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人教版初中七年级数学下册期末复习
第一讲 相交线与平行线中的角度计算
识
知
体
系
点
考
精
讲
考点一 利用基本概念求角度
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数．
解：∵直线AB，CD，EF相交于点O，
且AB⊥CD ∴∠BOC=90°，∵∠1=25°，
∴∠BOE=65°，∴∠2=∠BOE=65°．
例2 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．
解：∵∠DOE=3∠COE ，∠DOE+∠COE=180°，
∴3∠COE+∠COE=180°，∴∠COE=45°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOC=45°=∠BOD
∴∠BOC=180°-∠BOD=135°
例3 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．
解：∵∠COE=90°，∠COF=34°，
∴∠EOF=∠COE﹣∠COF=56°，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠AOC=112°﹣90°=22°，
∵∠BOD和∠AOC是对顶角，∴∠BOD=22°．
考点二 利用基本性质求角度
例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G是AB上一点，GO⊥EF于点O，∠1=60°，求∠2的度数．
解析：∵OG⊥EF， ∴∠EOG=90°，
∴∠2+∠GEO=90°．
又∵AB∥CD， ∴∠GEF=∠1=60°．
∴∠2=90°-60°=30°．
例5 如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=2∠AOC，求∠DOF.
考点三：利用方程求角度
解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝2x°．
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴x+2x＝180，解得：x＝60，∴∠AOC＝60°．
∵∠DOF＝∠EOC（对顶角相等），
∴∠DOF＝∠EOC＝∠AOC－∠AOE＝60°－40°＝20°．
解：设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,
则∠3的度数为8x°,根据题意可得
x°+x°+8x°=180°，解得x=18.
即∠1=∠2=18°，
而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）.
故∠4=36°.
例6 如图所示， 交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,
求∠4的度数.
）
）
）
）
1
2
3
4
例7 两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别为________．
解：如图1，AB//DE，BC//EF,
假设∠B为x°，则∠E=2x°-30°，
∵AB//DE， ∴∠1=∠B=x°，又∠1=∠2，∴∠1=∠2=x°，
又∵BC//EF， ∴∠2+∠E=180°，
∴ x+2x-30=180，解得x=70，
∴∠B=70°，∠E=2×70°-30°=110°.
例7 两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别为_____ _ __．
解：如图2，AB//DE，BC//EF，
假设∠B为x°，则∠E=2x°-30°，
∵AB//DE， ∴∠1=∠B=x°，又∵BC//EF,
∴∠1=∠E，即x°=2x°-30°解得x=30，
∴∠B=∠E=70°.
故答案为：70°，110°或30°，30°.
70°，110°或30°，30°
例8 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a与b平行，∠2=58°，则∠1的度数为________°
解：延长AB交直线b于点E，
∵AB∥CD， ∴∠2=∠AEC=58°，
∵a∥b，
∴∠AEC=∠1=58°，
故答案为：58．
考点三：构造基本图形求角度
58
例9 如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使
∠1＝115°，则∠2＝________．
解：过E作EF∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=180°，
∴∠3=180°-115°=65°，
∴∠4=90°-∠3=90°-65°=25°，
∴∠2=180°-∠4=180°-25°=155°.
155°
知
识
精
练
（一）选择题
1.如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( )
A. 90° B. 120°
C. 180° D. 360°
2.如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）
A. 140° B. 120°
C. 60° D. 50°
C
A
3.如图,直线AB与直线CD相交于点O,已OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是（ ）
A. 125° B. 155°
C. 145° D. 135°
4．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 30°或150°
D
D
1.如图，已知AO⊥CO，BO⊥DO，垂足为点O，∠COD=35 ，则∠AOB=__________．
2.如图,在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=150°，则∠B的度数为________．
（二）填空题
145°
60°
3.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．
4.如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝________°.
47°
200
1.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数．
（三）解答题
解：∵EO⊥AB， ∴∠EOA=90°，
∴∠EOC+∠AOD=90°，
∵∠EOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOD=90°× =55°，
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°．
2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，∠BDC＝82°，DE∥BC.
求：(1)∠EDC的度数；(2)∠B的度数．
解：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝24°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝24°.
2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，∠BDC＝82°，DE∥BC.
求：(1)∠EDC的度数；(2)∠B的度数．
解：（2）∵∠BDC＝82°，∠EDC＝24°，
∴∠BDE＝∠BDC＋∠EDC＝106°.
∵DE∥BC，
∴∠B＝180°－∠BDE＝74°.21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
人教版初中七年级数学下册期末复习
第一讲 相交线与平行线的角度计算导学案
一、复习（知识体系）
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二、考点精讲
考点一：利用基本概念求角度
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数？
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例2 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．21教育网
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考点二：利用基本性质求角度
例3 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．21·cn·jy·com
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例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G是AB上一点，GO⊥EF于点O，∠1=60°，求∠2的度数．www.21-cn-jy.com
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考点三：利用方程求角度
例5 如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=2∠AOC，求∠DOF.
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例6 如图所示， l1，l2，,l3 交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.
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例7两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别为________．2·1·c·n·j·y
考点四：构造基本图形（平行中的三线八角）
例8 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a与b平行，∠2=58°，则∠1的度数为________°【来源：21·世纪·教育·网】
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例9 如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使∠1＝115°，则∠2＝________．
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三、知识精练
（一）选择题
1．如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( )
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A. 90° B. 120° C. 180° D. 360°
2．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）
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A. 140° B. 120° C. 60° D. 50°
3．如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是（ ）
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A. 125° B. 155° C. 145° D. 135°
4．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
（二）填空题
1.如图，已知AO⊥CO，BO⊥DO，垂足为点O，∠COD=35 ，则∠AOB=__________
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2.如图,在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=150°，则∠B的度数为________.
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3．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．
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4.如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝________°.
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（三）解答题
1.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数． 21cnjy.com
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2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，∠BDC＝82°，DE∥BC.求：
(1)∠EDC的度数；
(2)∠B的度数．
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人教版初中七年级数学下册期末复习
第一讲 相交线与平行线的角度计算导学案
一、复习（知识体系）
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二、考点精讲
考点一：利用基本概念求角度
例1 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数？
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【答案】65°
【解析】试题分析：直接利用邻补角的定义得出∠BOE=65°，再根据对顶角相等，即可得出答案．
试题解析：∵直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD
∴∠BOC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠BOE=65°，
∴∠2=∠BOE=65°．
例2 如图，已知直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠DOE＝3∠COE，求∠BOC的度数．21教育网
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考点二：利用基本性质求角度
例3 已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠AOC和∠BOD的度数．21世纪教育网版权所有
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【答案】∠AOC=22°，∠BOD=22°．
【解析】试题分析：
由∠COE是直角，∠COF=34°易得∠EO ( http: / / www.21cnjy.com )F=56°，结合OF平分∠AOE可得∠AOE=112°，∠AOC=22°，最后由∠BOD和∠AOC是对顶角可得∠BOD=22°.www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )例4 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G是AB上一点，GO⊥EF于点O，∠1=60°，求∠2的度数．2-1-c-n-j-y
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【答案】30°
【解析】试题分析：先根据垂直的定义得出∠EOG=90°，再由三角形内角和定理得出∠2+∠GEO=90°，再根据平行线的性质即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：解：∵OG⊥EF，（已知）
∴∠EOG=90°，（垂直的定义）
∴∠2+∠GEO=90°．（三角形内角和定理）
又∵AB∥CD，（已知）
∴∠GEF=∠1=60°．（两直线平行，内错角相等）
∴∠2=90°-60°=30°．（等式的性质）
考点三：利用方程求角度
例5 如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=2∠AOC，求∠DOF.
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例6 如图所示， l1，l2，,l3 交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.
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【答案】见解析
【解析】设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,
则∠3的度数为8x°,根据题意可得
x°+x°+8x°=180°，解得x=18.
即∠1=∠2=18°，
而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）.
故∠4=36°.
例7两个角的两边分别平行，若其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别为________．21·cn·jy·com
【答案】70°，110°或30°，30°
【解析】（1）如图（1），
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由题意知：AB//DE，BC//EF,
假设∠B为x°，则∠E=2x°-30°，
∵AB//DE， ∴∠1=∠B=x°，
又∠1=∠2，∴∠1=∠2=x°，
( http: / / www.21cnjy.com )∴∠B=∠E=70°.
故答案为：70°，110°或30°，30°.
点睛：
（1）本题难点在于没有图象，需要根据题意自行作图求解，易错点是考虑不周全，漏掉其中一种情况.
（2）无图象几何题一般都会如本题设这样的陷阱，所以碰到时一定要慎重.
考点四：构造基本图形（平行中的三线八角）
例8 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a与b平行，∠2=58°，则∠1的度数为________°21cnjy.com
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【答案】58
【解析】试题解析：延长AB交直线b于点E，
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∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEC=58°，
∵a∥b，
∴∠AEC=∠1=58°，
故答案为：58．
例9 如图，沿虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，使∠1＝115°，则∠2＝________．
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三、知识精练
（一）选择题
1．如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( )
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A. 90° B. 120° C. 180° D. 360°
【答案】C
【解析】根据对顶角相等得出∠3=∠AOD，根据平角定义求出即可．
解：∵∠3=∠AOD，
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠AOD+∠2=180°.
故选C.
2．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）
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A. 140° B. 120° C. 60° D. 50°
【答案】A
【解析】根据邻补角互补得：∠2=180°—∠1=180°—40°=140°.故选A.
3．如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是（ ）
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A. 125° B. 155° C. 145° D. 135°
【答案】D
【解析】因为∠BOD=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OC，∠BOD=45°,所以∠AOC=45°，所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°，故选D.2·1·c·n·j·y
4．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )．
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°
【答案】D
【解析】∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°，
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外，
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°，
故选D．
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（二）填空题
1.如图，已知AO⊥CO，BO⊥DO，垂足为点O，∠COD=35 ，则∠AOB=__________
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【答案】145
【解析】根据垂直的定义， ( http: / / www.21cnjy.com )由AO⊥CO，BO⊥DO，可得∠DOB=∠AOC=90°，然后根据互余两角的性质，可知∠BOC=90°-35°=55°，然后根据角的和差关系，可得∠AOB=90°+55°=145°.
故答案为：145°.
点睛：此题主要考查了垂直的定义和互余两角的关系，属于基础题，注意仔细观察图形，明确角之间的和差关系是关键．www.21-cn-jy.com
2.如图,在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=150°，则∠B的度数为________.
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【答案】60°
【解析】∵∠1=150°，
∴∠EDC ( http: / / www.21cnjy.com )=180°-150°=30°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=30°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°．
故答案为：60°．21·世纪*教育网
3．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．
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【答案】47°
【解析】如图，过直角顶点作直尺边的平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线，则有∠α=∠1，∠β=∠2，而∠1+∠2=90°，所以∠α+∠β=90°，又∠α=43°，所以∠β=47°，故答案为47°.【出处：21教育名师】
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4.如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝________°.
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【答案】200
【解析】过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：
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则l∥l1∥l2，
∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°+20°=200°；
故答案是：200°．21*cnjy*com
（三）解答题
1.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数． 【版权所有：21教育】
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【答案】145°
【解析】试题分析：
由EO⊥AB可得∠AOE=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )由此可得∠EOC+∠AOD=90°，结合∠EOC：∠AOD=7：11可求得∠AOD=55°，这样由∠DOE=∠EOA+∠AOD即可求得∠DOE的度数.
试题解析：
( http: / / www.21cnjy.com )答：∠DOE的度数是145°．
2.如图，已知CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，∠BDC＝82°，DE∥BC.求：
(1)∠EDC的度数；
(2)∠B的度数．
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【答案】（1）24°；（2）74°
【解析】（1）由CD是∠ACB的平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACB=48°，根据角平分线的性质，即可求得∠DCB的度数，又由DE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠EDC的度数；
（2）根据三角形的内角和即可求得∠B的度数．
解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝48°，
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