知向量，若，则实数的值为
A. 3 B.
C. D.
6．设是两个不共线的向量，若则（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
7．给出向量=(2,1)， =(－3, －4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B. －2 C. D. 2
8．若非零向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
9．在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（ ）
A. B. C. 6 D. 7
10．如图，四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
11．已知点O是内部一点，并且满足， 的面积为， 的面积为；则（ ）
A. B. C. D.
12．的边所在直线上有一点满足，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
13．是所在平面上一点，动点满足， ，则动点的轨迹一定通过的（ ）．
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
14．已知向量=（sinα，cosα），=（cosβ，sinβ），且∥，若α，β [0, ]，则α＋β=（ ）
A. 0 B. C. D.

二、填空题
15．在中，内角的对边分别为，已知,且,则的面积是__________．
16．已知向量的夹角为， ，则________.
17．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则与共线且反向；④若与共线且反向，则k=-3. 其中正确的说法是_________.
18．如图，在正方形中， ，点为的中点，点为的中点，则的值是__________．
19．已知和点满足，若存在实数使得成立，则 ________.
三、解答题
20．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2=ac且cosB=．
(1)求的值；
(2)设，求a+c的值．
21．在中，分别是角A、B、C的对边， ，且．
（1）求角A的大小； （2）求的值域．
22．已知向量．
(1)若求的值；
（2）若与的夹角为求的值．
23．已知向量.令.
（Ⅰ）求的最小正周期及单调增区间;
（Ⅱ）当时,求的最小值以及取得最小值时的值.
24．设函数，其中， ， ．
（1）求的解析式；
（）求的周期和对称轴；
（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】设a,b的夹角为θ,由题意,得|b|cosθ=所以cosθ=因为 |a|cosθ=-1,所以|a|=2,所以|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=22+4×2×1x(-)+4×12=4,所以|a+2b|=2,
故选C
2．A
【解析】由，得，即，代入下式
，选A.
3．B
【解析】由.
所以.
故选B.
4．B
【解析】因为，，所以，=0，即
，
因为，选B.
5．C
【解析】因为 ，又，
所以，选C.
6．A
【解析】因为+==2，故三点共线.
故答案为：A.
7．B
【解析】向量=(2,1)， =(－3, －4), 向量在向量方向上的投影为
故答案为：B.
8．A
【解析】由得，整理得，从而得，故选A.
9．B
【解析】∵，
∴
∴
∵
∴
∴是等边三角形，即.
∵分别是边上的三等分点
∴，
∴
∵， ，
∴
故选B.
10．D
【解析】在菱形中边长为2，，∴，又∵，，∴ ，故选D.
11．A
【解析】∵，
∴．
设中点为， 中点为，则,
∴为的中位线，且，
∴，
即．选A．
12．B
【解析】由题意得 ，整理得，选B.
13．B
【解析】∵， 分别表示， 方向上的单位向量，
∴的方向与的角平分线的方向一致，
∵，
∴，
∴的方向与的角平分线的反向一致，
∴动点的轨迹一定通过的内心．
故选．
14．B
【解析】由向量平行可得，即 ，选B.
15．
【解析】在中，内角的对边分别为，已知，所以 ，化简可得： ，可得
又

故答案为.
16．
【解析】由题意知·＝||·||cos60°＝2×1×＝1，
则＝()2＝||2＋4||2＋4·＝4＋4＋4＝12.
所以＝2.
故答案为： .
17．②③④
【解析】对于①，当时不成立，故①错误；对于②，如图示，分别取、的中点、，
∵，∴，即，∴是的一个三等分点，∴，∴，故②正确；对于③，由两边同时平方化简得，即， ，则与共线且反向，故③正确；对于④，∵与共线，∴，解得或，当时， ， ，两者同向，不合题意，则，故④正确；故答案为②③④.
18．0
【解析】由题得所以=0,故填0.
19．
【解析】∵，∴为已知的重心，取的中点，∴，∵，∴，故答案为3.
20．(1) (2)3
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先利用三角恒等变换的知识化简，再利用已知条件求得即得解. (2)第（2）问，先化简得ac=2，再利用余弦定理整体求a+c的值.
试题解析：(1) .
由cosB=，得.
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinA·sinC，于是.
(2)由得ca·cosB=，由cosB=，可得ca=2，即b2=2.
由余弦定理b2=a2+c2—2ac·cosB得a2+c2=b2+2ac·cosB=5,
所以(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9，所以a+c=3.
21．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由，得出(2b－c)cosA= acosC，由正弦定理和两角和的正弦公式的逆用，求出角A的大小；（2）将化为，根据角B的范围，求出的范围，得出所求函数的值域。
试题解析：（1） ，且，
∵(2b－c)cosA= acosC，
∴（2sinB－sinC）cosA=sinAcosC
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin(A+C)
∵A+B+C=π， A+C=π-B，
∴sin(A+C)=sinB，
∴2sinBcosA=sinB，
∵0∴cosA=
∵0（2）=1-cos2B+
=1-=1+sin(2B-)，
由（1）知A=，B+C=，所以
0＜B＜，-＜2B-＜，-＜sin(2B-)≤1，
函数的值域是．
22．(1)1, (2)
【解析】试题分析：（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；
（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．
试题解析：
(1)∵，即
(2)由题意知
∴
.
23．(1) (2) 取得最小值为,此时.
解:（Ⅰ）
故函数的周期为.
令,求得,
可得的增区间为.
（Ⅱ）当时, ,,
故当时,函数取得最小值为,此时.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（Ⅱ）由时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数取得最小值以及此时的值．
试题解析：（Ⅰ）
故函数的周期为.
令,求得,
可得的增区间为.
（Ⅱ）当时, ,,
故当时,函数取得最小值为,此时.
24．（1）；（2）， ；（3）.
【解析】试题分析：（）根据平面向量数量积公式可得，再根据二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得；（2）由（）知的最小正周期，令， ，可求得对称轴方程；（3）关于的方程在上有解，等价于方程，在上有解,利用三角函数的有界性可得，解不等式即可得结果.
试题解析：（）∵， ，
∴
，
∴．
（）由（）知的最小正周期，
令， ，得
， ，
∴的对称轴为， ．
（）∵，
∴，
∴，
∴，即，
若关于的方程，在上有解，则，
解得．