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人教版初中七年级数学下册期末复习
第三讲 《相交线与平行线》单元复习
识
知
体
系
点
考
精
讲
考点一 相交线
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数．
∵直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD
∴∠BOC=90°，∵∠1=25°，
∴∠BOE=65°，∴∠2=∠BOE=65°．
例2 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数
解：∵∠COE=90°，∠COF=34°，
∴∠EOF=∠COE﹣∠COF=56°，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠AOC=112°﹣90°=22°，
∵∠BOD和∠AOC是对顶角，∴∠BOD=22°．
例3 如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ ∠BOC，OC是∠AOD的平分线．判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
解析：OD⊥AB.
理由：∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC= ∠BOC，
∴ ∠BOC+∠BOC=180°，解得∠BOC=135°，
∴∠AOC=180° ∠BOC=180° 135°=45°，
∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=45°.
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，∴OD⊥AB.
例4 如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,
BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是___,点A到BC的距离是____,点B到CD 的距离是___,A、B两点的距离是_____.
解析：点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
考点二 点到直线的距离
4.8
6
6.4
10
解 :∵OP⊥EF，∴∠EOP＝90°.
又∵∠EOB＋∠POE＋∠AOP＝180°，
∴∠EOB＝180°－∠AOP－∠POE.
∵∠AOP＝30°，∴∠EOB＝180°－30°－90°＝60°.
∵AB∥CD，∴∠EMD＝∠EOB＝60°.
例5 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点O，M，射线OP在∠AOE的内部，且OP⊥EF，垂足为点O.若∠AOP＝30°，求∠EMD的度数.
考点三 平行线的性质与判定
例6 如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC.
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠FBC.
∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠ADE.
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＋∠FBC＝∠2＋∠ADE，
∴2∠1＝2∠2，即∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥DC.
解：（1）∵AC∥DE，
∴∠1=∠C，
∵∠AFD=∠1，
∴∠AFD=∠C，
∴DF∥BC；
例7 如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
解：（2）∵DF∥BC，
∴∠EDF=∠1=68°，
∵DF平分∠ADE，∴∠EDA=∠EDF=68°，
∵∠ADE=∠1+∠B
∴∠B=∠ADE-∠1=68°+68°-68°=68°.
例7 如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
例8 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长
解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
考点四 平移
例9 如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD＝3∠AOF，∠AOC＝120°，求∠BOE的度数．
解：设∠AOF=x，则∠AOD=3x，根据题意得：
3x+120°=180°，解得x=20°.
∴∠AOF=20°，
∵∠BOE=∠AOF，∴∠BOE=20°.
∴∠BOE=20°.
考点四 相交线中的思想方法（方程思想、转化思想）
例10 如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？
解：利用平移线段，构成一个矩形，即可得地毯的长度为6+8=14(米),地毯的面积为14×2=28(m2)，
故买地毯至少需要28×60=1680(元).
知
识
精
练
1.如图，AD为△ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
（一）选择题
B
2.下列说法中不正确的是（ ）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
3.如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）.
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
4.如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ）.
A. 35° B. 30°
C. 25° D. 20°
A
B
5.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是 ( ).
A. 70m2 B. 60m2
C. 48m2 D. 18m2
B
1.如图1，△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，若AC=3cm，则A′C=_________cm．
2.如图2，∠1=∠2，∠A=75°，则∠ADC=__________.
3.如图3，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是 ．
（二）填空题
1
105°
AB∥CD
4.如图4，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=_____°．
5.如图5所示，OP∥QR∥ST，若∠2=120°，∠3=130°，则∠1=________度．
360
70
1.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F.请求出∠A与∠D的数量关系，并说明理由.
（三）解答题
解：∠A＝∠D.理由如下：
设∠1的对顶角为∠3，∴∠1＝∠3.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3. ∴BF∥CE.
∴∠F＝∠DEC.∵∠F＝∠C，∴∠DEC＝∠C.
∴FD∥AC. ∴∠A＝∠D.
2.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB,∠EOD=2∠AOC ，求∠AOD的度数．
解：设∠AOC=x，则∠EOD=2x，
∴∠BOD=∠AOC=x，
∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，
∴x+2x=90，解得x=30，
∴∠BOD=30°，∴∠AOD=150°.21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
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第三讲 《相交线与平行线》单元复习导学案
一、复习（知识体系）
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二、考点精讲
考点一：相交线
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数.
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例2 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．21cnjy.com
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例3.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．判断OD与AB的位置关系，并说明理由．www.21-cn-jy.com
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考点二：点到直线的距离
例4.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.【来源：21·世纪·教育·网】
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考点三：平行线的性质与判定
例5 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分 ( http: / / www.21cnjy.com )别与AB，CD相交于点O，M，射线OP在∠AOE的内部，且OP⊥EF，垂足为点O.若∠AOP＝30°，求∠EMD的度数.
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例6 如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC.21世纪教育网版权所有
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例7.如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
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考点四：平移
例8 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长 21教育网
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考点五：相交线中的思想方法（方程思想、转化思想）
例9.如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD＝3∠AOF，∠AOC＝120°，求∠BOE的度数．2·1·c·n·j·y
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例10.如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯 ( http: / / www.21cnjy.com )铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？21·世纪*教育网
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三、知识精练
（一）选择题
1.如图，AD为△ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
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2．下列说法中不正确的是（ ）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）
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A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4.如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
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A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
5.如图，在一块长为12m ( http: / / www.21cnjy.com )，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是 ( )21·cn·jy·com
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A. 70m2 B. 60m2 C. 48m2 D. 18m2
（二）填空题
1.如图，△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，若AC=3cm，则A′C=_________cm．
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2.如图，∠1=∠2，∠A=75°，则∠ADC=__________
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3．如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．
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4.如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=_____°．
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5.如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=120°，∠3=130°，则∠1=________度．
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（三）解答题
1.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F.请求出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．
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2.如图，直线AB与CD相交于点O， ，，求的度数．
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人教版初中七年级数学下册期末复习
第三讲 《相交线与平行线》单元复习导学案
一、复习（知识体系）
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二、考点精讲
考点一：相交线
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数.
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【答案】65°
【解析】试题分析：直接利用邻补角的定义得出∠BOE=65°，再根据对顶角相等，即可得出答案．
试题解析：∵直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD
∴∠BOC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠BOE=65°，
∴∠2=∠BOE=65°．
例2 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．www.21-cn-jy.com
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( http: / / www.21cnjy.com )例3.如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．判断OD与AB的位置关系，并说明理由．2·1·c·n·j·y
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【答案】OD⊥AB，理由见解析.
【解析】试题分析：利用∠AOC=∠BOC及补角的性质就可求出∠COD的度数；求出∠AOD的度数就可知道OD与AB的位置关系．【来源：21·世纪·教育·网】
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考点二：点到直线的距离
例4.如图,AC⊥BC,C为垂足, ( http: / / www.21cnjy.com )CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是_________.www-2-1-cnjy-com
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【答案】 4.8 6 6.4 10
【解析】试题分析：点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
试题解析：点C到直线AB的垂线段是CD，所以线段CD的长是点C到直线AB的距离，即点C到AB的距离是4.8；2-1-c-n-j-y
点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是6；
点B到直线CD的垂线段是BD，所以线段BD的长是点B到直线CD的距离，即点B到CD的距离是6.4；
点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是10，
故答案为：4.8，6，6.4，10．
考点三：平行线的性质与判定
例5 如图，已知直线AB∥CD，直线EF ( http: / / www.21cnjy.com )分别与AB，CD相交于点O，M，射线OP在∠AOE的内部，且OP⊥EF，垂足为点O.若∠AOP＝30°，求∠EMD的度数.
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( http: / / www.21cnjy.com )例6 如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC.21·世纪*教育网
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【答案】证明见解析
【解析】试题分析：先根据角平分线定义可证明∠1=∠2，进而利用平行线的判定方法得出答案．
试题解析：证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠FBC.
∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠ADE.
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＋∠FBC＝∠2＋∠ADE，
∴2∠1＝2∠2，即∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，
∴AB∥DC.
例7.如图，∠AFD=∠1，AC∥DE．
(1)试说明：DF∥BC；
(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
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【答案】（1）证明见解析；（2）68°.
【解析】试题分析：（1）由AC∥DE得∠1=∠C，而∠AFD=∠1，故∠AFD=∠C，故可得证；
（2）由（1）得∠EDF=68°，又DF平分∠ADE，所以∠EDA=68°，结合DF∥BC即可求出结果．21cnjy.com
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∴∠B=∠ADE-∠1=68°+68°-68°=68°.
考点四：平移
例8 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长 21*cnjy*com
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【答案】16．
【解析】试题分析：根据平移的规律，判断出四边形组成，然后可求周长.
试题解析：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
考点五：相交线中的思想方法（方程思想、转化思想）
例9.如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD＝3∠AOF，∠AOC＝120°，求∠BOE的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】∠BOE＝20°
【解析】试题分析：
设∠AOF=x，根据题意，由∠COD=180°，列方程求解.
试题解析：
解：设∠AOF=x，则∠AOD=3x，根据题意得：
3x+120°=180°，解得x=20°.
所以∠AOF=20°，
因为∠BOE=∠AOF，所以∠BOE=20°.
所以∠BOE=20°.
例10.如图，凯瑞酒店准备进行装修， ( http: / / www.21cnjy.com )把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？【出处：21教育名师】
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【答案】图形见解析，购买地毯至少需要14×2×60=1 680(元).
【解析】试题分析：根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【版权所有：21教育】
试题解析：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为8米，6米，
即可得地毯的长度为6+8=14(米),地毯的面积为14×2=28(平方米)，
故买地毯至少需要28×60=1680(元).
购买地毯需要1680元.
三、知识精练
（一）选择题
1.如图，AD为△ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
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【答案】B
【解析】从图中可以看到共有三条，A到BC的垂线段AD,B到AD的垂线段BD,C到AD的垂线段CD. 21教育名师原创作品
2．下列说法中不正确的是（ ）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误
③两点之间线段最短，正确；
④点B在线段AC上，如果AB=BC，则点B是线段AC的中点，正确；
故选：B．
3．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60°，则∠2等于（ ）
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A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
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4.如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，若∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
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A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣60°=30°．
故选B．
5.如图，在一块长为12m，宽为6m的 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是 ( )21·cn·jy·com
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A. 70m2 B. 60m2 C. 48m2 D. 18m2
【答案】B
【解析】草地面积=长方形面积-小路面积=12×6-2×6=60（m2），
故选B.
（二）填空题
1.如图，△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，若AC=3cm，则A′C=_________cm．
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【答案】1
【解析】试题分析：∵将△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，∴AA′=2cm，又∵AC=3cm，∴A′C=AC﹣AA′=1cm．21世纪教育网版权所有
2.如图，∠1=∠2，∠A=75°，则∠ADC=__________
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【答案】105°
【解析】∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=75°，
∴∠ADC=105°.
故答案为：105°
3．如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．
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【答案】AB∥CD
【解析】∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
故答案为AB∥CD.
4.如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=_____°．
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【答案】360
【解析】过点P作PA∥a，如图所示：
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∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：360．
5.如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=120°，∠3=130°，则∠1=________度．
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（三）解答题
1.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F.请求出∠A与∠D的数量关系，并说明理由．
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【答案】∠A＝∠D，理由见解析
【解析】试题分析：设∠1的对顶角为∠3 ( http: / / www.21cnjy.com )，由∠1＝∠2，得∠3＝∠2，从而BF∥CE，得∠F＝∠DEC，由∠F＝∠C得∠DEC＝∠C，从而FD∥AC，可得结论.21教育网
试题解析：∠A＝∠D.理由如下：
设∠1的对顶角为∠3，
∴∠1＝∠3.
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3.
∴BF∥CE.
∴∠F＝∠DEC.
∵∠F＝∠C，
∴∠DEC＝∠C.
∴FD∥AC.
∴∠A＝∠D.
2.如图，直线AB与CD相交于点O， ，，求的度数．
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【答案】150°．
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