2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题3.9+压轴大题突破练09（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养
解析几何大题1 本题第二问涉及多个点的设法，以及根据直线求交点，参数较多，所以消参的方法灵活多样. 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
解析几何大题2 本题的第一问求抛物线方程，涉及圆与抛物线，需借助数形结合找准参数间的关系. 圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
解析几何大题3 第二问求椭圆的离心率，需数形结合分析几何性质，直线与圆锥曲线相交时，一般采用设而不求的思想方法，但如果知道其中一个点的坐标，也可根据根与系数的关系求出交点的坐标，本题就是采用的这种方法. 考查了转化与化归以及数形结合的思想，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
函数与导数大题1 本题的第二问是证明含多元变量的不等式 本题考查了转化与化归的能力，利用做差构造函数，再结合第一问将多元变量转化为关于的一元变量，再构造函数利用导数求函数的最值，证明不等式.
函数与导数大题2 1.证明不等式2..利用不等关系求参数的取值范围 考查转化与化归的能力，转化题设所给的不等式，根据不等式构造函数，利用二次求导，再结合分类讨论的思想，判断不同情况下函数的单调性，求出参数的取值范围.
函数与导数大题3 1.分类讨论函数的单调性2.利用导数，分类讨论函数的零点个数3.分析法，分类讨论证明不等式 重点考查构造函数，分类讨论的思想，以及分析问题，解决问题的能力，
一、解析几何大题
1．【2018北京丰台区高三一模】已知点在椭圆： 上， 是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点， 关于原点O对称，直线， 分别交轴于， 两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．
所以， ，
所以椭圆的方程为．
当时， ，所以．
所以， ，
因为，所以，
所以．
因为，即， ，
所以，所以．
所以， ， 所以．
所以以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．
点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
2．【2018河北石家庄高三质检二】已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切.
（1）求该抛物线的方程.
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1) (2) 三角形面积最小值为4，此时直线的方程为
同理直线BP方程为
设，
联立AP与BP直线方程解得，即
所以，点P到直线AB的距离
所以三角形PAB面积，当仅当时取等号
综上：三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
3．【2018山西太原高三二模】如图，曲线由左半椭圆和圆在轴右侧的部分连接而成， ， 是与的公共点，点， （均异于点， ）分别是， 上的动点．
（Ⅰ）若的最大值为，求半椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且， ，求半椭圆的离心率．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
，
且， ，故， ， ，
又，且， ，
，
解得，故，代入解得，故．
【点睛】
直线与二次曲线相交问题，常设直线方程，用直线方程中参数k,b表示交点的坐标，再依次表示相关点坐标，同时要注意点在曲线上的运算，是解题的关键。
二、函数与导数大题
1．【2018河北保定高三一模】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明: .
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
②当即时， 恒成立，所以在上单调递增；
③当时，由于的两根为，
所以在为增函数，在为减函数，
综上： 时，函数在为增函数；
时，函数在为增函数，在为减函数；
思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
2．【2018东北三校高三联考二】已知函数，曲线在处的切线经过点.
（1）证明： ；
（2）若当时， ，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
（2）由题意知，当时， ，所以
从而当时， ，
由题意知，即，其中
设，其中
设，即，其中
则，其中
（1）当时，因为时， ，所以是增函数
从而当时， ，
所以是增函数，从而.
故当时符合题意.
3．【2018吉林四平高三质检】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)若,且在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为,单调减区间为.（2）见解析（3）
试题解析：(Ⅰ)由所以,
①当时，则有,函数在区间单调递增；
②当时， ,
所以函数的单调增区间为,单调减区间为,
综合①②的当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为,单调减区间为.
(Ⅱ)函数定义域为，
又,
令,
所以当且趋向0时， 趋向，随着的增长， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，故当且趋向时， 趋向，得到函数的草图如图所示，
①当时，函数有两个不同的零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数无零点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时， ,故对,
先分析法证明： ,
要证，
只需证,