2018版题型突破高考数学（文）解答题揭秘高端精品专题3.7+压轴大题突破练07（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析几何大题1
本题的第二问是定点和定值的问题，并且是开放性的问题.
本题考查了转化与化归的思想，将转化为与无关的式子，并且讨论斜率存在和不存在两种情况
解析几何大题2
本题是求直线与两个抛物线的位置关系，本题的第二问是求面积比是定值，问题的关键是求出两个抛物线的交点.
考查了转化与化归的思想，本题看似复杂，当两个抛物线相交时，并且有两条切线，问题的关键是求出交点的坐标，将问题转化为交点处的切线方程，问题迎刃而解.
解析几何大题3
第一问是直线，圆，抛物线，本题第二问考查直线过定点的问题，尤其是对于当题设出现两条直线，并且两条直线相互垂直时，求的坐标，可以令，这样问题就简单了.
问题的第一问是直线与圆，抛物线的位置关系，一般来说涉及直线与圆时，更多的是利用直线与圆的性质解决问题，直线与抛物线相交时，一般方程联立，还考查了转化与化归的思想，比如第一问，问题转化为焦半径公式以及等差中项的式子.
函数与导数大题1
1.讨论函数的单调性；2.证明不等式.
讨论函数的单调性时考查了分类讨论的思想，本题的第二问利用导数比较函数大小，需构造函数，导数与零点存在性定理结合求隐藏的零点，判断函数的单调性和求极值以及最值.
函数与导数大题2
1.导数的几何意义求切线方程；2.讨论函数的单调区间；3.根据任意存在性问题求参数的取值范围.
第三问对于这种任意存在的不等式求参数，转化为两边分别求最值解决问题，第二问讨论函数的单调性，需分类讨论参数的取值.
函数与导数大题3
1.根据恒成立求参数取值；
2.分析法和导数结合证明不等式.
利用分析法逐步转化不等式，利用的关系转化为一个变量，或者是设，利用换元转化为一个变量的函数求解.
一、解析几何大题
1．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与点构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点，使为定值.
(2)假设存在满足条件的点，当直线的斜率存在时设其斜率为k，则的方程为，由
，得，设，，易得：，，则，，所以

要使为定值，令，即，此时.
当直线l的斜率不存在时，不妨取，由，可得，，所以，综上，存在点，使为定值.
2．【2018河北邯郸高三一模】已知，抛物线： 与抛物线： 异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.
（1）若直线与抛物线交于点， ，且，求；
（2）证明： 的面积与四边形的面积之比为定值.
【答案】（1）（2）见解析
试题解析：（1）解：由，消去得.
设， 的坐标分别为， ，
则， .
∴ ，∵，∴.
∴ .
（2）证明：由，得或，则.
设直线： ，与联立得.
由，得，∴.
设直线： ，与联立得.
由，得，∴.
故直线： ，直线： ，
从而不难求得， ， ，
∴， ，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.
3．【2018湖北黄冈、黄山等八市联考】如图，已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，圆，直线与圆和抛物线自左至右顺次交于四点、、、,
（1）若线段、、的长按此顺序构成一个等差数列，求正数的值；
（2）若直线过抛物线焦点且垂直于直线，直线与抛物线交于点、，设、的中点分别为、，求证：直线过定点.
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）由题意可得，所以,圆的半径为1，设，，由得， ，

二、函数与导数大题
1．【2018山西榆社中学高三模拟】已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）比较与的大小，并加以证明.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由题意，可采用导数法进行探究讨论，由函数求出其导数，根据导数解析式中参数及未知数的范围，进行分类讨论，从而对导数符号进行判断，从而问题可得解；
（2）根据题意，可构造函数，利用导数法，通过研究函数的单调性及单调区间，求出其最小值，并证明，从而问题可得解.
试题解析：（1），
当，即时， ，
∴在上单调递减；
当，即时，令，得；
令，得.
故在上单调递增，在单调递减.
点睛：此题主要考查导数在研究函数的单调性、最值、以及不等式的证明中的应用，属于中高档题型，也是常考题.利用导数研究函数单调性的一般步骤，第一确定函数的定义域；第二求函数的导数；第三若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式或；若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式或在单调区间内恒成立的问题求解，在求解过程中要注意分类讨论.
2．【2018河南商丘高三二模】已知函数，其中为常数且.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.
试题解析：
(1)当时，，
=
切线的斜率，又，
故切线的方程为，
即.
（2）且,
综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在、上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，由（2）知，
又
，
在上为增函数.
.
依题意有
故的取值范围为.
点睛：存在，使成立，即,因为不等式两边的自变量不同.如果是存在x使得f(x)3．【2018辽宁大连高三一模】已知函数，.
若恒成立，求的取值范围；
已知，是函数的两个零点，且，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
方法一：，，
，
即
，
欲证：，只需证明，只需证明，
只需证明.
方法二：由（1）可知，若函数 有两个零点，有，则，且，
要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由
，
只需证，
又，
即证
即证，.
令，，
有在上单调递增，，.
所以原不等式成立.
点睛：本题考查了运用导数证明恒成立和不等式问题，在证明恒成立时构造新函数，求导利用单调性即可证明，在证明不等式时，有一定难度，注意题目的转化，构造或是利用单调性转化为，本题属于难题。