2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.4+不等式证明

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题04 不等式证明
1．已知函数,直线与曲线切于点且与曲线切于点.
(1) 求的值和直线的方程；
(2)求证： .
【答案】（1）, ；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）分别求出的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程；
(2)由(1)知， ，则即为证明.
设,通过求导研究函数的性质可得
.当时，等号成立.再设，则.命题得证.
，即.
依题意，有,直线方程为.
(2)由，得
.
.
由(1)知， ，则
.
设,则.
当时， ；
当时， .
在单调递减，在单调递增，
.当时，等号成立.
设，则.
当且仅当时，等号成立.
又与不同时为0， .
.
故.
2．已知函数.
（Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.
【答案】（1）（2）
（Ⅱ）由题意，将问题转化为：当时，不等式在上恒成立，可构造函数，并证明其最大值在区间上成立即可.
试题解析：（Ⅰ）令，∴；
令，∴，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，∴.
要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，
则，即实数的取值范围为.
又， ，
∴，使得，即，∴.
当时， ， ；当时， ， ；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴ .
设，∴，
当时， 恒成立，则在上单调递增，
∴，即当时， ，
∴当时，关于的不等式在上恒成立.
3．已知二次函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证： .
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）由题
则，此时，讨论的单调性可得， 在处取得极大值，则一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.
设是函数的一个极大值点，则
所以， ，由所以，
此时可证明.
当时，由得，
所以当时， 单调递减
当时， 单调递增.
综上所述，
当时， 在上单调递增；
当时，
当时， 单调递减；
当时， 单调递增.
当时， 为增函数；
当时， 为减函数；
所以， 在处取得极大值，
一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.
设是函数的一个极大值点，则
所以，
又
所以，
此时
所以.
4．已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．
（1）求的值，并求函数的最值；
（2）当时，求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由，可求得b=1,代入函数得，所以分0和0讨论单调性，再求得函数最值。（2）构造函数，只需证 在R上恒成立，显然时，符合，当时，，导函数零点，由单调可知下证 ，在区间上恒成立。
试题解析：（1）由题得，，
根据题意，得，∴，
∴．
当时，，在上单调递减，没有最值；
当时，令，得，令，得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴在处取得唯一的极大值，即为最大值，且．
综上所述，当时，没有最值；
当时，的最大值为，无最小值．
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．
∵，
∴，，
∴，即成立，
故原不等式成立．
5．已知函数， （， ）.
（1）若， ，求函数的单调区间；
（2）若函数与的图象有两个不同的交点， ，记，记， 分别是， 的导函数，证明： ．
【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减(2)见解析
【解析】试题分析：（1）由题意，得到，求得，利用导数即可判定函数单调性，求解单调区间；
（2）由化简，进而化简得，由， ，得到，不妨设，令，利用函数的导数，证得，即可作出证明．
，
， ，
，即，
，
不妨设，令（），
下证,即，即，
， ，所以，
∴， ．
6．已知函数.
（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，恒成立.
【答案】（1）；（2）见解析
试题解析：（1）由题意知，
令，则，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
又，∵在定义域内无极值点，
∴
又当时，在和上都单调递增也满足题意，
所以
（2），令，由（1）可知在上单调递増，又，所以存在唯一的零点，故在上单调递减，在上单调递増，
∴
由知
即当时，恒成立.