类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析几何大题1
本题第一问巧用椭圆定义,第二问求斜率和为定值,涉及根与系数的关系..
考查转化与化归的思想方法,由题设可得 ,将圆的性质转化为椭圆定义,考查化简与计算的能力,直线方程与圆锥曲线联立,并且将问题转化为利用根与系数的关系求解.
解析几何大题2
本题的第二问是求四边形面积的最值,如何表示面积,以及如何求最值都是难点.
考查了函数与方程的思想方法,利用直线方程与圆锥曲线方程联立,将四边形的面积用根与系数的关系表示,面积中带有根号的分式时,可以考虑换元法求其最值,或者考虑用均值不等式、构造函数利用单调性等方法处理.
解析几何大题3
本题的第二问是抛物线与圆结合的问题,问题复杂,还有题设中的两条直线互相垂直,凡是涉及的量,只需令.
根据数形结合巧用定义,以及转化与化归的能力,考查函数与方程,不等式的思想,计算和化简变形的能力,根据联立方程求交点的坐标,表示面积,再利用基本不等式求面积比是最值
函数与导数大题1
1.利用函数有两个零点,求参数的取值范围,2.不等式恒成立求参数的取值范围,.
两问都涉及参变分离后构造函数,考查转化与化归的思想,第二问涉及二次求导,以及利用零点存在性定理求隐含零点,以及求值的最值的求解,需要有较强的分析和解决问题的能力..
函数与导数大题2
1.函数有两个极值点求参数的取值范围,2.函数有零点,求整数的最大值.
本题的第二问参变分离后转化为函数的最值,构造函数后需求二次导数,并且结合零点存在性定理,求最值,深入考察转化与化归,分析问题解决问题的能力.
函数与导数大题3
1.讨论函数的极值点;2.两个函数没有公共点求参数的取值范围.
两问都需要分类讨论求参数的取值范围,并且第二问还需根据数形结合求参数的取值范围.
一、解析几何大题
1.【2018江西高三教学质监】已知椭圆: 的左、右焦点分别为、,以点为圆心,以3为半径的圆与以点为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.设点,在中, .
(1)求椭圆的方程;LIANGW
(2)设过点的直线不经过点,且与椭圆相交于, 两点,若直线与的斜率分别为, ,求的值.
【答案】(1) ;(2)-1.
试题解析:
(1)设两圆的一个交点为,则, ,由在椭圆上可得,则,①
由,∴,②
联立①②,解得,∴椭圆方程为;
(2)直线的斜率显然存在,设直线l方程: ,交点,
由 .
,
,
.
2.【2018东北四市高三一模】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知与为平面内的两个定点,过点的直线与椭圆交于, 两点,求四边形面积的最大值.
【答案】(1)(2)6
试题解析:
解:(1)∵,∴,
椭圆的方程为,
将代入得,∴,
∴椭圆的方程为.
点到直线的距离为,
从而四边形的面积(或)
令, ,
有 ,设函数, ,所以在上单调递增,
有,故,
所以当,即时,四边形面积的最大值为6.
点睛:四边形的面积可以用对角线乘积的一半表示,也可以分割为三角形处理,当面积中带有根号的分式时,可以考虑换元法求其最值,或者考虑用均值不等式、构造函数利用单调性等方法处理.
3.【2018福建宁德高三质检一】已知抛物线: 的焦点为,圆: ,过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点,且的面积为.
(1)求抛物线的方程和圆的方程;
(2)若直线、均过坐标原点,且互相垂直, 交抛物线于,交圆于, 交抛物线于,交圆于,求与的面积比的最小值.
【答案】(1) 抛物线方程为: ,圆方程为: (2) 当时, 与的面积比的取到最小值4.
试题解析:(1)因为抛物线焦点F坐标为 , 则,
联立 ∴或,
故,
∴,
即,
∴抛物线方程为: .
圆方程为: ,
(2) 显然、的斜率必须存在且均不为0,设的方程为,
则方程为.(注:末说明斜率不给分)
由得=0,或 同理可求得.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭抛物线方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积比的最值的.
二、函数与导数大题
1.【2018湖南张家界高三三模】已知函数.
(Ⅰ)若函数有两个零点,求的取值范围;
(Ⅱ)证明:当时,关于的不等式在上恒成立.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意,可利用导数法来进行求解,由,转换为,即将问题转化为曲线与直线有两交点,求的取值范围,构造函数,求函数的单调区间,再求函数的最值,从而问题可得解;
(Ⅱ)由题意,将问题转化为:当时,不等式在上恒成立,可构造函数,并证明其最大值在区间上成立即可.
(Ⅱ)∵,∴.
设, ,∴,
设,∴,则在上单调递增,
又, ,
∴,使得,即,∴.
当时, , ;当时, , ;
∴函数在上单调递增,在上单调递减,
∴ .
设,∴,
当时, 恒成立,则在上单调递增,
∴,即当时, ,
∴当时,关于的不等式在上恒成立.
2.【2018江西高三质监】已知函数.
(1)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;
(2)若关于的方程, 有实数解,求整数的最大值.
【答案】(1) ;(2)0.
试题解析:
(1) ,则,
得方程有两个不等的正实数根,
即,
(2)方程,即,记函数,, ,
令 ,,
单调递减, ,
存在,使得,即,
当,, 递增, , 递减,
,即,,
故,整数的最大值为
点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
3.【2018安徽宣城高三调研二】已知函数 (, 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
【答案】(1)见解析(2)的最大值为1.
试题解析:(Ⅰ) ,
①当时, , 为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得, .
, ; , .
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当, 在处取得极小值,无极大值.
②当时,方程化为.
令,则有
令,得,
当变化时, 的变化情况如下表:
-1
-
0
+
↘
↗
当时, ,同时当趋于时, 趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程无实数解,
解得的取值范围是.
综上,得的最大值为1.