江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

2017-2018学年度第二学期高一数学期中测试卷（2018.04）

一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分.请将答案填在答题卡相应的位置上）
1．的值是_____▲_____．
2．不等式的解集为_____▲_____．
3．等比数列中，若，，则公比___▲___．
4．已知等差数列的前项和为，若，则= ▲ .
5．若，则____▲______．
6．在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则= ▲ .
7．△中，三个内角，，所对的边分别为，，，如果，那么等于____▲______．
8．已知数列满足，且，则__▲__．
9．等差数列的公差为，其前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则使为定值的的最小值为_____▲______．
10．的值是___▲_____．
11.已知函数，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_____▲_____．
12．已知数列的前项和，则的前项和______▲_______.
13．已知为数列的前项和，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为　 ▲ 　．
14．在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是 ▲ .
二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；[来源:学|科|网]
（2）若，求的长．
16．(本题满分14分)
已知关于的不等式.
(1)当时，求此不等式的解集.
(2)求关于的不等式（其中）的解集.
17．(本题满分15分)
已知公比为整数的正项等比数列满足： ， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．(本题满分15分)
已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若A为锐角且，，，求的值．
19．(本题满分16分)
某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近，现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在以小岛为圆心，海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）.设小岛到距离为，，船到小岛的距离为.
（1）请分别求关于的函数关系式，并分别写出定义域；
（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）？
20．已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；
（3）若数列满足，求数列的前项和.
2017-2018学年度第二学期高一数学期中测试卷（2018.04）
参考答案
1． 2． 3.2 4． .5． 6． 7．
8． 9．13 10．2 11． 12．
13． 14.
13.【解析】：∵a1=1，2Sn=（n+1）an，
∴n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1，化为：=，
∴==…===1，∴an=n．
不等式an2﹣tan≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，
∴0＜n≤2t，
关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．
∴ ∴1≤t＜，故答案为：．
14．【解析】：由得，
因此即，因为为锐角三角形，所以从而
15.解析：（1）因为，，，
所………………………2分
，………………………4分
又，
所以．……………………………………………6分
（2）因为，且，
又，
所以，……………………………………8分
同理可得，． ……………………………………10分
由正弦定理，得．…………………14分
16.解析：(1) ；
所以不等式为，
再转化为，…………………3分
所以原不等式解集为…………………5分
(2)不等式可化为，
即；…………………7分
当时， ，不等式的解集为或；…………………9分
当时， ,不等式的解集为；…………………11分
当时， ,不等式的解集为或；…………………13分
综上所述，原不等式解集为
①当时， 或,
②当时， ，
③当时， 或；…………………14分
17．解析：
（1）设等比数列的公比为，
由，有可得，…………………1分
由可得，…………………2分
两式相除可得： ，…………………3分
整理为： ，
由，且为整数，可解得，故…………………5分
数列的通项公式为．…………………7分
（2）由，
，
有 ，…………………9分
两式作差有： ，…………………11分
得 ，…………………14分
故．…………………15分
18．解析：（1）
． ………………2分
由得，，， …………………4分
∴，即函数的值域为． ………6分
（2）由得，
又由，∴，∴，．…………………8分
在中，由余弦定理，得． ………………10分
由正弦定理，得，………………12分
∵，∴，∴，…………………13分
（此处先由余弦定理求出，再求出亦可）
∴……………15分
19.解析：设的单位为百海里
（1）由………………2分
在中，……………3分
………5分
（无定义域或定义域不准确扣1分）
若小岛到距离为，……………………6分
……………………8分
……………10分
（无定义域或定义域不准确扣1分）
（2）

……………………13分
，
则当时，取得最大值. ……………………14分
此时（百海里）……………………15分
答：当间距离为海里时，搜救范围最大. ……………………16分
20.解析：（1）由，即，．
又，所以
. ……………………2分
当时，上式成立，故……………………3分
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故. ……………………5分
(2) 由（1）知，则
.……………………7分
假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分
所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16. ……………………………………10分
（3）当为奇数时，

；………………13分
当为偶数时，

. ………………15分
因此
………………16分