2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题3.10+压轴大题突破练10（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养
解析几何大题1 本题主要考查的是椭圆的定义，标准方程以及几何性质，直线方程，两点间的距离公式等基础知识，但运算比较复杂，有一定的难点. 考查了学生的运算求解能力和推理论证能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用.
解析几何2 本题的第二问证明点在定圆上，转化为交轨法求交点轨迹的问题，参数比较多，运算比较复杂，有一定的难点. 考查了转化与化归以及数形结合的思想，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
解析几何3 本题的第一问是定点问题，第二问是最值问题，焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算．
函数与导数大题1 本题的第二问需要有非常强的构造能力和分析问题的能力，题目难度大. 在证明不等式时通过构造新函数，结合单调性证得大小关系，适当的放缩得出结论.
函数与导数大题2 本题的第二问是不等式的证明，利用换元法，将多变量转化为一个变量证明不等式. 考查导数在函数中的应用，不等式证明等问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.同时令 ，这样使得三个变（参）量的不等式证明变成了一个变量的不等式证明。这是处理多变（参）量的不等式证明的一个常见处理方法
函数与导数大题3 1.根据极值点求参数2.证明不等式，证明不等式时需要二次求导，并且含有隐藏零点. 本题考查了运用导数证明不等式问题，在证明过程中先求出导函数，然后二次求导，利用二阶导数的单调性判定一阶导数的取值情况，这里需要注意存在极值点，但算不出极值点的值时需要整体代入，然后化简，本题较难。
一、解析几何大题
1．【2018宁夏吴忠高三下学期模拟】如下图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， ，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设， 是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行， 与交于点，
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证： 是定值.
【答案】（1）；（2）定值
（2）由（1）知， ，又直线与平行，所以可设直线的方程为，直线的方程为.设， ， ， ，由得，解得.
故 ①
同理， ②
（i）由①②得 解得.
因为，故，所以直线的斜率为.
（ii）因为直线与平行，所以，于是，
故.由点在椭圆上知.
从而 .同理 ，因此 .
又由①②知， .
所以.因此是定值.
点睛：本题主要考查的是椭圆的定义，标准方程以及几何性质，直线方程，两点间的距离公式等基础知识。考查了学生的运算求解能力和推理论证能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用，有一定的难度。
3．【2018四川雅安中学高三一模】已知椭圆的左右顶点分别为， ，左右焦点为分别为， ，焦距为，离心率为.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直， 为直线与的交点， 为直线与直线的交点，求证：点在一个定圆上.
【答案】（1）（2）点 在定圆上
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
3. 【2018山东济南高三一模】在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.
（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点；
（2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
（1）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得：，
，，，
，
由已知：，所以，
∴直线的方程为，所以直线过定点.
（2）设，则，，
将带入：得：
，∴.
∵，∴，∴，
又∵ ，∴，
故的取值范围是：.
，将代入得：
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
二、函数与导数大题
1．【2018河北石家庄高三一模】已知函数， ，在处的切线方程为.
（1）求， ；
（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .
【答案】（1）， ；（2）见解析
（2）由（Ⅰ）可知， ，
设在(-1，0)处的切线方程为，
易得， ，令
故， ，
设的根为，则，
又函数单调递减，故，故，
设在(0,0)处的切线方程为，易得，
令， ，
当时， ，
当时，
故函数在上单调递增，又，
所以当时， ，当时， ，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
， ，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故，
又，
.
点睛：本题主要考查了运用导数几何意义求出解析式和利用导数证明不等式成立，在证明不等式时通过构造新函数，结合单调性证得大小关系，适当的放缩得出结论，本题需要较强的构造和分析，较为困难，属于难题。
2．【2018四川广元高三第二次适应性统考】已知函数 .
（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个不同零点， ，且，求证： ，其中是的导函数.
【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）证明见解析.
试题解析：（Ⅰ）当时， ， ，切点坐标为，切线的斜率，∴切线方程为，即．
（Ⅱ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ，∴方程的两个根为， ，则，两式相减得，又， ，则，下证（*），即证明，令，∵，∴，即证明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函数，则，从而知，故（*）式，即成立.
3．【2018新疆乌鲁木齐高三第二次质监】已知.
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）证明：: 时， .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.