2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题3.6+压轴大题突破练06（解析几何+函数与导数）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
解析几何大题1
考查了定值和定点问题，尤其是定点的求法，先有特殊直线的交点，从而联系到一般.
考查了函数与方式的思想方法，转化与化归的思想方法，由特殊到一般以及化简与计算的能力，直线方程与圆锥曲线联立，并且将问题转化为利用根与系数的关系求解.
解析几何大题2
考查了圆锥曲线中的最值问题，方法灵活多样.
考查了函数与方程的思想方法，利用直线方程与圆锥曲线方程联立，将四边形的面积用根与系数的关系表示，利用换元将复杂函数表示为简单函数，即考查了转化与化归的能力，最后利用导数或基本不等式求最值.
解析几何大题3
考查了圆与椭圆，以及直线的位置关系，考查非常巧妙，并且用到了猜想与证明.
本题的第二问是判断直线与圆的位置关系，先猜想再证明，将问题转化为圆心到直线的距离与半径比较，即考查转化与化归的思想以及代数式的化简与计算的能力.
函数与导数大题1
本题的两问都涉及构造函数，第二问还涉及二次求导，判断函数的单调性以及求函数的极值和最值.
构造函数是本题的技巧，考查转化与化归的思想，以及分析问题和解决问题的能力，以及函数与方程的思想方法，当一次求导不能判断函数的单调性时，可二次求导判断函数的单调性以及最值.
函数与导数大题2
利用分析法证明不等式，逐步转化为可证明的不等式.
用导数分析函数，一定要先求定义域，在定义域范围内研究，这是前提。由，使得要证.转化为只需证，是本题的一个关键，另一个关键是用表示参数,再回代消去参数，同时令，这样使得三个变（参）量的不等式证明变成了一个变量的不等式证明。这是处理多变（参）量的不等式证明的一个常见处理方法。
函数与导数大题3
导数与数列求和证明不等关系
根据第二问的结论当时， ，故当时， ，
故，故.
一、解析几何大题
1．【2018陕西西安八校联考】已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明： 为定值；
（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
（2）由得， ，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当变化时， 的值为定值；
（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：
∵，
∵，
∴，即三点共线.
同理可得三点共线，
则猜想成立，即当变化时， 与相交于定点.
点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．【2018辽宁大连高三一模】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.
求椭圆的方程；
已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）（2）6

故，故
当且仅当即时等号成立，
四边形面积的最大值为.
方法二：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
有，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，
有，
函数，

故函数，在上单调递增，
有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.

3．【2018北京市城六区高三一模】已知圆和椭圆， 是椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；
（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆的标准方程为．
所以， ，从而．
因此， ．
故椭圆的离心率．
椭圆的左焦点的坐标为．
（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下：
设，其中，则，
依题意可设，则．
直线的方程为，
整理为 ．
所以圆的圆心到直线的距离．
因为．
所以，
即 ，
所以 直线与圆相切．
二、函数与导数大题
1．【2018四川德阳高三二诊】已知函数且.
（1）求实数的值；
（2）令在上的最小值为，求证：.
【答案】（1）.（2）见解析.
当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即 .
所以要使在时恒成立，则只需，
亦即，
令，则，
所以当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增.
又，所以满足条件的只有2，
即.
（2）由（1）知 ，
所以，
令，则，
由于，所以，即在上单调递增；又，，
所以，使得，且当时，；当时，，
即在上单调递减；在上单调递增.
所以 .（∵）
即，所以 ，
即.
2．【2018安徽江淮十校联考三】已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；
（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明： .
【答案】(1) 和.(2)证明见解析.
（2）由 ，
∵，只要证，
只需证 ，
不妨设，即证，令，
只需证，令 ，
则 在上恒成立；
所以在上单调递增， ，即证.
【点睛】
用导数分析函数，一定要先求定义域，在定义域范围内研究，这是前提。由，使得要证.转化为只需证，是本题的一个关键，另一个关键是用表示参数,再回代消去参数，同时令，这样使得三个变（参）量的不等式证明变成了一个变量的不等式证明。这是处理多变（参）量的不等式证明的一个常见处理方法。
3．【2018贵州凯里一中二模】已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若数列的前项和， ，求证：数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)证明见解析.
①当时， ,故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
②当时，由于， ，根据零点存在定理，
必存在，使得，由于在上为增函数，
故当时， ,故在上为减函数，
所以当时， ,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为