2018版题型突破高考数学（文）解答题揭秘高端精品专题3.9+压轴大题突破练09（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养
解析几何大题1 直线与椭圆的位置关系，当满足时，求的取值范围. 考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，以根与系数的关系为桥梁，标的参数间的关系.
解析几何大题2 本题的第一问求抛物线方程，涉及圆与抛物线，需借助数形结合找准参数间的关系. 圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
解析几何大题3 第二问求椭圆的离心率，需数形结合分析几何性质，直线与圆锥曲线相交时，一般采用设而不求的思想方法，但如果知道其中一个点的坐标，也可根据根与系数的关系求出交点的坐标，本题就是采用的这种方法. 考查了转化与化归以及数形结合的思想，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
函数与导数大题1 1.导数的几何意义；2.证明不等式 本题需要二次求导，结合零点存在性定理求隐含极值点所满足的关系式，本题转化关系比较多，需注意.
函数与导数大题2 不等式证明时巧妙的进行了放缩 考查转化与化归的能力，转化题设所给的不等式，当时，进行放缩，根据不等式构造函数求最值.
函数与导数大题3 此题的第一问比较有特点，需要对抽象式子进行变形，不同定义域下的解析式的关系，第二问恒成立求参数转化为最值问题. 对抽象式子进行变形变为，求出解析式，注意结论的运用：①“对任意的，总存在，使不等式恒成立”等价于“”;②“对任意的，总存在，使等式恒成立”等价于“函数的值域是函数值域的子集”等．
一、解析几何大题
1．【2018河南高三4月适应性考试】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于不同两点，.为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
由，整理得.根据判别式大于零得，由
，求出代入椭圆方程化简得，再利用弦长公式及可得，综上可得结果.
∵，，
∴ ，
则， .
由点在椭圆上，得，化简得. ①
又由，即，
将，代入得，
化简，得，则，，∴. ②
由①，得，联立②，解得.
∴或，即.
2．【2018河北石家庄高三质检二】已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切.
（1）求该抛物线的方程.
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1) (2) 三角形面积最小值为4，此时直线的方程为
【试题解析】
（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线
因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，
且圆C过焦点F，
又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，
即
所以，即，抛物线F的方程为
（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为
设
得，，
对求导得，即
直线AP的方程为，即，
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
3．【2018山西太原高三二模】如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成， ， 是与的公共点，点， （均异于点， ）分别是， 上的动点．
（Ⅰ）若的最大值为，求半椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且， ，求半椭圆的离心率．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
试题解析;（Ⅰ）由已知得：当为半椭圆与轴的左交点， 为圆与轴的右交点时， 会取得最大值，即，解得，由图像可得，即，故半椭圆的方程为
．
（Ⅱ）设直线方程为， ， ，联立
得，故， ， ，又
，
且， ，故， ， ，
又，且， ，
，
解得，故，代入解得，故．
【点睛】
直线与二次曲线相交问题，常设直线方程，用直线方程中参数k,b表示交点的坐标，再依次表示相关点坐标，同时要注意点在曲线上的运算，是解题的关键。
二、函数与导数大题
1．【2018北京城六区高三一模】已知函数，其中．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）记的导函数为．当时，证明： 存在极小值点，且．
【答案】（1）0；（2）见解析
试题解析：
（1）
依题意，有 ，解得．
（2）令，
所以．
因为，所以与同号．
与在区间上的情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以若，存在，使得是的极小值点．
令，得，所以
14．【2018河北石家庄高三一模】已知函数， ，在处的切线方程为.
（1）求， ；
（2）若，证明： .
【答案】（1）， ；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于 的方程组，解出即可；
（2）由（1）可知， ，
由，可得，令， 利用导数研究其单调性可得
，
从而证明.
试题解析：（（1）由题意，所以，
又，所以，
若，则，与矛盾，故， .
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.
3．【2018四川高三“联测促改”统测】已知函数是偶函数，且满足，当时， ，当时， 的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）或
试题解析：
（1）∵，即，
∴，
∴，
当时， ，
∴当时， ，
∴.
又，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
令，解得．
∴实数的值为2．
（2）当时， ，
∴，
∴函数在单调递增，
∴当时， ．
又当时， ，
∴．
②当时， ,函数在区间单调递减，
∴，
同①可得，
解得；
综上或．
∴实数的取值范围．
点睛：
（1）解答（1）的关键是求出函数的解析式，然后根据导数判断出函数的单调性，在此基础上求得函数的值域，最后根据题中的条件建立方程后求得的值．
（2）注意结论的运用：①“对任意的，总存在，使不等式恒成立”等价于“”;②“对任意的，总存在，使等式恒成立”等价于“函数的值域是函数值域的子集”等．