人教版高中数学必修五第二章《数列》检测题（含答案）

第二章《数列》检测题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．已知数列是等差数列， ，其中公差 .若是和的等比中项，则 ( )
A. 398 B. 388 C. 189 D. 199
2．设为数列的前项和，已知， ，则（ ）
A. B. C. D.
3．在等差数列中， ，则（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
4．已知在正项数列中， ， ，记数列的前项和为，若，则的值是(　　)
A. 99 B. 33 C. 48 D. 9
5．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
6．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1(n∈)，则a101的值为( )
A. 52 B. 50 C. 51 D. 49
7．在数列中，，则的值为
A. -2 B. C. D.
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则在数列中绝对值最小的项为(　　)
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
9．已知等差数列的前项和为， ， ，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
10．等比数列的前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11．在中， 分别是角所对边的边长， ， 成等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
12．数列中， ，且，则等于（ ）
A. B. C. D. 4
13．若数列满足， ，则的值为（ ）
A. 2 B. -3 C. D.
14．的值为(　　)
A. B.
C. D.
15．设,若成等差数列，则的最小值为( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16

第II卷（非选择题）
二、填空题
16．已知数列{an}满足a1=—1，an+1=an+，n∈N*，则通项公式an=____________；
17．已知数列的前n项和，则其通项公式为_________ ．
18．数列中， 为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式__________．
19．已知数列的前项和是，且，则数列的通项公式__________．
20．数列{an}中，已知对任意 ,，则等于________.
21．已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为__________．
三、解答题
22．已知数列中，其前项和为，且对任意，都有．等比数列中，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和．
23．已知正项等比数列的前项和为，且， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值.
24．已知数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和．
25．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
26．已知数列的首项为2，前项和为，且.
（1）求的值；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的通项公式；
27．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n（nN*）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn。
参考答案
1．C
【解析】由题意可得 公差 代入数据可得 ，解得 ，
故选C．
2．D
【解析】根据题意，由，得，
则， ，…，
将各式相加得，又，所以，
因此，
则
将上式减下式得，
所以.故选D.
3．A
【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得， ，则，所以.故选A.
4．B
【解析】∵，
∴数列{}为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3，
∴＝1＋3(n－1)＝3n－2.
又an>0，∴，∴，
故数列{bn}的前n项和Sn＝ [(－)＋(－)＋…＋(]＝ (－1)，
由Sn＝ (－1)＝3，解得n＝33，
故选B.
5．C
【解析】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则
.
所以验证知，当n=1，2，3，5，11时， 为整数. 故选C.
6．A
【解析】由已知得，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差为的等差数列.
所以由等差数列的通项公式得=+100d=2+100×=52，故选A.
7．B
【解析】由，得.
所以.
即数列以3为周期的周期数列.
所以.
故选B.
8．C
【解析】根据等差数列{an}的前n项和公式Sn＝ ，因为S13<0，S12>0所以 由得 所以数列{an}中绝对值最小的项为第7项．
故答案为：C.
9．B
【解析】设等差数列的首项为，公差为.
∵，
∴
∴
∴，则
∴数列的前项和为
故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．B
【解析】当时,,
当时，
所以，故选B.
11．B
【解析】由题成等差数列，则，由
由余弦定理，

故选B.
12．C
【解析】由可得，数列 是等差数列，公差为 ，首项为 ，所以通项公式为 ，故选C.
13．B
【解析】， ，所以
故数列是以4 为周期的周期数列，故
故选B.
14．C
【解析】∵,
∴
＝
＝
15．D
【解析】成等差数列， ，
，当且仅当时取等号，故则的最小值为，故选D.
16．an=
【解析】由题意， ，所以
利用叠加法可得.
∴a1=—1，所以an=.故填.
17．
【解析】当时，，当时，，而也满足，所以。
点睛：本题主要考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，根据 ，对时的结果进行验证，看是否符合时的表达式，，如果符合，则可把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写。
18．
【解析】∵，∴，化简得， ，两边同除以得，所以是公差为2的等差数列，其首项，所以， ，故答案为.
19．
【解析】由题得（1），（2），两式相减得
是一个等比数列，
所以
故填.
20． (9n－1)
【解析】 ，① ，②
②-①得：，当时，，符合上式，，，是以为首项，为公比的等比数列，，故答案为.
21．
【解析】由，得 ，当 时， ；当 时， ，所以数列的通项公式为.
故答案为．
22．（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由已知条件可得，根据可得数列是等差数列，故可得其通项公式，根据等比数列的性质可求出公比继而可求出的通项公式；（2）根据等比数列前项和公式可得前项和，分为为奇数和为偶数，利用并项求和可求得的前项和，进而可得结果.
试题解析：（1）由得，……………①
当时，，………………②
由①－②得，，
即，整理得，
∵，∴，
由已知得，当时，，即，解得．
故数列是首项为1，公差为2的等差数列．
∴．
设等比数列的公比为，则，所以．
故，即，解得．
故．
（2）记数列的前项和为，数列的前项和为．
则．
当为偶数时，奇数项与偶数项各有项．
则
；
当为奇数时，奇数项为项，偶数项为项．
则
．
所以．
23．（1）（2）5
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可设数列的公比为，根据等比数列的通项公式与前项和公式，建立关于与的方程组，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，从而可得，根据其特点，采用裂项求和方法求出，由不等式求出正整数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）由题意知， ，∴，得，
设等比数列的公比为，
又∵，∴，化简得，解得.
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .
∴ ，
∴ .
令，得，解得，
∴满足的正整数的最小值是5.
24．（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得，再构造，最后根据等比数列定义证结果，（2）先裂项得，再根据裂项相消法求数列的前项和．
试题解析：解：（1）∵对任意的正整数，都有成立，
∴当时， ，解得．
当时， ，
整理得．
∴（），
又，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．
（2）由（1）可得， ，
∴，
∴ ．
25．(1) bn＝3n＋1， (2) Tn＝3n·2n＋2.
【解析】试题分析：（1）先求出数列{an}的通项，根据条件an＝bn＋bn＋1，即可求出数列{bn}的通项；
（2）已知数列{an}，{bn}的通项，则可求出数列{cn}的通项，利用错位相减法即可求出数列{cn}的前n项和。
试题解析： (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.由
即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知， cn＝＝3(n＋1)· ＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×＋3×＋…＋(n＋1)×]，
2Tn＝3×[2×＋3×＋…＋(n＋1)×].
两式作差，得－Tn＝3×[2×＋＋＋…＋－(n＋1)×]
＝－3n·，所以Tn＝3n·.
26．（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：
（1）根据递推关系可得求得．（2）由条件可得可得，于是，以上两式相减变形可得，即，于是可得数列为等差数列，并可求得其通项．（3）由（2）可得
，可得，根据累乘法可得数列的通项公式．
试题解析：
(1)∵，且，
∴
解得.
(2)由，
可得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
化为:，
即，
又，
数列是首项为，公差为1的等差数列．
.
(3)由(2)可得: ，
∴，
∴，
，
又满足上式．
.
27．（1）；（2）
【解析】试题分析;(1)由前n项和与项的关系，可求得。（2）由（1）， ==
所以由错位相减法可求得,
试题解析;（1）解:因为
当时，
当n≥2时, ==
又因为也符合上式，
所以，n?．
（2）因为==
所以　　　①
　　　②
①－②得，
所以